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MATEMATICA - La M. Bassoriliceo di Agostino di Duccio (ca. 1450). Rimini, Tempio Malatestiano.

lui eseguita della curvatura del meridiano che passa per Alessandria.

VI. LA GEOMETRIA PROIETTIVA

Accanto alla geometria non euclidea si sono sviluppati altri rami: la geometria proiettiva, la differenziale, l'algebra.

La prima, nata ai primi del secolo scorso, prendeva le mosse dai citati teoremi di Apollonio, e mentre si collegava alla geometria descrittiva, rivolgeva la sua attenzione alle trasformazioni che subisce una figura piana, quando venga proiettata da un punto sopra un altro piano (sezione), procedendo così per quante si voglia operazioni successive di proiezione e sezione.

Queste trasformazioni mutano punti di un piano in punti di un altro, rette in rette, punti allineati su retta in punti allineati su retta, rette concorrenti in uno stesso punto in rette concorrenti; esse si chiamano trasformazioni proiettive, e si possono anche estendere alla trasformazione di uno spazio in un altro. Nelle trasformazioni figurano, come si è già avvertito, gli enti invarianti e difatti tra questi l'invarianze fondamentali delle trasformazioni proiettive è il cosiddetto birapporto di quattro punti ABCD in linea retta, il quale è espresso dal quoziente (AC/BC): (AD/BD), e non si altera quando mediante ripetute operazioni di proiezione e sezione si passa dai punti ABCD di una retta ai corrispondenti punti A'B'C'D' di un'altra. Se poi, con ripetute operazioni del genere si ritorna alla primitiva retta, allora esistono due punti della medesima che, malgrado le operazioni fatte, vengono a coincidere con i loro corrispondenti (cosiddetti due punti uniti). Quando poi da un piano, dopo ripetute operazioni di proiezione e sezione, si ritorna sullo stesso piano, sono tre i punti uniti, ed inoltre esiste una conica la quale viene a coincidere con se stessa (conica invariante) senza però che un punto coincida col suo corrispondente, ma in modo che ciascun punto della conica, considerato prima di eseguire le dette operazioni, viene a cadere sopra un altro punto della conica stessa.

Orbene, nel 1872, il Klein, valendosi della metrica del Cayley, mostrava che le tre geometrie nominate nel precedente paragrafo si possono considerare come un'unicia geometria sotto il punto di vista proiettivo, la quale dipende esclusivamente dalla trasformazione proiettiva adottata per trasformare il piano in se stesso (cioè movimento del piano su se stesso, inteso in un senso più largo). La trasformazione proiettiva che lascia invariati due speciali punti immagini, detti punti ciclici, e la retta da essi determinata (contenente i punti inaccessibili) esprime, con opportuna metrica, i movimenti del piano euclideo (i movimenti ordinari). Nel piano non euclideo di Lobatchevski, l'inaccessibile è costituito da una conica reale che i movimenti in quel piano, cioè l'opportuna trasformazione proiettiva, lasciano immutata. Nel piano di Riemann l'inaccessibile non esiste, o, meglio detto, è formato da punti immagini. I punti immagini, benché non disegnabili sul piano, possono indirettamente rappresentarsi, come, verso la metà del secolo passato, ha fatto lo Staudt, il quale, con metodi sintetici di straordinaria eleganza, ha mostrato il collegamento di quei punti con i punti reali, analogamente come nella geometria proiettiva si manovrano i punti inaccessibili (punti a distanza infinita) per il tramite di quelli che sono invece accessibili.

Ma i grandi progressi della geometria si ebbero dal suo connubio con l'analisi, come si vedrà nei paragrafi seguenti.

VII. GEOMETRIA ANALITICA

A fondamento della geometria analitica sta la rappresentazione di un punto mediante numeri. Nel senso più ristretto questi numeri, detti coordinate, sono le distanze del punto generico, preso in considerazione in un piano, da due rette fisse OX, OY del piano stesso, fra loro perpendicolari, chiamate assi cartesiani. Oppure, se si tratta di studiare figure nello spazio, le coordinate, in numero di tre, sono le rispettive distanze da tre piani fissi, tra loro perpendicolari, come fossero due pareti contigue e il pavimento di una stanza rettangolare, i cui spigoli OX, OY, OZ sono i tre assi cartesiani dello spazio.

Così, dato un punto, si possono determinare le sue coordinate, costruendo le anzidette distanze, e viceversa, dati tre numeri, ed interpretati come distanze, si può risalire al punto avente come coordinate i tre numeri dati.

Data poi nel piano una linea, le due coordinate a, b, di un punto generico di essa, non possono essere entrambe arbitrarie, perché se è nota l'una, si deduce l'altra. Ad es., se è nota l'ascissa a, che è la distanza del punto P dall'asse y, il punto si può determinare quale intersezione della linea data con la parallela all'asse y, situata da questo alla distanza a; ed allora, conosciuta la posizione di P sulla linea, sarà conoscibile anche l'altra coordinata b. Dunque una linea comporta un collegamento tra le coordinate dei suoi punti, il quale sarà espresso da un'equazione tra queste ultime. Così una equazione di primo grado tra le coordinate rappresenta una retta, una di secondo grado una conica (ellisse o parabola od iperbole) e così via, mentre dalle coordinate di due punti, mediante il teorema di Pitagora, si ricava la distanza fra di essi, e dalle equazioni rappresentanti due rette si ricava l'angolo che fra esse formano. In tal modo i problemi grafici si possono trasformare, talvolta vantaggiosamente, in problemi algebrici o, come ora con maggiore generalità si dice, in problemi analitici.

