MATEMATICA

MATEMATICA. - L'aritmetica e la geometria sono i due grandi tronchi della m. dai quali altri numerosi rami si sono slanciati per tessere un groviglioso intreccio dove riesce difficile il distinguerli.

Non è facile suddividere ed elencare gli sviluppi vari della m. senza che nell'uno si faccia riferimento continuo agli altri. Non per nulla, mentre Platone col suo λέγει ὅτι ὁ θεὸς γεωμετρεῖ riconosce nell'opera di Dio la geometrizzazione, e mentre il nostro Galilei scorge tutto nella natura espresso in linguaggio di triangoli, l'autore biblico invece, col suo « Omnia in numero, mensura et pondere disposuisti... », riconosce nell'Universo un principio aritmetizzante. Due posizioni diverse, rispecchianti, l'una la mentalità greco-italica, l'altra quella orientale, entrambe completantisi a vicenda nel descrivere la parvenza dell'Universo.

Col fluire dei secoli, l'opera dei matematici, valendosi dello strumento di una logica raffinatissima, attraverso i tre giudizi fondamentali di appartenenza, di esclusione e di interferenza, ha scoperto sempre nuovi orizzonti, con nuovi enti e nuove operazioni, specie in questi ultimi tre secoli, a ciò sospinta dalla necessità di interpretare e prevedere i fenomeni naturali, siano essi meccanici o fisici o chimici o anche biologici e perfino sociali, ed in ciò aiutata da una ingegnosa schematizzazione dei fenomeni e dalla ideazione di un opportuno simbolismo. Così, con mutua esaltazione, tanto la m., quanto la conoscenza della fenomenologia dell'Universo, sono andate sempre più espandendosi e compenetrandosi, specie negli ultimi tempi ed oggi più che mai.

I. ARITMETICA

Si fonda sul concetto di numero intero, simbolo di un gruppo di oggetti; da esso si perviene al concetto di frazione che simboleggia la parte di un gruppo: il sottogruppo.

L'associazione di due o più gruppi o sottogruppi di oggetti porta al concetto di somma di interi e di frazioni. L'associabilità di un gruppo con un sottogruppo, dato il carattere di omogeneità fra l'uno e l'altro, porta a concepire i simboli che li rappresentano (interi e frazioni) sotto una unica specie: quella dei numeri razionali.

Tanto l'iterazione della somma, quanto la formazione del sottogruppo ricavata da un altro sottogruppo, costituisce una nuova operazione: la moltiplicazione per un intero o per una frazione. La sottrazione è invece l'operazione inversa dell'addizione (data la somma di due numeri e dato uno di questi trovare l'altro) e la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione (dato il prodotto di due numeri ed uno di questi trovare l'altro). Sono queste le quattro operazioni fondamentali, cosiddette operazioni razionali, perché applicate sopra numeri razionali danno per risultato ancora numeri razionali.

L'iterazione della moltiplicazione di un numero per

se stesso fornisce l'elevamento a potenza, che è dunque ancora un'operazione razionale, la quale però, a differenza delle prime quattro, dà luogo ad una operazione inversa, che si chiama estrazione di radice, non sempre possibile. Cioè, non esiste sempre un numero razionale v che sia radice di un altro a; esistono d'altra parte numeri razionali x che, elevati a potenza, danno come risultato dei numeri razionali, i quali, se non coincidenti col numero dato a, si avvicinano a questo quanto si vuole. Così, ad es., la radice quadrata di 2 non esiste, in quanto nessun numero razionale, elevato a quadrato, riproduce 2, tuttavia

esistono numeri razionali che moltiplicati per se stessi danno prodotti che si avvicinano a 2 quanto piace, a seconda delle cifre decimali che si calcolano. Questa circostanza suggerisce l'idea di concepire numeri di nuova specie: i numeri irrazionali, ognuno dei quali, non più espresso da un intero, oppure da due (come quando si tratta di una frazione), è solo rappresentabile da una sequela di infinite cifre decimali: decimi, centesimi, millesimi, e così via, cioè da una somma di infiniti termini sempre più piccoli.

