MATEMATICA

MATEMATICA. - L'aritmetica e la geometria sono i due grandi tronchi della m. dai quali altri numerosi rami si sono slanciati per tessere un groviglioso intreccio dove riesce difficile il distinguerli.

Non è facile suddividere ed elencare gli sviluppi vari della m. senza che nell'uno si faccia riferimento continuo agli altri. Non per nulla, mentre Platone col suo λέγω ὅτι ὁ θεὸς γεωμετρεί riconosce nell'opera di Dio la geometrizzazione, e mentre il nostro Galilei scorge tutto nella natura espresso in lingueggi di triangoli, l'autore biblico invece, col suo «Omnia in numero, mensura et pondere disposuiti...», riconosce nell'Università un principio aritmetizzante. Due posizioni diverse, rispecchianti, l'una la mentalità greco-italiana, l'altra quella orientale, entrambe completatisi a vicenda nel descrivere la parvenza dell'Università.

Col fluire dei secoli, l'opera dei matematici, vi lendosi dello strumento di una logica raffinatissima, attraverso i tre giudizi fondamentali di appartenenza, di esclusione e di interferenza, ha scoperto sempre nuovi orizzonti, con nuovi enti e nuove operazioni, specie in questi ultimi tre secoli, a ciò sospinta dalla necessità di interpretare e prevedere i fenomeni naturali, siano essi meccanicici o fisici o chimici o anche biologici e perfino sociali, ed in ciò aiutata da una ingegnosa schematizzazione dei fenomeni e dalla ideazione di un opportuno simbolismo. Così, con mutua esaltazione, tanto la m., quanto la conoscenza della fenomenologia dell'Università, sono andate sempre più espandendosi e compenetrandosi, specie negli ultimi tempi ed oggi più che mai.

I. ARITMETICA

Si fonda sul concetto di numero intero, simbolo di un gruppo di oggetti; da esso si perviene al concetto di frazione che simboleggia la parte di un gruppo: il sottogruppo.

L'associazione di due o più gruppi o sottogruppi di oggetti porta al concetto di somma di interi e di frazioni. L'associabilità di un gruppo con un sottogruppo, dato il carattere di omogeneità fra l'uno e l'altro, porta a concepire i simboli che li rappresentano (interi e frazioni) sotto una unica specie: quella dei numeri razionali.

Tanto l'iterazione della somma, quanto la formazione del sottogruppo ricavata da un altro sottogruppo, costituisce una nuova operazione: la moltiplicazione per un intero o per una frazione. La sottrazione è invece l'operazione inversa dell'addizione (data la somma di due numeri e dato uno di questi trovare l'altro) e la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione (dato il prodotto di due numeri ed uno di questi trovare l'altro). Sono queste le quattro operazioni fondamentali, cosiddette operazioni razionali, perché applicate sopra numeri razionali danno per risultato ancora numeri razionali.

L'iterazione della moltiplicazione di un numero per se stesso fornisce l'elevamento a potenza, che è dunque ancora un'operazione razionale, la quale però, a differenza delle prime quattro, dà luogo ad una operazione inversa, che si chiama estrazione di radice, non sempre possibile. Ciò, non esiste sempre un numero razionale x che sia, radice di un altro a; esistono d'altra parte numeri razionali x che, elevati a potenza, danno come risultato dei numeri razionali, i quali, se non coincidenti col numero dato a, si avvicinano a questo quanto si vuole. Così, ad es., la radice quadrata di 2 non esiste, in quanto nessun numero razionale, elevato a quadrato, riproduce 2, tuttavia

museo Civico Piersanti.
esistono numeri razionali che moltiplicati per se stessi danno prodotti che si avvicinano a questo con data delle cifre decimali che si calcolano. Questa circostanza suggerisce l'idea di concepire numeri di nuova specie: i numeri irrazionali, ognuno dei quali, non più espresso da un intero, oppure da due (come quando si tratta di una frazione), è solo rappresentabile da una sequela di infinite cifre decimali: decimi, centesimi, millesimi, e così via, cioè da una somma di infiniti termini sempre più piccoli.

D'altra parte anche la sottrazione soffre eccezione: non è possibile da un intero sottrarre uno maggiore se l'intero si pensa come rappresentante di un gruppo. Ma, come l'estrazione di radice si rende sempre possibile con l'introduzione dei numeri irrazionali, così, anche la sottrazione diventa attuabile, anche quando presenta eccezione, mediante l'introduzione dei numeri negativi. I numeri razionali ed irrazionali, positivi e negativi, costituiscono la classe dei numeri reali.