In fondo, anche la trigonometria, che si può far risalire a Tolomeo, traduce in numeri i problemi riguardanti i triangoli ed i poligoni in genere, ma da un punto di vista meno generale della geometria analitica. Mediante la trigonometria ed il sussidio dell'algebra, molti problemi di geometria elementare si traducono nella risoluzione di equazioni, facilitando spesso una ricerca la quale, se attraverso il metodo puramente sintetico si risolve in modo più elegante, talvolta importa maggior fatica di indagine. Naturalmente, nella scelta degli assi di riferimento, ad evitare complicazioni, conviene adoperare elementi intrinsecamente connessi con quelli del problema. È questa

lui eseguita della curvatura del meridiano che passa per Alessandria.

la veduta che ha guidato Ernesto Cesaro nella sua geniale trattazione della Geometria intrinseca, pubblicata nel 1896. Tuttavia, l'economia di lavoro di logica che si verifica impiegando il metodo analitico nella risoluzione di un quesito geometrico, trova per riscontro un maggior lavoro nello sviluppo dei calcoli.

La geometria analitica, nel suo sviluppo, ha man mano stabilito importanti legami con la proiettiva ed ha messo in luce peculiari proprietà delle linee e delle superfici, ma il suo grandioso progresso lo ha avuto allorché si è sposata all'analisi infinitesimale per dar luogo alla geometria differenziale.

VIII. ANALISI INFINITESIMALE

Il concetto di grandezza che sia pensata comunque piccola, o come anche si suol dire indefinitamente piccola, è essenziale mentre dinamico, in quanto esso, appena fissata una grandezza, viene sollecitato a fissarne un'altra minore, ad esempio minore della metà della precedente e così via con processo continuo. Da questo dinamismo di primocilometro balza fuori il concetto di infinitesimo (attuale).

Esso si ritrova, se pur nascostamente, già nella geometria elementare (nel teorema sulla equivalenza delle piramidi e nella teoria della rettificazione e quadratura del cerchio) mentre si compenetra con l'esistenza del limite verso cui tende una grandezza, in quanto la differenza tra la grandezza ed il suo limite può divenire infinitesima. Con Newton interviene il confronto, e più precisamente il rapporto tra infinitesimi, quando la velocità istantanea viene pensata come rapporto tra spazio infinitesimo e tempo infinitesimo impiegato a percorrerlo. Sorgono così i concetti di funzione, di rapporto incrementale e di derivata.

La funzione non è altro che la relazione di dipendenza tra due variabili, come, ad es., la relazione tra spazio percorso da un mobile ed il tempo impiegato, la relazione tra la lunghezza di una sbarra e la sua temperatura. La seconda delle due variabili dicesi indipendente, la prima si dice dipendente da questa ed anche funzione di questa; la funzione di dipendenza può anche essere invertito.

Il rapporto incrementale è il rapporto tra l'incremento della variabile dipendente ed il corrispondente incremento della variabile indipendente. Così se lo spazio percorso è, dalle ore 8 alle 11, passato da 280 a 490 km, l'incremento di spazio sarà 210 km, l'incremento di tempo sarà 3 ore ed il rapporto incrementale (velocità media) risulterà espresso da 210 : 3 = 70. Quando questi incrementi sono infinitamente piccoli si ha la cosiddetta derivata della funzione. Così, ad es., la velocità istantanea sopra citata è la derivata dello spazio (funzione rispetto al tempo (variabile indipendente).

Di una funzione conviene spesso dare la rappresentazione geometrica, portando sul piano del disegno i punti le cui coordinate sono, l'una il valore della variabile indipendente x, l'altra il corrispondente valore y della funzione; e si ha così una curva che viene denominata diagramma della funzione. La funzione y si indica con f(x) per ricordare la sua dipendenza dalla variabile x; perciò si scrive y = f(x). La variabile indipendente x può essere considerata, non per tutti i possibili valori, ma soltanto, ad es., per quelli compresi tra i due numeri a, b, ed allora si dice che la funzione f(x) è definita nel solo intervallo (a, b). Allo stesso modo il moto di un treno viene considerato nel solo intervallo di tempo dalla partenza all'arrivo. La derivata di f(x) calcolata punto per punto, per tutti i punti dell'intervallo (a, b), costituisce a sua volta una nuova funzione, perché ad ogni valore di x compreso in quell'intervallo corrisponde un valore della derivata. Questa viene indicata con f'(x) ed anche, quando si vuol mettere in vista la sua origine dal rapporto incrementale, con \(\frac{df}{dx}\) oppure con \(\frac{dy}{dx}\) (diferenza infinitesima della y diviso per dx, differenza infinitesima corrispondente della x).

Ma allora sopra la f'(x) si può generalmente interrare l'operazione di derivazione e si ottiene allora una nuova funzione: la derivata seconda, che si indica con f''(x), e così via.

All'operazione di derivazione si collega l'operazione inversa: la integrazione indefinita, che consiste nella ricerca della funzione F(x) la quale ammette come derivata una funzione data f(x); ricerca non sempre agevole.