D'altra parte anche la sottrazione soffre eccezione: non è possibile da un intero sottrarre uno maggiore se l'intero si pensa come rappresentante di un gruppo. Ma, come l'estrazione di radice si rende sempre possibile con l'introduzione dei numeri irrazionali, così, anche la sottrazione diventa attuabile, anche quando presenta eccezione, mediante l'introduzione dei numeri negativi. I numeri razionali ed irrazionali, positivi e negativi, costituiscono la classe dei numeri reali.

A sua volta, l'introduzione dei numeri negativi crea una nuova eccezione; non è infatti possibile estrarre la radice quadrata da un numero negativo, se non definendo numeri di altra specie ancora: i numeri immaginari. Nessun numero reale difatti, positivo o negativo, elevato a quadrato dà ad esempio per risultato -25. Con gli immaginari, nascono anche i numeri complessi che sono somma di un reale con un immaginario. Mediante questi numeri complessi è allora resa possibile, non più solo l'estrazione di radice quadrata da un numero negativo, ma addirittura l'estrazione della radice ennesima, qualunque sia il numero, anche complesso, sottoposto a detta operazione. Ebbene, questi nuovi numeri, che sembrano sorpassare i limiti della astrusità, prestano invece i più utili servizi, oltre che nel campo puramente matematico, anche in numerose applicazioni della elettrotecnica e della aerodinamica.

Le prime tre operazioni razionali, somma, prodotto, differenza, diconsi razionali intere. Con esse si può costruire un polinomio in x, cioè una espressione del tipo a x + b, se è di primo grado, a x² + b x + c, se di secondo grado, a x³ + b x² + c x + d, se di terzo grado, ecc. Quando, ad esempio nell'ultimo polinomio scritto, siano dati i numeri a b c d, coefficienti, e sia dato x, si può trovare il valore assunto dal polinomio, mediante le tre operazioni su citate. Il problema inverso, dato il valore del polinomio, trovare x, costituisce la cosiddetta risoluzione di una equazione algebrica di eunesimo grado, se n è il grado del polinomio (la massima potenza di x che figura nel medesimo). Ebbene questa inversione, pur se non sempre eseguibile mediante formule, si dimostra sempre possibile, ed ammette n soluzioni (tante quanto è il grado del polinomio), senza che essa crei numeri di nuova specie, perché le soluzioni esistono tutte nel campo dei numeri complessi.

Si chiamano poi numeri algebrici, quei numeri reali o complessi che risolvono un'equazione algebrica a coefficienti interi. Ma se l'equazione ha come coefficienti numeri frazionari od irrazionali, le soluzioni rientrano ancora nel campo dei numeri algebrici.

Una nuova classificazione si ha quando si esce dalle operazioni razionali od algebriche per entrare nel campo di operazioni diverse da queste, e che perciò vengono dette trascendenti; le soluzioni di queste sono numeri complessi non algebrici e perciò denominati trascendenti. Tra questi è il numero π, rapporto tra la circonferenza ed il suo diametro; esso non è difatti soluzione di nessuna equazione algebrica. Ma insieme alla estensione dei concetti di operazione e di numero, è stata studiata anche la possibilità di ottenere, con l'applicazione di operazioni razionali intere effettuate su numeri interi, come risultato, ancora dei numeri interi. In termini generali, si è trattato di determinare quando e come alcune equazioni algebriche, a coefficienti interi, sono risolvibili in numeri interi. La cosiddetta teoria dei numeri, che si occupa di tali questioni e si ricollega anche a problemi inerenti ad altri campi della m., ha trovato sul suo cammino difficoltà straordinarie. La determinazione dei numeri interi primi, cioè divisibili solo per se stessi, è anch'essa tuttora oggetto di profondi studi. Alla teoria dei numeri sono particolarmente legati i nomi di Fermat e di Gauss.