A sua volta, l'introduzione dei numeri negativi crea una nuova eccezione; non è infatti possibile estrarre la radice quadrata da un numero negativo, se non definendo numeri di altra specie ancora: i numeri immaginari. Nessun numero reale difatti, positivo o negativo, elevato a quadrato dà ad esempio per risultato -25. Con gli immaginari, nascono anche i numeri complessi che sono somma di un reale con un immaginario. Mediante questi numeri complessi è allora resa possibile, non più solo l'estrazione di radice quadrata da un numero negativo, ma addirittura l'estrazione della radice ennesima, qualunque sia il numero, anche complesso, sottoposto a detta operazione. Ebbene, questi nuovi numeri, che sembrano sorpassare i limiti della astruita, prestano invece i più utili servizi, oltre che nel campo puramente matematico, anche in numerose applicazioni della elettrotecnica e della aerodinamica.

Le prime tre operazioni razionali, somma, prodotto, differenza, dicono razionali intere. Con esse si può costruire un polinomio in x, cioè una espressione del tipo \(a x + b\), se è di primo grado, \(a x^2 + b x + c\), se di secondo grado, \(a x^3 + b x^2 + c x + d\), se di terzo grado, ecc. Quando, ad esempio nell'ultimo polinomio scritto, siano dati i numeri a, b, c, d, coefficienti, e sia dato x, si può trovare il valore assunto dal polinomio, mediante le tre operazioni su citate. Il problema inverso, dato il valore del polinomio, trovare x, costituisce la cosiddetta risoluzione di una equazione algebrica di ennesimo grado, se n è il grado del polinomio (la massima potenza di x che figura nel medesimo). Ebbene questa inversione, pur se non sempre eseguibile mediante formule, si dimostra sempre possibile, ed ammette n soluzioni (tante quanto è il grado del polinomio), senza che essa crei numeri di nuova specie, perché le soluzioni esistono tutte nel campo dei numeri complessi.

Si chiamano poi numeri algebrici, quei numeri reali o complessi che risolvono un'equazione algebrica a coefficienti interi. Ma se l'equazione ha come coefficienti numeri frazionari od irrazionali, le soluzioni rientrano ancora nel campo dei numeri algebrici.

Una nuova classificazione si ha quando si esce dalle operazioni razionali od algebriche per entrare nel campo di operazioni diverse da queste, e che perciò vengono dette trascendenti; le soluzioni di queste sono numeri complessi non algebrici e perciò denominati trascendenti. Tra questi è il numero \(\pi\), rapporto tra la circonferenza ed il suo diametro; esso non è difatti soluzione di nessuna equazione algebrica. Ma insieme alla estensione dei concetti di operazione e di numero, è stata studiata anche la possibilità di ottenere, con l'applicazione di operazioni razionali intere effettuate su numeri interi, come risultato, ancora dei numeri interi. In termini generali, si è trattato di determinare quando e come alcune equazioni algebriche, a coefficienti interi, sono risolubili in numeri interi. La cosiddetta teoria dei numeri, che si occupa di tali questioni e si ricollega anche a problemi inerenti ad altri campi della m., ha trovato sul suo cammino difficoltà straordinarie. La determinazione dei numeri interi primi, cioè divisibili solo per se stessi, è anch'essa tuttora oggetto di profondi studi. Alla teoria dei numeri sono particolarmente legati i nomi di Fermat e di Gauss.

Da quanto si è detto, emerge che elementi fondamentali sono i numeri interi e operazione fondamentale è l'addizione. Sono queste le sorgenti da cui derivano tutti gli altri numeri e tutte le altre operazioni. Il matematico ha spesso sostituito nei suoi ragionamenti, a scopo di maggior generalità, al numero un simbolo letterale, ed ha creato così l'algebra classica; più recentemente, sotto il simbolo, anziché un numero vi ha visto un ente geometrico qualsiasi ed ha allora esteso straordinariamente il concetto di algebra.

Il ALGEBRA. — Il primato dell'Italia nell'algebra classica rimonta al Rinascimento, e va dai nomi di Leonardo da Pisa, Tartaglia e Cardano, a quelli di Ferrari (Settecento) e Ruffini (primo Ottocento). Dalla risoluzione dell'equazione di secondo grado si era passati a quella di terzo, a quella di quarto, e si tentava ancora avanzare, quando il Ruffini dimostrò l'impossibilità di risolvere in generale, mediante formule algebriche, un'equazione di grado superiore al quarto, così come invece si era riusciti per le equazioni di grado minore.