Si consideri ora l'area limitata dal diagramma di una funzione f(x), dal segmento (a, b) dell'asse x comprendente i punti x per i quali è definita la funzione, ed inoltre limitata dalle due perpendicolari condotte all'asse x, nei punti a, b. Per ricercare quest'area, anzitutto si divida il segmento (a, b) in parti infinitesime che si indicheranno genericamente con dx; poi si sommino le aree di tutti i rettangoli aventi per base un elemento dx, e per altezza il segmento HK, che è lungo f(x), se x è la misura di OH (una delle coordinate del punto K del diagramma). Ogni area sarà data dal prodotto f(x) dx e quindi la somma si rappresenterà col simbolo d'uso:

\[\int_a^b f(x) dx\]

Il calcolo di questa sommatoria di infiniti termini, ciascuno infinitesimo, è puramente ideale se lo si considera come limite di una somma di un numero finito di termini finiti, sia pur piccoli. Però spesso si può effettuare a mezzo dell'integrazione indefinita sopra accennata. E infatti, se si riesce a trovare quella funzione F(x) che ha per derivata f(x), allora la differenza F(b) - F(a), cioè tra il valore che assume F in b, e quello che assume in a, è appunto il valore di quella sommatoria. Questa prende il nome di integrale definito; il suo concetto fu stabilito la prima volta con rigore dal Mengoli (1659).

Nel secolo scorso e ai primi del presente, la possibilità di eseguire operazioni di derivazione e di integrazione ha suscitato una serie di questioni le quali hanno chiarito e straordinariamente esteso il concetto di funzione. Ne sono così nate la teoria delle funzioni e le teorie relative a tutte le operazioni infinitesimali ad esse applicate (derivazione, integrazione, equazioni differenziali, equazioni integrali, equazioni integrodifferenziali). Si citeranno appena alcuni del numeroso studio di matematici che hanno lavorato in questi campi: Cauchy, Jacobi, Riemann, Briot Bouquet, Weierstrass, Betti, Brioschi, Casorati, Dini, Mittagleffler, Arzella, Peano, Du Bois Reymond, Pincherle; e più vicini a noi Volterra, Vivanti, Borel, Lebesgue, Denjosi, Caratheodory, De La Vallée Poussin, Tonelli, Ricci.

Le equazioni differenziali ordinarie legano le derivate di una o più funzioni di una sola variabile (funzioni incognite) ad altre funzioni note. Tutti i problemi della dinamica dei sistemi meccanici, costituiti da un numero discreto di punti materiali, dipendono da equazioni del genere. Queste sono tali che, se è conosciuta la posizione di un punto materiale, insieme con la sua velocità, in un dato istante, e se sono note le forze agenti sul punto, si può descrivere il moto che questo può effettuare da quell'istante in poi, ed anche conoscere il moto che esso ha percorso prima di quell'istante. Risultato, questo, che, ai tempi in cui imperava il meccanismo dell'Università, suscitò il determinismo. Poiché l'Università è composto di particelle materiali mobili, si può, note che siano posizione e velocità dei singoli punti materiali in un dato istante, ricostruire la storia del passato e profetare lo sviluppo dell'avvenire.

L'affermazione, che, entro certi limiti ristretti, rappresenta una bella conquista della scienza (tanto da fare prevedere molti fenomeni astronomici e permettere di progettare meccanismi il cui funzionamento reale aderisce alle previsioni), diviene estremamente orgogliosa e fallace quando si assume in senso troppo esteso. Pur stando alle ipotesi della meccanica classica, si dimostra che in alcuni sistemi materiali esistono momenti di determinazione (una specie di punti morti quali si riscontrano anche in meccanismi banali) dai quali senza sforzo si può uscire ed in varie direzioni.

Le equazioni differenziali a derivate parziali concernono legami tra le derivate di una funzione (o più) incognita, eseguite rispetto a ciascuna delle sue due o più

variabili, ad altre funzioni note. I problemi di movimento a infinite variabili, quali competono ai mezzi continui (fluidi, corpi elastici, ecc.) si connettono con queste equazioni. Ad esse si collegano la maggior parte delle questioni di fisica matematica.

Nelle equazioni integrali, le funzioni incognite sono, insieme a funzioni note, vincolate sotto l'operazione di integrazione; ordinariamente i legami sono molto semplici (lineari) ed allora la risoluzione di un'equazione integrale può farsi con approssimazione, ad es., riducendo l'equazione ad un sistema di equazioni algebriche di primo grado (cf. n. III). Alla teoria delle equazioni integrali sono legati i nomi di Abel, Volterra, Fredholm, Schmidt, Picard, Goursat, Hilbert, Fantappiè ed altri.

Nelle equazioni integrodifferenziali, studiate per la prima volta dal Volterra, la funzione incognita appare non soltanto sottoposta ad operazioni di integrazione, ma anche di derivazione. Tali equazioni si presentano nei problemi fisici di iteresi, i quali intervengono quando i materiali assoggettati a forti cimiconti, se sono elastici, oppure a forti magnetizzazioni, se sono paramagnetici, conservano il ricordo della storia dei trattamenti subiti fin dal principio.

paramagnetici, conservano il ricordo della storia dei trattamenti subiti fin dal principio.