Da quanto si è detto, emerge che elementi fondamentali sono i numeri interi e operazione fondamentale è l'addizione. Sono queste le sorgenti da cui derivano tutti gli altri numeri e tutte le altre operazioni. Il matematico ha spesso sostituito nei suoi ragionamenti, a scopo di maggior generalità, al numero un simbolo letterale, ed ha creato così l'algebra classica; più recentemente, sotto il simbolo, anziché un numero vi ha visto un ente geometrico qualsiasi ed ha allora esteso straordinariamente il concetto di algebra.

II. ALGEBRA

Il primato dell'Italia nell'algebra classica rimonta al Rinascimento, e va dai nomi di Leonardo da Pisa, Tartaglia e Cardano, a quelli di Ferrari (Settecento) e Ruffini (primo Ottocento). Dalla risoluzione dell'equazione di secondo grado si era passati a quella di terzo, a quella di quarto, e si tentava ancora avanzare, quando il Ruffini dimostrò l'impossibilità di risolvere in generale, mediante formule algebriche, un'equazione di grado superiore al quarto, così come invece si era riusciti per le equazioni di grado minore.

Rimaneva la possibilità di risolvere una equazione a coefficienti numerici, anziché letterali, e furono escogiti numerosi metodi di approssimazione per ottenere le soluzioni. I metodi sono adesso di gran lunga superati dalle odierne macchine elettroniche. Ma una delle questioni presentatesi da tempo nelle applicazioni della m. alla fisica, è stata la risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado a più incognite. Ne sono nati dal Settecento in poi vari metodi, e ne è sorta la teoria dei determinanti, che agevola la risoluzione di quei sistemi e ne indica anche la possibilità o meno di risolverli. Dai de-

determinanti è poi recentemente sbocciata la teoria delle matrici, le quali si sono rivelate utilissime in molte trattazioni geometriche e sono state ultimamente applicate dall'Heisenberg nello studio dell'atomo.

La necessità di risolvere sistemi di equazioni di primo grado a numerose incognite si è imposta in questi ultimi anni, sia nei calcoli delle strutture elastiche, sia nella risoluzione delle equazioni integrali (cf. n. IX) della fisica-m. Allo scopo sono stati escogiti metodi con l'intento di risparmiare la improba fatica che imporrebbe l'uso dei determinanti; il Teofilato fin dal 1922 ne ha dato uno per ottenere le soluzioni con successive approssimazioni con rapida convergenza verso il valore esatto. Torna a proposito qui avvertire che non c'è da scandalizzarsi davanti al concetto di approssimazione introdotto nelle m. In fondo, salvo il numero intero e la frazione, qualunque numero irrazionale, come, ad es., la radice quadrata di 2, non è raggiungibile se non in via approssimata; la misura di una grandezza è sempre affetta da errori, sia pure riducibili col progrediente perfezionamento degli strumenti, ma ineliminabili. Quindi non deve fare impressione se le soluzioni di un sistema di equazioni vengono esibite con approssimazione, tanto più che nella maggior parte dei casi gli stessi coefficienti delle equazioni sono ottenuti per mezzo di misure strumentali.

Del resto anche per un sistema di cento equazioni di primo grado a cento incognite provvede la macchina elettronica in pochi secondi; però occorre prima impostare i forse diecimila coefficienti opportunamente, per far funzionare il meccanismo. Questo, molto delicato e complicato, è dotato di organi che sono paragonabili a quello che sono in noi il cervello, il sistema nervoso ed il sistema muscolare, analogamente ad un altro mirabile meccanismo che si trova a bordo degli aerei, il cosiddetto autopilota, che provvede a governare il volo automaticamente. Il primo organo percepisce l'impostazione dei coefficienti e trasmette l'impulso al secondo organo che lo amplifica alquanto, e lo trasmette a sua volta all'organo di forza che comanda le parti mobili.

III. LE TRASFORMAZIONI

Un nuovo tipo di operazione è la trasformazione, da principio avente significato limitato alla sostituzione, che è l'operazione la quale muta un insieme di elementi negli stessi, ma disposti in altro ordine.

