Attirato all'archeologia, anche per incoraggiamento di illustri personaggi, fu a Roma nominato coadiutore, e per i tardi prefetto degli Archivi della S. Sede; Clemente XIV gli fece riordinare le iscrizioni cristiane e pagare conservate in Vaticano. Nel 1798, dal governo francese della Repubblica Romana ebbe lo stesso incarico per gli Archivi e per la direzione della Biblioteca e del Museo Vaticano. Pio VII, nel 1800, lo nominò primo custode della stessa Biblioteca. Nel 1810 dovette recarsi a Parigi, per la sistemazione degli Archivi della S. Sede, trasportati in Francia. Caduto Napoleone, sovraintese alla restituzione degli Archivi, come anche dei 500 mss. e opere d'arte che Pio VI era stato costretto a cedere a Napoleone, per l'armistizio di Bologna (1796) e il Trattato di Tolentino (1797). Il M. avrebbe dovuto prendere possesso di tutto il materiale; ma per l'età e la cattiva salute non poté; l'incarico fu eseguito dal nipote Marino, nel 1815.
Nelle opere del M., alcune rimaste manoscritte, si nota profonda preparazione, erudizione e diligenza. Si ricordano: Iscrizioni inedite del Museo Clementino, in Giornale de Letterati, t. XVI, Pisa 1774; Iscrizioni antiche delle ville e de palazzi Albani, Roma 1785; Gli Atti e Monumenti dei fratelli Arcali scolpiti già in tavole di marmo ed ora raccolti, decifrati e commentati, 2 voll., ivi 1795; I papiri diplomatici raccolti ed illustrati dall'abate G. M. primo Custode della Bibl. Vatic. e prefetto degli Archivi secreti della Santa Sede, ivi 1805. Le Inscriptions christianae latinae et graecae aevi milliarili... a Biblioteca Vaticana item a scrinii Sedis Apostolicae, sono rimaste inedite (codd. Vatt. latt. 9071, 9072, 9073, 9074). Le iscrizioni romane furono poi pubblicate dal Mai in «Scriptorum veterum nova collectio e Vaticani Codicibus edita», Roma 1825-38. I mss. del M. furono raccolti dal De Rossi, che pubblicò l'opera completa, relativa alle Iscrizioni doliiari (ivi 1884).