La ricerca delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie è stata messa su basi rigorose, accertanti anzitutto l'esistenza di soluzioni e poi la costruitività, da Cauchy. Notevolissimi studi sono seguiti in tutto il secolo scorso e fino ad oggi, specie per quanto concerne la dipendenza delle soluzioni dalle cosiddette condizioni estremali, cioè dalle condizioni che devono essere verificate negli estremi del campo nel quale si ricercano le funzioni incognite. Le condizioni estremali talvolta non si possono dare del tutto a piacere, perché richiedono una certa compatibilità la quale può essere assicurata solo quando un parametro dell'equazione, cioè una variabile che non figura nelle operazioni di derivazione, assume particolari valori numerici chiamati autovalori, a ciascuno dei quali generalmente corrisponde una soluzione dell'equazione. La particolare soluzione prende il nome di autofunzione. Immenso è l'interesse degli autovalori e delle autofunzioni. I primi, in molti problemi di movimento che capitano nella fisica matematica, danno le frequenze di vibrazione del fenomeno e si sa quanto importi la conoscenza delle medesime, quando, nei progetti di raffinata ingegneria, occorra premunirsi contro il pericoloso fenomeno di risonanza.

IX. SVILUPPI IN SERIE

Si è già accennato alla impossibilità di esprimere un numero razionale mediante un numero limitato di cifre e alla impossibilità di esprimere alcune operazioni mediante un numero limitato di altre. Ci si trova cioè spesso di fronte a procedimenti senza termine; tra questi uno molto importante e frequente è quello di sommatzione per serie.

Si addizioni ad un numero la sua metà, poi la metà della metà, e così via; si avrà uno dei più semplici esempi di serie convergente (in questo caso la somma tende verso il doppio del numero iniziale). Non sempre però si può raggiungere il risultato limite in modo semplice, ed allora ci si deve contentare di sommare solo i primi termini della serie, commettendo generalmente un errore tanto minore, quanto maggiore è il numero dei termini effettivamente addizionati. Vi sono però serie più o meno rapidamente convergenti verso un limite, ed esistono anche serie divergenti, tali cioè che man mano che cresce il numero dei termini che si addizionano effettivamente, la somma risultante cresce oltre ogni limite. Esistono anche serie indeterminate od oscillanti, cosiddette perché, man mano che aumenta il numero dei termini addizionati, la somma non mostra di tendere ad un limite determinato, come, ad es., avviene per la serie:

\[-1 \rightarrow -1 + 1 - \ldots\]

Il concetto di serie numerica (somma di infiniti numeri), si estende a serie letterali e quindi a serie di funzioni. Una serie di funzioni sintetizzate una infinità di serie numeriche, una per ogni punto dell'intervallo (a, b) dove sono definite le funzioni. Simbolicamente si scriverà: \(f_1(x) \rightarrow f_2(x) \rightarrow f_3(x) \rightarrow f_4(x) \rightarrow \ldots\) dove l'indice a piedi della lettera \(f\) designa la diversità delle funzioni di \(x\) che vengono addizionate, e dove ad ogni valore di \(x\) corrisponde nella somma indicata, una serie numerica.

Con molta generalità si può dire che ogni operazione eseguita sopra una variabile \(x\) è esprimibile sotto la forma di una serie di funzioni. Un polinomio di grado \(n\), come ad esempio \(a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \ldots + a_nx^n\), è l'operazione più semplice che si possa compiere sulla variabile \(x\): \(a_0, a_1, a_2, \ldots\) sono numeri fissi, mentre \(x\) varia (le \(a_0\) sono i coefficienti del polinomio). Se il numero dei termini di questo e quindi il suo grado aumenta oltre ogni limite, allora si ha la cosiddetta serie di potenze, che è stata uno dei primi tipi considerati per la serie di funzioni. Mediante esse vengono espresse molte funzioni cosiddette elementari, quali le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente e cotangente), il logaritmo, l'esponenziale \(e^x\), ecc. Con i polinomi, oppure con le funzioni elementari, si compongono altre serie, tra cui importanti sono le serie di polinomi di Legendre, di Laguerre, di Hermite, le serie trigonometriche, che sono somme di seni e coseni di multipli di un angolo \(x\), le serie di Bessel, di Sturm, Liouville, ecc.

Le proprietà delle serie sono state oggetto di studio per parte di Frullani, Bonacci, Abel, Kummer, Riemann, Dirichlet, Dini, Peano, Cesaro ed in questo secolo, tra i più recenti, Borel, Tonelli, Picone. Le questioni trattate riguardano tanto la rappresentabilità delle funzioni mediante le varie specie di serie, quanto la natura della convergenza delle medesime.

Esistono serie non sommabili direttamente, perché oscillanti, ma che possono utilizzarsi, perché sommabili in media. E cioè la somma diventa eseguibile raggruppando i termini, facendo la somma per ciascun gruppo e in ultimo addizionando queste somme parziali, previa applicazione a ciascuna di un opportuno coefficiente. Questo metodo è dovuto al Cesaro; ulteriori sviluppi e considerazioni si devono al Fèjèr ed al Teofilato, il quale, mettendosi da un punto di vista molto generale, ha mo-

strato come il metodo del Cesaro si ricolleghi agli interessi del Poisson e del Dirichlet. Lo studio delle serie trigonometriche e la rappresentabilità di una funzione generica per mezzo di esse, o come si suol dire la sviluppabilità della funzione in serie di Fourier, è stato approfondito dal Dirichlet e successivamente esteso ed elaborato dal Tonelli e dal Picone.

Dalla generalizzazione degli sviluppi in serie trigonometriche sono venuti quelli in serie di funzioni ortogonali, che generalmente non sono altro che le autofunzioni di cui si è sopra parlato e che tanta importanza hanno nelle questioni di fisica-matematica. A proposito delle funzioni ortogonali si citano i nomi di Schmidt, Tamarkine, Picone, Sansone.