Alla teoria delle sostituzioni, applicate alle soluzioni di una equazione algebrica, sono legati i nomi di Galois, Ruffini, Abel; ed è per mezzo di questa teoria che si dimostra l'impossibilità sopra citata di risolvere algebricamente le equazioni di grado superiore al quarto. Dalla medesima teoria è nato il concetto di gruppo di sostituzioni, per il quale avviene che operando successivamente con due sostituzioni del gruppo si ottiene l'effetto che si otterrebbe con una sola sostituzione del medesimo. Se poi si passa da un numero finito di elementi ad un numero infinito, nascono le trasformazioni, che il Lie ha studiato profondamente sulla fine del secolo scorso. Lo spostamento di un solido rispetto ai tre spigoli di una stanza costituisce un semplice esempio di trasformazione, in quanto ad ogni punto del solido nella primitiva posizione corrisponde un punto nella seconda.

Con la trasformazione si compenetra poi il concetto di gruppo e di ente invariante rispetto alla trasformazione stessa. Per l'importante apporto italiano in questi studi si segnalano i nomi di Luigi Cremona, Ernesto Pascal, Luigi Bianchi, Guido Castelnuovo, Corrado Segre. La teoria ha assunto importanza enorme perché capace di sintesi grandiose, sia nella geometria, dove, ad es., si trova che la geometria proiettiva (cf. n. VII) è un capitolo della teoria in parola, sia nella fisica, perché tutti i fenomeni elettromagnetici sono invarianti rispetto alla particolare trasformazione del Lorentz.

Si è tentati di pensare che ogni elemento geometrico o fisico sia legato ad un invariante e, invertendo, che la scoperta di un invariante indichi la esistenza di un ente geometrico o fisico.

Il concetto di trasformazione e di invarianza pervade tutta la fisica matematica, nei suoi più svariati campi.

Perfino nella gasdinamica, scienza nata da qualche anno, l'invarianza della equazione che governa il moto dei gas compressibili, rispetto ad una opportuna trasformazione, permette di tradurre l'effetto di grandi velocità nell'aria, nell'effetto di piccole velocità in minuscoli canali d'acqua con grande facilità di studio e minimo dispendio.

Si tratta in fondo di un caso particolare del metodo largamente usato nella scienza: trasformare un problema in un altro già studiato o che sia di più semplice trattazione.

IV. GEOMETRIA ELEMENTARE

Assunta a grande altezza per opera dei Greci, è rimasta scolpita come epigrafe imperitura nella compilazione di Euclide. Limitata nel piano allo studio delle figure formate da rette e circoli (costruibili quindi con riga e compasso) e nello spazio ai solidi contornati da facce piane, o anche ai tre solidi rotondi (cilindro, cono e sfera), essa passò a considerare altre linee (concoide, cissoide, strofoide, ecc.) e successivamente si occupò della misura, la quale, appunto per le sue finalità applicative, fu da principio meno stimata dalla mentalità greca, finemente speculativa ed aristocraticamente ricercatrice della verità. Della misura si occupò largamente più tardi anche Archimede con i suoi bei teoremi sulle piramidi e sui corpi rotondi, cui egli aggiunse le altre sue non meno importanti scoperte sulla leva, la carrucola mobile, la coclea, gli specchi, la spinta dei galleggianti.

Non tutti i problemi piani furono risolti subito con l'ausilio dei due celebri strumenti, riga e compasso. Alcuni richiesero molte ricerche, come il segmento aureo del raggio, lato del decagono regolare descritto in un cerchio: altri furono risolti approssimativamente, come quelli della rettificazione e quadratura del cerchio (ricerca del segmento lungo quanto la periferia e ricerca del quadrato grande quanto il cerchio). La necessità di ricorrere all'approssimazione dipendeva dalla limitazione degli strumenti adoperati.