Rimaneva la possibilità di risolvere una equazione a coefficienti numerici, anziché letterali, e furono escogitati numerosi metodi di approssimazione per ottenere le soluzioni. I metodi sono adesso di gran lunga superati dalle odierne macchine elettroniche. Ma una delle questioni presentate da tempo nelle applicazioni della m. alla fisica, è stata la risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado a più incognite. Ne sono nati dal Settecento in poi vari metodi, e ne è sorta la teoria dei determinanti, che agevola la risoluzione di quei sistemi e ne indica anche la possibilità o meno di risolverli. Dai de

terminanti è poi recentemente sbocciata la teoria delle matrici, le quali si sono rivelate utilissime in molte trattazioni geometriche e sono state ultimamente applicate dall'Heisenberg nello studio dell'atomo.

La necessità di risolvere sistemi di equazioni di primo grado a numerose incognite si è imposta in questi ultimi anni, sia nei calcoli delle strutture elastiche, sia nella risoluzione delle equazioni integrali (cf. n. IX) della fisica-m. Allo scopo sono stati escogitati metodi con l'intento di risparmiare la improba fatica che imporrebbe l'uso dei determinanti; il Teofilato fin dal 1922 ne ha dato uno per ottenere le soluzioni con successive approssimazioni con rapida convergenza verso il valore esatto. Torna a proposito di avvertire che non c'è da scandalizzarsi davanti al concetto di approssimazione introdotto nelle m. In fondo, salvo il numero intero e la frazione, qualunque numero irrazionale, come, ad es., la radice quadrata di 2, non è raggiungibile se non in via approssimata; la misura di una grandezza è sempre affetta da errori, sia pure riducibili col progrediente perfezionamento degli strumenti, ma ineliminabili. Quindi non deve fare impressione se le soluzioni di un sistema di equazioni vengono esibite con approssimazione, tanto più che nella maggior parte dei casi gli stessi coefficienti delle equazioni sono ottenuti per mezzo di misure strumentali.

Del resto anche per un sistema di cento equazioni di primo grado a cento incognite provvede la macchina elettronica in pochi secondi; però occorre prima impostare i forse diecimila coefficienti opportunamente, per far funzionare il meccanismo. Questo, molto delicato e complicato, è dotato di organi che sono paragonabili a quello che sono in noi il cervello, il sistema nervoso ed il sistema muscolare, analogamente ad un altro mirabile meccanismo che si trova a bordo degli aerei, il cosiddetto autopilota, che provvede a governare il volo automaticamente. Il primo organo percepisce l'impostazione dei coefficienti e trasmette l'impulso al secondo organo che lo amplifica alquanto, e lo trasmette a sua volta all'organo forza che comanda le parti mobili.

III. LE TRASFORMAZIONI

Un nuovo tipo di operazione è la trasformazione, da principio avente significato limitato alla sostituzione, che è l'operazione la quale muta un insieme di elementi negli stessi, ma disposti in altro ordine.

Alla teoria delle sostituzioni, applicate alle soluzioni di una equazione algebrica, sono legati i nomi di Galois, Ruffini, Abel; ed è per mezzo di questa teoria che si dimostra l'impossibilità sopra citata di risolvere algebricamente le equazioni di grado superiore al quarto. Dalla medesima teoria è nato il concetto di gruppo di sostituzioni, per il quale avviene che operando successivamente con due sostituzioni del gruppo si ottiene l'effetto che si otterrebbe con una sola sostituzione del medesimo. Se poi si passa da un numero finito di elementi ad un numero infinito, nascono le trasformazioni, che il Lie ha studiato profondamente sulla fine del secolo scorso. Lo spostamento di un solido rispetto ai tre spigoli di una stanza costituisce un semplice esempio di trasformazione, in quanto ad ogni punto del solido nella primitiva posizione corrisponde un punto nella seconda.

Con la trasformazione si compenetra poi il concetto di gruppo e di ente invariante rispetto alla trasformazione stessa. Per l'importante apporto italiano in questi studi si segnalano i nomi di Luigi Cremona, Ernesto Pascal, Luigi Bianchi, Guido Castelnuovo, Corrado Segre. La teoria ha assunto importanza enorme perché capace di sintesi grandiosa, sia nella geometria, dove, ad es., si trova che la geometria proiettiva (cf. n. VII) è un capitolo della teoria in parola, sia nella fisica, perché tutti i fenomeni elettromagnetici sono invarianti rispetto alla particolare trasformazione del Lorentz.