X. Analisi funzionale e calcolo delle variazioni

Nacque verso il 1850-60 per opera di alcuni giovani matematici italiani, i quali posero le basi di uno studio delle funzioni di linea, denominato funzionali, come, ad es., l'integrale definito esprime la lunghezza di una curva, oppure l'area del diagramma della intensità di una corrente che passa per un dato circuito, considerata in funzione del tempo, ognuna delle quali grandezze dipende simultaneamente da tutti i valori che assume una funzione in un dato intervallo.

Nascevano così anche le cosiddette operazioni funzionali, cioè quelle corrispondenze che fanno passare da un funzionale ad un altro, e con esse sorgeva anche un calcolo simbolico di cui, primi ad occuparsi, furono Pinochet e Amaldi. Il punto di vista di questi due autori fu particolarmente qualitativo; accanto ad esso ne venne un altro, dovuto al Volterra, il quale si servì del passaggio concettuale dal discontinuo al continuo, per trasformare gli indici (cioè il numero d'ordine) con cui sono caratterizzate le funzioni sulle quali si opera, in una variabile continua (parametro). In questo modo, invece di parlare di prima funzione, secondo, terza, ecc. si parlerà di una infinità continua di funzioni, distinte dal valore che si attribuisce al parametro, il quale finisce per intervenire come una variabile di più che si va ad aggiungere a quelle già possedute dalle funzioni. La derivazione rispetto all'indice, già adottata da Eulero e da Laplace, fu così estesa dal Volterra alla derivazione parziale (cf. n. IX), al differenziale del funzionale, allo sviluppo in serie di Taylor, ottenendo in tal modo algoritmi molto utili per la trattazione delle equazioni integrali. Con veduta di versa, fondandosi sui risultati del Dini, circa la teoria delle funzioni di variabile reale, e fondandosi sulla teoria degli insiemi, l'Arzela poneva le basi dell'assetto dell'analisi generale costituita poi, in questi ultimi anni, dal Fréchet e da altri. Il Tonelli, a sua volta, occupandosi del calcolo delle variazioni, cioè del calcolo che studia la variazione di un funzionale (come la variazione della lunghezza di una curva che subisca una deformazione infinitesima) introdusse il concetto della semicontinuità del funzionale, concetto fecondo che gli permise tra l'altro di rendersi ragione della fortuna di alcuni procedimenti prima usati, e che lo condusse a nuovi sviluppi ed applicazioni. In questo indirizzo vi sono notevoli lavori di Cinquini, Caccioppoli, Cimmino.

Il Fantappiè ha seguito una nuova via nello studio dei funzionali, sviluppando nel campo complesso i risultati che Volterra aveva ottenuto nel campo reale. In questo modo il Fantappiè ha raggiunto una coordinazione di vari teoremi, che nell'esposizione del Volterra mancava, ed ha trovato brillanti correlazioni tra proprietà delle funzioni di variabile complessa e funzionali; in ultimo ha applicato la sua teoria alle equazioni differenziali, alle equazioni integrali ed alle matrici.

Merita infine menzione il calcolo operatorio simbolico, che, in circostanze opportune, permette di sostituire una delle operazioni di derivazione o di integrazione con una variabile, agevolando in tal modo spesso la trattazione delle equazioni della elettrotecnica. Da ricordare in proposito i nomi di Heaviside, Giov. Giorgi e Aldo Ghizzetti.

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fìcie, la pseudosfera, derivandone brillanti connessioni con la geometria non euclidea. Infatti, la geometria costruita con le geodetiche della pseudosfera non è altro che la geometria che si verifica per le rette del piano di Lóbatchewski.

Nel frattempo, il Riemann prendeva lo spunto dalla forma che assume la distanza di due punti infinitamente vicini sopra una superficie, espressa per mezzo di elementi geometrici ed analitici riferiti alla superficie stessa, per staccarsi dal teorema di Pitagora e considerare la distanza di due punti nello spazio o nell'iperspazio, in una nuova e più generale forma. Ne è venuta fuori così l'idea di curvatura dello spazio e dell'iperspazio, idea che nella odierna teoria della relatività ha acquistato significato concreto (cf. n. VI).

Nello studio delle trasformazioni delle superfici sono state poi esaminate quelle che conservano le aree, quelle conformi, che conservano gli angoli (entro regioni infinitesime), quelle che mutano geodetiche in geodetiche, tutte trasformazioni, queste, di particolare interesse per la cartografia.

Le varie trattazioni ora esposte appartengono all'indirizzo classico; ma l'indirizzo più moderno e fecondo, che ha permesso lo sviluppo della teoria della relatività, è quello segnato dal calcolo assoluto, inventato dal Ricci Curvastro e sviluppato oltre dal Levi Civita. Questo calcolo studia l'invarianza di enti geometrici di fronte alla più generale trasformazione di coordinate, intendendo queste ultime nel senso più esteso, cui si è già fatto cenno nel n. XII.
Già si è accennato nel n. VIII, che il riferimento ad un sistema di assi piuttosto che ad un altro non è indifferente, perché, se il riferimento è connesso con la questione che si sta trattando, ne semplifica straordinariamente lo sviluppo. Per questo il Cesaro, nella citata Geometria intrinseca, aveva usato un riferimento appropriato, da lui chiamato intrinseco e che in linguaggio moderno si direbbe analogo: un sistema di assi e quindi un sistema di coordinate per ciascun punto di una linea (o superficie) onde studia il comportamento nell'intorno infinitamente del punto considerato.