Circa due secoli or sono il Mascheroni nella sua Geometria del compasso dimostrava che tutti i problemi che sono risolvibili con riga e compasso lo sono anche con il solo compasso: ma è merito del secolo scorso l'aver messo in luce che con i due citati strumenti si risolvono soltanto quei problemi che, tradotti in questioni algebriche (come meglio si vedrà appresso) danno luogo ad equazioni di secondo grado oppure riducibili a queste. Dai Greci fino ad Apollonio, con i suoi teoremi sulle sezioni coniche (ellisse, parabola ed iperbole), trascorsero tredici secoli circa, senza che la geometria subisse notevoli progressi. Bisogna risalire fino al Rinascimento per incontrare Leon Battista Alberti, Leonardo da Vinci, Pier della Francesca, il Vignola, il Brunelleschi, l'Ubaldi dal Monte, i quali, con i loro studi sulla prospettiva, hanno allargato il campo di indagine dei Greci. La prospettiva poi, tra la fine del Settecento e i primi dell'Ottocento, è sboccata nella geometria descrittiva, la quale, per mezzo di opportuna rappresentazione sul foglio del disegno, permette di riottenere tutti i particolari metrici di una figura nello spazio.

La geometria descrittiva, che al principio del secolo scorso ebbe in Napoli cultori appassionati (Flauti, Fergola, Trudi, Padula) dette in seguito lo spunto al Bellavitia di Padova per fondare la teoria delle equipollenze, metodo utile nella risoluzione di problemi grafici, da cui è poi nata la moderna teoria dei vettori che ai nostri giorni ha assunto un grado di grande generalità e potenza di sintesi, con riscontri anche nella accennata teoria delle matrici.

V. GEOMETRIA NON EUCLIDEA

La geometria elementare trascinava da tempo con sé un elemento di dubbio, dato dal postulato che va sotto il nome di Euclide: per un punto ad una retta si può condurre una sola parallela. Già il Wallis nel Seicento ed il gesuita p. Saccheri nel Settecento avevano affrontato la questione del postulato. Il primo lo riduceva ad

un altro postulato che a lui sembrava più accettabile, il secondo, attraverso l'ipotesi opposta, si proponeva di provarne l'assurdità. Il Saccheri però non raggiunse lo scopo finale, malgrado importanti risultati ottenuti, e così la questione rimaneva ancora aperta.

Sulla via tracciata dal Saccheri, ripresero lo studio il Boliay e il Lobatchewski. Supposto dunque che per un punto ad una retta si possano condurre due parallele, una da una parte ed una dall'altra, convergenti verso la retta senza peraltro mai raggiungerla, fu costruito un meraviglioso edificio logico; ma, passando di deduzione in deduzione, non si perveniva mai ad una contraddizione col postulato di partenza. Sorgeva quindi il sospetto, avvalorato dall'autorità di Gauss e di Riemann, che il postulato di Euclide fosse indimostabile. Il celebre studio del Gauss Disquisitiones circa superficies curvas suggerì al Riemann di estendere quelle considerazioni allo spazio; così, assunta per la distanza di due punti una forma che si discosta da quella data dal teorema di Pitagora, e che è fondata sul postulato di Euclide, fece intravedere la possibilità della non esistenza di rette parallele ad una retta data. Un fatto analogo a quello che accade sulla sfera dove due qualsiasi meridiani (i quali sulla sfera sono come le rette del piano, linee di minimo percorso) si incontrano sempre (in due punti). Mentre il Wallis aveva ridotto l'ipotesi di Euclide a quella della esistenza di triangoli simili, il Lobatchewski, con l'ipotesi delle due parallele, verificava l'inesistenza di una similitudine, per modo che due triangoli con gli angoli rispettivamente eguali sono eguali, così come avviene anche sulla sfera per i triangoli sferici (formati da archi di meridiano). Anzi, la somma degli angoli di un triangolo, nella geometria di Lobatchewski è minore di un angolo piatto e la deficienza è proporzionale all'area del triangolo; nei triangoli sferici la somma degli angoli è maggiore di un piatto e l'eccesso è proporzionale all'area. Ormai andava balanando l'idea della validità logica simultanea di tutte e tre le geometrie, quella di Euclide, quella di Lobatchewski e l'altra di Riemann. Era solo questione di vedere quale delle tre fosse effettivamente verificata nel mondo fisico. Bisognava quindi poter misurare gli angoli di grandi triangoli, valutarne l'eccesso o la deficienza proporzionale alla loro grandezza. Ebbene ne risultava una somma di angoli vicina ad un piatto, ora in più, ora in meno, seguendo la cosiddetta legge degli errori. Si doveva concludere che nel mondo fisico la euclidea aveva la massima probabilità di sussistere rispetto alle altre due geometrie, ciascuna delle quali, se mai fosse verificata, doveva così poco deviare dalla euclidea da non dar modo di accorgere.