Si è tentati di pensare che ogni elemento geometrico o fisico sia legato ad un invariante e, invertendo, che la scoperta di un invariante indichi la esistenza di un ente geometrico o fisico.

Il concetto di trasformazione e di invarianza pervade tutta la fisica matematica, nei suoi più svariati campi.

Perfino nella gasdinamica, scienza nata da qualche anno, l'invarianza della equazione che governa il moto dei gas compressibili, rispetto ad una opportuna trasformazione, permette di tradurre l'effetto di grandi velocità nell'aria, nell'effetto di piccole velocità in minuscoli canali d'acqua con grande facilità di studio e minimo dispendio.

Si tratta in fondo di un caso particolare del metodo largamente usato nella scienza: trasformare un problema in un altro già studiato o che sia di più semplice trattazione.

IV. GEOMETRIA ELEMENTARE

Assunta a grande altezza per opera dei Greci, è rimasta scolpita come epigrafe imperitura nella compilazione di Euclide. Limitata nel piano allo studio delle figure formate da rette e circoli (costruibili quindi con riga e compasso) e nello spazio ai solidi contornati da facce piane, o anche ai tre solidi rotondi (cilindro, cono e sfera), essa passò a considerare altre linee (conocute, dissociate, strofoidi, ecc.) e successivamente si occupò della misura, la quale, appunto per le sue finalità applicative, fu da principio meno stimata dalla mentalità greca, finemente speculativa ed aristocraticamente ricercatrice della verità. Della misura si occupò largamente più tardi anche Archimede con i suoi bei teoremi sulle piramidi e sui corpi rotondi, cui egli aggiunse le altre sue non meno importanti scoperte sulla leva, la carrucola mobile, la cocle, gli specchi, la spinta dei galleggianti.

Non tutti i problemi piani furono risolti subito con l'ausilio dei due celebri strumenti, riga e compasso. Alcuni richiesero molte ricerche, come il segmento aureo del raggio, lato del decagno regolare inscritto in un cerchio di altri furono risolti approssimativamente, come quelli della rettificazione e quadratura del cerchio (ricerca del segmento lungo quanto la periferia e ricerca del quadrato grande quanto il cerchio). La necessità di ricorrere all'approssimazione dipendeva dalla limitazione degli strumenti adoperati.

Circa due secoli or sono il Mascheroni nella sua Geometria del compasso dimostrava che tutti i problemi che sono risolubili con riga e compasso lo sono anche con il solo compasso: ma è merito del secolo scorso l'aver messo in luce che con i due citati strumenti si risolvono soltanto quei problemi che, tradotti in questioni algebriche (come meglio si vedrà appresso) danno luogo ad equazioni di secondo grado oppure riducibili a queste. Dai Greci fino ad Apollonio, con i suoi teoremi sulle sezioni coniche (ellisse, parabola ed iperbole), trascorse tredici secoli circa, senza che la geometria subisse notevoli progressi. Bisogna risalire fino al Rinascimento per incontrare Leon Battista Alberti, Leonardo da Vinci, Pier della Francesca, il Vignola, il Brunelleschi, l'Ubaldi, dal Monte, i quali, con i loro studi sulla prospettiva, hanno allargato il campo di indagine dei Greci. La prospettiva poi, tra la fine del Settecento e i primi dell'Ottocento, è sboccata nella geometria descrittiva, la quale, per mezzo di opportuna rappresentazione sul foglio del disegno, permette di riottenere tutti i particolari metrici di una figura nello spazio.

La geometria descrittiva, che al principio del secolo scorso ebbe in Napoli cultori appassionati (Flauti, Fergola, Trudi, Padula) dette in seguito lo spunto al Bellavista di Padova per fondare la teoria delle equipollenze, metodo utile nella risoluzione di problemi grafici, da cui è poi nata la moderna teoria dei vettori che ai nostri giorni ha assunto un grado di grande generalità e potenza di sintesi, con riscontri anche nella accennata teoria delle matrici.