Il grande successo del calcolo assoluto nelle applicazioni alla fisica relativistica si deve appunto all'uso di un riferimento anonimo, ancora più vantaggioso di quello del Cesaro, perché nelle accennate applicazioni presenta un carattere invariante per gli enti considerati.

Il calcolo assoluto, cui avevano spianato la via le precedenti ricerche di Riemann, Beltrami, Cristoffel, l'impone col cosiddetto trasporto parallelo e la derivata covariante. Il trasporto parallelo ha un significato ben chiaro nello spazio euclideo, quando si trasporta un segmento (vettore) parallelamente a se stesso, ma è a prima vista indefinito in uno spazio curvo (cf. n. VI). Però, in uno spazio curvo, la curvatura si fa poco sentire nell'ambito di una piccola regione, allo stesso modo come la curvatura della superficie terrestre non si avverte in un piccolo specchio di acqua. Quindi, per ogni punto dello spazio curvo, si può considerare uno spazio ordinario infinitesimo, il quale sia, come si suol dire, tangente a quello curvo, si confonde cioè con quest'ultimo nel campo infinitesimo, così come una piccola regione di superficie terrestre si può confondere col piano. Ed allora, nell'ambito di questo spazio ordinario limitato, si può eseguire il trasporto del vettore A B, dalla posizione A B, alla posizione parallela A' B', infinitamente vicina, secondo concetti euclidei elementari. Successivamente si considera lo spazio infinitesimo ordinario tangente a quell'intorno dello spazio curvo che circonda A' B', ed in questo secondo spazio ordinario eseguire il trasporto parallelo da A' B' in A' B', e così via.

Allo stesso modo, sulla superficie del mare ha un significato lo spostamento dell'asse longitudinale A B della nave, parallelamente a se stesso di un chilometro. Adottando coordinate geografiche (latitudine e longitudine) ed iterando lo spostamento mille volte, la nave avrà subito un trasporto parallelo nel senso del calcolo assoluto, ma non si potrà asserire che l'asse della nave nella posizione di partenza sia effettivamente parallelo a quella finale,

nel senso euclideo. Difatti, considerando in ogni posizione della nave la proiezione di A B sul meridiano e quella sul parallelo, esse non varieranno finché si riferiscono a posizioni vicine, ma varieranno invece molto per posizioni lontane; basti pensare allo spostamento della nave lungo il parallelo di Napoli, mentre, chilometro per chilometro, essa orienti l'asse A B secondo il meridiano del luogo, invece di conservarsi parallela a se stessa come dovrebbe fare nel trasporto parallelo. In altre parole, si consideri il cono tangente alla sfera terrestre lungo il parallelo accennato, quasi un cartoccio a punta che contenga, toccandola, una palla rappresentante il mappamondo, e si spieghi il foglio del cartoccio sopra un tavolo. Sulla carta così spiegata, si disegni, volta per volta, l'immagine dell'asse della nave nel suo spostamento parallelo. La posizione iniziale di quest'asse risulterà, sul tavolo, parallela alla finale, ma il parallelismo cesserà quando il foglio si accartoccerà nuovamente sulla sfera, mentre le varie immagini dell'asse A B faranno con le rispettive generatrici del cono un angolo variabile da generatrice a generatrice. Insomma, dopo mille chilometri, l'angolo tra posizione di partenza e posizione finale sarà di poco meno di dieci gradi.

Per stabilire la somma vettoriale di due vettori occorre costruire la diagonale del parallelogramma formato dai due vettori trasportati parallelamente a se stessi fino ad avere l'origine comune, così come si fa per dare forze agenti sopra un solido, quando se ne voglia trovare la risultante. Analogamente si opera per la differenza vettoriale, che nello spazio ordinario si fa col trasporto parallelo, come quando, data la risultante di due forze agenti sopra un solido e data una delle forze, si voglia trovare l'altra. Questa operazione, che nello spazio ordinario ha un significato indipendente dal posto che ognuno dei due vettori occupa, invece nello spazio curvo si definisce eseguendo il trasporto parallelo nel nuovo significato intorno per intorno (si pensi alla nave sopra indietro). Quando la differenza è infinitesima, si ha il differenziale (incremento infinitesimo del vettore) e quando si divide questa differenza per il differenziale (incremento infinitesimo) della variabile, si ha la devianza covariante prima nominata.

Sono questi gli enti fondamentali del calcolo assoluto che poi vengono approfonditi ed estesi dotando così la m. di uno strumento poderoso di indagine nel campo fisico.

Altri studi recentissimi si ricollegano a queste teorie dovuti a Bortolotti (Enea) Bompiani, Cartan. Ma lo studio essenzialmente metrico della geometria differenziale doveva trovare fin dal principio un punto di contatto con la geometria proiettiva. La connessione istituita prima dal Klein nel 1872, riduceva, come già si è accennato al N. VII, le tre geometrie, di Euclide, di Lóbatchevski, di Riemann ad una sola, sotto l'aspetto proiettivo. Questa, a loro volta, potevano essere sintetizzate con altre geometrie considerando le trasformazioni proiettive come comprese fra le trasformazioni cremoniane.