E difatti, solo dopo la grande evoluzione scientifica di questo secolo riguardo alle nostre conoscenze fisiche, varcando i limiti delle ordinarie esperienze, si è rilevato che quando si passa al mondo dell'atomo oppure a quello delle nubulose, la geometria euclidea non si accorda più perfettamente col mondo fisico, ed è invece da ritenere valida una geometria pseudoriemanniana (geometria del cronotopo) su cui non è qui compito di insistere. Lo spazio dovrebbe ritenersi illimitato, ma finito, così come ad un essere dotato fisicamente di due sole dimensioni, apparirebbe la superficie di una sfera perfettamente levigata e molto grande sulla quale esso potesse muoversi.

In ogni modo, fin dal 1865 il nodo gordiano che legava alla geometria dubbi tanto gravi fu definitivamente tagliato da Eugenio Beltrami, che riuscì a dare la dimostrazione della impossibilità di provare il postulato di Euclide. D'altra parte, se l'Universo è finito, ne devono essere assegnabili le dimensioni; ed allora, come della sfera su nominata l'essere su essa vivente, qualora potesse apprezzare la curvatura di una parte sia pure piccola, potrebbe anche valutare l'intera estensione senza percorrerla tutta, non altrimenti dovrebbe accadere a noi. E, difatti, su questa base la stima delle dimensioni dell'Universo, almeno come ordine di grandezza, è stata compiuta e se ne ha ora un'idea paragonabile del resto, per approssimazione, a quella che poteva essersi fatto Eratostene sulle dimensioni della terra con la misura da

lui eseguita della curvatura del meridiano che passa per
Alessandria.

VI. LA GEOMETRIA PROIETTIVA

Accanto alla geometria non euclidea si sono sviluppati altri rami: la geometria proiettiva, la differenziale, l'algebrica.

La prima, nata ai primi del secolo scorso, prendeva le
mosse dai citati teoremi di Apollonio, e mentre si collegava
alla geometria descrittiva, rivolgeva la sua attenzione alle
trasformazioni che subisce una figura piana, quando
venga proiettata da un punto sopra un altro piano (se-
zione), procedendo così per quante si voglia operazioni
successive di proiezione e sezione.

Queste trasformazioni mutano punti di un piano in
punti di un altro, rette in rette, punti allineati su retta
in punti allineati su retta, rette concorrenti in uno stesso
punto in rette concorrenti; esse si chiamano trasforma-
zioni proiettive, e si possono anche estendere alla tra-
formazione di uno spazio in un altro. Nelle trasforma-
zioni figurano, come si è già avvertito, gli enti invarianti
e difatti tra questi l'invariante fondamentale delle tra-
formazioni proiettive è il cosiddetto birapporto di quattro
punti ABCD in linea retta, il quale è espresso dal quo-
ziente (AC/BC) : (AD/BD), e non si altera quando me-
diante ripetute operazioni di proiezione e sezione si
passa dai punti A B C D di una retta ai corrispondenti
punti A'B'C'D' di un'altra. Se poi, con ripetute opera-
zioni del genere si ritorna alla primitiva retta, allora
esistono due punti della medesima che, malgrado le
operazioni fatte, vengono a coincidere con i loro corri-
spondenti (cosiddetti due punti uniti). Quando poi da
un piano, dopo ripetute operazioni di proiezione e sezione,
si ritorna sullo stesso piano, sono tre i punti uniti, ed
inoltre esiste una conica la quale viene a coincidere con
se stessa (conica invariante) senza però che un punto
coincida col suo corrispondente, ma in modo che ciascun
punto della conica, considerato prima di eseguire le dette
operazioni, viene a cadere sopra un altro punto della co-
nica stessa.