V. GEOMETRIA NON EUCLIDEA

La geometria elementare trascinava da tempo con sé un elemento di dubbio, dato dal postulato che va sotto il nome di Euclide: per un punto ad una retta si può condurre una sola parallela. Già il Wallis nel Seicento ed il gesuita p. Sacchetti nel Settecento avevano affrontato la questione del postulato. Il primo lo riduceva ad un altro postulato che a lui sembrava più accettabile, il secondo, attraverso l'ipotesi opposta, si proponeva di provarne l'assurdità. Il Sacchetti però non raggiunse lo scopo finale, malgrado importanti risultati ottenuti, e così la questione rimaneva ancora aperta.

Sulla via tracciata dal Sacchetti, ripresero lo studio il Bolay e il Lobatschewski. Supposto dunque che per un punto ad una retta si possano condurre due parallele, una da una parte ed una dall'altra, convergenti verso la retta senza peraltro mai raggiungerla, fu costruito un meraviglioso edificio logico; ma, passando di deduzione in deduzione, non si perveniva mai ad una contraddizione col postulato di partenza. Sorgeva quindi il sospetto, avvalorato dall'autorità di Gauss e di Riemann, che il postulato di Euclide fosse indimostrabile. Il celebre studio del Gauss Disquisitiones circa superficies curvas suggerì al Riemann di estendere quelle considerazioni allo spazio; così, assunta per la distanza di due punti una forma che si discosta da quella data dal teorema di Pitagora, e che è fondata sul postulato di Euclide, fece intravvedere la possibilità della non esistenza di rette parallele ad una retta data. Un fatto analogo a quello che accade sulla sfera dove due qualsiasi meridiani (i quali sulla sfera sono come le rette del piano, linee di minimo percorso) si incontrano sempre (in due punti). Mentre il Wallis aveva ridotto l'ipotesi di Euclide a quella della esistenza di triangoli simili, il Lobatschewski, con l'ipotesi delle due parallele, verificava l'insistenza di una similitudine, per modo che due triangoli con gli angoli rispettivamente eguali sono eguali, così come avviene anche sulla sfera per i triangoli sferici (formati da archi di meridiano). Anzi, la somma degli angoli di un triangolo, nella geometria di Lobatschewski è minore di un angolo piatto e la deficienza è proporzionale all'area del triangolo; nei triangoli sferici la somma degli angoli è maggiore di un piatto e l'eccesso è proporzionale all'area. Ormai andava balenando l'idea della validità logica simultanea di tutte e tre le geometrie, quella di Euclide, quella di Lobatschewski e l'altra di Riemann. Era solo questione di vedere quale delle tre fosse effettivamente verificata nel mondo fisico. Bisognava quindi poter misurare gli angoli di grandi triangoli, valutarne l'eccesso o la deficienza proporzionale alla loro grandezza. Ebbene ne risultava una somma di angoli vicina ad un piatto, ora in più, ora in meno, seguendo la cosiddetta legge degli errori. Si doveva concludere che nel mondo fisico la euclidea aveva la massima probabilità di sussistere rispetto alle altre due geometrie, ciascuna delle quali, se mai fosse verificata, doveva così poco deviare dalla euclidea da non dar modo di accorgersene.

È difatti, solo dopo la grande evoluzione scientifica di questo secolo riguardo alle nostre conoscenze fisiche, varcando i limiti delle ordinarie esperienze, si è rilevato che quando si passa al mondo dell'atomo oppure a quello delle nubulose, la geometria euclidea non si accorda più perfettamente col mondo fisico, ed è invece da ritenere valida una geometria pseudoriemanniana (geometria del cronotopo) su cui non è qui compito di insistere. Lo spazio dovrebbe ritenersi illimitato, ma finito, così come ad un essere dotato fisicamente di due sole dimensioni, apparirebbe la superficie di una sfera perfettamente levigata e molto grande sulla quale esso potesse muoversi.

In ogni modo, fin dal 1865 il nodo gordinato che legava alla geometria dubbi tanto gravi fu definitivamente taligiatato da Eugenio Beltrami, che riuscì a dare la dimostrazione della impossibilità di provare il postulato di Euclide. D'altra parte, se l'Università è finito, ne devono essere assegnabili le dimensioni; ed allora, come della sfera su nominata l'essere su essa vivente, qualora potesse apprezzare la curvatura di una parte sia pure piccola, potrebbe anche valutare l'intera estensione senza percorrerla tutta, non altrimenti dovrebbe accadere a noi. E, difatti, su questa base la stima delle dimensioni dell'Università, almeno come ordine di grandezza, è stata compiuta e se ne ha ora un'idea paragonabile del resto, per approssimazione, a quella che poteva essersi fatto Eratostene sulle dimensioni della terra con la misura da