Un passo ulteriore è stato compiuto, tra il 1918 ed il 1924, dal Weyl e dal Cartan, con la considerazione dello spazio a connessione affine, oppure a connessione conforme, ad a connessione proiettiva. Viene così costruito uno spazio, passo a passo, in modo che ogni elemento spazio infinitesimo si possa riferire al suo vicino rispettando l'affinità, o la conformità, o la proiettività.

In altra direzione, e precisamente nell'approfondimento ed estensione dell'analisi situs, intraveduta dal Clifford nel secolo scorso, si è andata sviluppando la topologia che, sposata alla geometria differenziale, è stata oggetto di studi notevolissimi del Severi e di Blaschke. L'intreccio dei vari rami di cui si è fatto cenno al n. I è più che mai verificato, nella interferenza della geometria differenziale con le altre discipline m.

XIII. CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Nato fra il 1600 ed il 1700 con Buffon, Pascal, ed elaborato poco dopo da Bernoulli, Eulero, D'Alembert, Condorcet, ha avuto la sua messa a punto da Laplace e nella prima metà dell'Ottocento, da Gauss e Poisson; contributi e precisazioni notevoli vi hanno poi recato Bertrand, Tchebichef, Kolmogorof.

Il calcolo delle probabilità mira a determinare le leggi del caso. L'intenzione è a prima vista paradossale, in quanto, ciò che è veramente fortuito, nel momento che lascia adatto a previsioni, perde quella essenza di incertezza di cui esso è rivestito. Ma cosa c'è di veramente fortuito? Nella realtà sono presenti numerose cause fisiche imponderabili od imponderate, che fanno oscillare l'evento intorno ad una media, interferendo fra loro, ora sommando ed ora elidendo; tra le cause però, come già si è accennato a proposito del determinismo meccanistico, devono comprendersi anche quelle morali, che sono di indiscutibile valore e capaci di dirigere l'evento nella direzione più impensata, o, come si dice in linguaggio probabilistico, meno probabile.

Il caso si riferisce alle cause fisiche ed è dominato da due leggi, che lo rendono meno fortuito: la legge dei grandi numeri e la legge degli scarti (o degli errori); la prima dovuta a Bernoulli, Poisson, la seconda a Gauss.

La prima, p. es., assicura che, data un'urna contenente novanta palline tutte eguali, differenti solo per il colore, perché 89 sono bianche ed una sola è rossa, il numero delle volte è che esce la pallina rossa, in seguito ad estrazioni eseguite rimettendo ogni volta la pallina uscita nell'urna, è tale che la frazione \(k/n\) risulta tanto più vicina ad \(1/90\), quanto maggiore è il numero \(n\) dei tiraggi.

Viceversa, se su \(n\) tiraggi si verifica che il rapporto \(k/n\) oscilla intorno ad \(1/90\), avvicinandosi ad \(1/90\) sempre più col crescere di \(n\), si può indurre che tra le 90 palline, una sola è rossa, e con un grado di certezza tanto maggiore, quanto maggiore è \(n\). Se questa circostanza non si verifica, è segno che tra le palline vi è qualche altra diversità, oltre quella del colore. D'altra parte, quando si va a misurare una grandezza, qualunque sia la precisione degli strumenti, si trova ogni volta un valore diverso, con scarti tanto più piccoli quanto più perfetto è lo strumento. Ebbene, la seconda legge afferma che mentre la media delle misure ottenute è il valore più probabile della misura della grandezza, gli scarti da questo valore medio variano secondo l'equazione \(y = k \cdot a^{n/2}\), dove \(a\) è lo scarto ed \(y\) la frequenza con cui esso si verifica; la base \(a\) della funzione esponenziale ed il coefficiente k dipendono dalla precisione delle misure.

Sopra questi fondamenti, la teoria delle probabilità ha subito notevoli sviluppi ed applicazioni; dalla teoria degli errori di misura, che offre il modo più sicuro per compensarli, alla teoria della scommessa che studia l'equità dei giuochi di azzardo, la cosiddetta speranza matematica ed il rischio, governando così la determinazione dei premi di assicurazione; dalla deduzione delle leggi naturali quali si manifestano in un gruppo di esperienze, alla misura degli aggregati, siano essi costituiti da elementi fisici, biologici, demografici, sociali.

Del resto anche la fisica classica, in principio del tutto deterministica, è pian piano scivolata un po' nel probabilismo, quando ha enunciato il secondo principio della termodinamica, o principio della degradazione dell'energia, secondo il quale la natura si evolve verso forme sempre più probabili. Così, ad es., una bottiglia trasparente la quale contenga nella metà inferiore sabbia colorata in azzurro, e nella superiore la stessa qualità di sabbia, ma colorata in rosso, se la si agita per mescolarne i grani dei due colori, finirà dopo non molto per palesare un colore grigio uniforme, tanto che, prelevando una piccola quantità di sabbia, che pur contenga gran numero di grani, si riscontra che il numero dei grani rossi sarà all'incirca eguale a quello degli azzurri, con uno scarto tanto minore quanto maggiore sarà il numero dei grani prelevati. Sembra impossibile che, continuando ad agiare la bottiglia, possa riottenersi la separazione dei grani dei due colori nella primitiva disposizione; tuttavia questo risultato non è logicamente impossibile, però così poco probabile, quanto lo sarebbe il riprodurre un sonetto di Dante, tirando a sorte le parole di un vocabolario.