Orbene, nel 1872, il Klein, valendosi della metrica
del Cayley, mostrava che le tre geometrie nominate nel

precedente paragrafo si possono considerare come un'u-
nica geometria sotto il punto di vista proiettivo, la quale
dipende esclusivamente dalla trasformazione proiettiva
adottata per trasformare il piano in se stesso (cioè movi-
mento del piano su se stesso, inteso in un senso più largo).
La trasformazione proiettiva che lascia invariati due spe-
ciali punti immaginari, detti punti ciclici, e la retta da essi
determinata (contenente i punti inaccessibili) esprime,
con opportuna metrica, i movimenti del piano euclideo
(i movimenti ordinari). Nel piano non euclideo di Lö-
batchewski, l'inaccessibile è costituito da una conica
reale che i movimenti in quel piano, cioè l'opportuna
trasformazione proiettiva, lasciano immutata. Nel piano
di Riemann l'inaccessibile non esiste, o, meglio detto, è
formato da punti immaginari. I punti immaginari, benché
non disegnabili sul piano, possono indirettamente rap-
presentarsi, come, verso la metà del secolo passato, ha
fatto lo Staudt, il quale, con metodi sintetici di straordi-
naria eleganza, ha mostrato il collegamento di quei punti
con i punti reali, analogamente come nella geometria
proiettiva si manovrano i punti inaccessibili (punti a
distanza infinita) per il tramite di quelli che sono invece
accessibili.

Ma i grandi progressi della geometria si ebbero dal
suo connubio con l'analisi, come si vedrà nei paragrafi
seguenti.

VII. GEOMETRIA ANALITICA

A fondamento della geometria analitica sta la rappresentazione di un punto mediante numeri. Nel senso più ristretto questi nu- meri, detti coordinate, sono le distanze del punto generico, preso in considerazione in un piano, da due rette fisse O X, O Y del piano stesso, fra loro perpen- dicolari, chiamate assi cartesiani. Oppure, se si tratta di studiare figure nello spazio, le coordinate, in nu- mero di tre, sono le rispettive distanze da tre piani fissi, tra loro perpendicolari, come fossero due pareti contigue e il pavimento di una stanza rettangolare, i cui spigoli O X, O Y, O Z sono i tre assi cartesiani dello spazio.

Così, dato un punto, si possono determinare le sue
coordinate, costruendo le anzidette distanze, e viceversa,
dati tre numeri, ed interpretati come distanze, si può
risalire al punto avente come coordinate i tre numeri
dati.

Data poi nel piano una linea, le due coordinate a, b,
di un punto generico di essa, non possono essere en-
trambe arbitrarie, perché se è nota l'una, si deduce
l'altra. Ad es., se è nota l'ascissa a, che è la distanza
del punto P dall'asse y, il punto si può determinare quale
intersezione della linea data con la parallela all'asse y,
situata da questo alla distanza a; ed allora, conosciuta la
posizione di P sulla linea, sarà conoscibile anche l'altra
coordinata b. Dunque una linea comporta un collega-
mento tra le coordinate dei suoi punti, il quale sarà
espresso da un'equazione tra queste ultime. Così una
equazione di primo grado tra le coordinate rappresenta
una retta, una di secondo grado una conica (ellisse o
parabola od iperbole) e così via, mentre dalle coordi-
nate di due punti, mediante il teorema di Pitagora, si
ricava la distanza fra di essi, e dalle equazioni rappresen-
tanti due rette si ricava l'angolo che fra esse formano. In
tal modo i problemi grafici si possono trasformare, tal-
volta vantaggiosamente, in problemi algebrici o, come
ora con maggiore generalità si dice, in problemi analitici.