Il ripristino è appunto da attribuire ad una intelligenza la quale guidi, oppure susciti opportune forze a guidare; tanto più se, come nei miracoli riportati dai libri sacri e da ininterrotte tradizioni, il ripristino alle condizioni iniziali si verifica dopo un'avvenuta dissoluzione di organismo, al comando di una parola.

Nella fisica moderna, l'impossibilità di poter scegliere il divenire di un singolo corpuscolo subatomico, obbliga in modo assoluto a ricorrere ai criteri probabilitativi, così come si farebbe per una folla che si è costretti ad osservare di lontano; non potendo seguire l'azione di un singolo individuo, si cerca di seguire il gruppo cui egli appartiene. Con questa differenza però, che mentre nel caso della folla il giudizio si emette sul gruppo per mancanza di strumenti adatti di osservazione, invece, per il corpuscolo subatomico, il giudizio è legato, oltre che alla impossibilità sperimentale, anche, almeno per ora, ad una impossibilità teorica; cosicché negli ultimi elementi della materia regnerebbe l'indeterminismo e su questo il calcolo delle probabilità. Si è detto indeterminismo; meglio si sarebbe detto indeterminazione, per non lasciar pensare ad un indeterminismo ontologico, che è il puro caso, cioè la negazione di qualsiasi legge (che invece si trova esistere perfino nel caso) oppure è un animismo della materia, ciò che pure è da scartare, se non in quanto connessa ai fenomeni vitali. Di questa attività finalistica della materia, il Fantappiè ha tentato dare una possibile interpretazione matematica, mediante i cosiddetti potenziali accelerati.

XIV. MECCANICA RAZIONALE E FISICA-MATEMATICA

Questi due importanti rami della m. hanno precedentemente avuto frequente occasione di essere menzionati, ma non sarà tuttavia superfluo ancora un rapido accenno che ne riguardi i loro sviluppi.

Da Archimede, che può ritenersi il fondatore delle due discipline, bisogna risalire i secoli fino a Galilei, Torricelli e Newton, per vederne iniziare lo sviluppo rigoglioso con apporti continui, cui sono legati i nomi di Huyghens, Bernoulli, Eulero, D'Alembert, Laplace, per arrivare alla classica sistemazione della meccanica razionale compiuta dal Lagrange, nella sua celebre Mecanique analitique, dove tutte le questioni di equilibrio e di moto si fanno discendere da due principi: quello dei lavori virtuali, che risale al Galilei, e quello dell'equilibrio delle forze perdute, dovuto al D'Alembert.

Con la meccanica dei solidi, progrediva anche quella dei fluidi, mentre si scoprivano nuovi e fecondi principi generali e, con i sempre più potenti mezzi matematici, si investigavano tutti i campi della fisica.

Ai principi e metodi generali sono legati i nomi di Jacobi, di Poisson, di Hamilton e di Hölder; alla teoria classica dell'elettromagnetismo: Ampère, Maxwell, Kirchhoff; alla moderna (relativistica): Eisenberg, Schrödinger, De Broglie; alla teoria dell'elasticità: Betti, Volterra, Kelvin, Somigliana, Levi Civita; alla fluidodinamica: Eulero, Lagrange, Laplace, Kelvin, Helmholtz, Kirchhoff, Levi Civita, Volterra, Prandtl, Cisotti.

Il calcolo delle strutture elastiche piane (traviature) ha avuto particolari sviluppi in Italia, con metodi generali ed eleganti, dovuti al Cremona, al Castigliano, al Betti, al Menabrea. Le strutture degli aerei poi, nelle quali la leggerezza è in perenne contrasto con la robustezza, ha dato motivo, per la loro complicazione, a importanti lavori recenti del Broglie, il quale, precisati ed estesi i principi di massimo o minimo lavoro, ha trovato nuovi e solleciti metodi di calcolo per le strutture tridimensionali, finora di difficile approccio.

Dalla meccanica razionale è poi germogliato un nuovo ed importante ramo, quello dell'aerodinamica, la quale studia le sollecitazioni che esercita una corrente fluida sopra un solido in essa immerso. Sora con lo sconcernante paradosso di Eulero-D'Alembert che dimostra l'assenza di una resistenza all'avanzamento di un solido nel fluido, l'aerodinamica ha avuto straordinari sviluppi negli ultimi quaranta anni per opera di Prandtl, Levi Civita, Karman, Lagally, Müller, Pistolesi, Ooson, Cisotti, Teofilato, Silla, Panetti, Ferrari.

Lo studio delle correnti dei fluidi compressibili e viscosi, delle correnti transsoniche e supersoniche forma tuttora oggetto di numerose ricerche. Le velocità ultrastoniche, intimamente connesse ai principi della termodinamica, costituiscono anzi un nuovissimo ramo: la gasdinamica, in Italia coltivata da Ferrari, Luigi Crocco, Teofilato; essa si intreccia con la balistica classica alla quale sono legati i nomi di Eulero, Lagrange, Siacci, Signorini, e con la superbalistica cui dedica la sua fervida attività Gaetano Crocco.

Tutte le equazioni che governano i vari fenomeni fisici si possono far discendere da principi di minimo che in sostanza si riducono a quella che Maupertuis chiamò legge del minimo mezzo, quasi una legge di economia della natura, la quale è forse anche il fondamento del graduale passaggio di una specie nell'altra e che dà parvenza all'evoluzione, ed è forse anche la ragione della dolcezza di un'armonia o della bellezza di un'architettura, universale — Vedi tav. XXVI.