In fondo, anche la trigonometria, che si può far ri-
salire a Tolomeo, traduce in numeri i problemi riguar-
danti i triangoli ed i poligoni in genere, ma da un punto
di vista meno generale della geometria analitica. Mediante
la trigonometria ed il sussidio dell'algebra, molti problemi
di geometria elementare si traducono nella risoluzione
di equazioni, facilitando spesso una ricerca la quale, se
attraverso il metodo puramente sintetico si risolve in modo
più elegante, talvolta importa maggior fatica di indagine.
Naturalmente, nella scelta degli assi di riferimento, ad
evitare complicazioni, conviene adoperare elementi in-
trinsecamente connessi con quelli del problema. È questa

la veduta che ha guidato Ernesto Cesaro nella sua geniale trattazione della Geometria intrinseca, pubblicata nel 1896. Tuttavia, l'economia di lavoro di logica che si verifica impiegando il metodo analitico nella risoluzione di un quesito geometrico, trova per riscontro un maggior lavoro nello sviluppo dei calcoli.

La geometria analitica, nel suo sviluppo, ha man mano stabilito importanti legami con la proietiva ed ha messo in luce peculiari proprietà delle linee e delle superfici, ma il suo grandioso progresso lo ha avuto allorché si è sposata all'analisi infinitesimale per dar luogo alla geometria differenziale.

VIII. ANALISI INFINITESIMALE

Il concetto di grandezza che sia pensata comunque piccola, o come anche si suol dire indefinitamente piccola, è essenzialmente dinamico, in quanto esso, appena fissata una grandezza, viene sollecitato a fissarne un'altra minore, ad esempio minore della metà della precedente, e così via con processo continuo. Da questo dinamismo di rimpiccolimento balza fuori il concetto di infinitesimo (attuale).

Esso si ritrova, se pur nascostamente, già nella geometria elementare (nel teorema sulla equivalenza delle piramidi e nella teoria della rettificazione e quadratura del cerchio) mentre si compenetra con l'esistenza del limite verso cui tende una grandezza, in quanto la differenza tra la grandezza ed il suo limite può divenire infinitesima. Con Newton interviene il confronto, e più precisamente il rapporto tra infinitesimi, quando la velocità istantanea viene pensata come rapporto tra spazio infinitesimo e tempo infinitesimo impiegato a percorrerlo. Sorgono così i concetti di funzione, di rapporto incrementale e di derivata.

La funzione non è altro che la relazione di dipendenza tra due variabili, come, ad es., la relazione tra spazio percorso da un mobile ed il tempo impiegato, la relazione tra la lunghezza di una sbarra e la sua temperatura. La seconda delle due variabili dicesi indipendente, la prima si dice dipendente da questa od anche funzione di questa; ma l'ufficio di dipendenza può anche essere invertito.

Il rapporto incrementale è il rapporto tra l'incremento della variabile dipendente ed il corrispondente incremento della variabile indipendente. Così se lo spazio percorso è, dalle ore 8 alle 11, passato da 280 a 490 km., l'incremento di spazio sarà 210 km., l'incremento di tempo sarà 3 ore ed il rapporto incrementale (velocità media) risulterà espresso da 210 : 3 = 70. Quando questi incrementi sono infinitamente piccoli si ha la cosiddetta derivata della funzione. Così, ad es., la velocità istantanea sopra citata è la derivata dello spazio (funzione) rispetto al tempo (variabile indipendente).

Di una funzione conviene spesso dare la rappresentazione geometrica, portando sul piano del disegno i punti le cui coordinate sono, l'una il valore della variabile indipendente x, l'altra il corrispondente valore y della funzione; e si ha così una curva che viene denominata diagramma della funzione. La funzione y si indica con f(x) per ricordare la sua dipendenza dalla variabile x; perciò si scrive y = f(x). La variabile indipendente x può essere considerata, non per tutti i possibili valori, ma soltanto, ad es., per quelli compresi tra i due numeri a, b, ed allora si dice che la funzione f(x) è definita nel solo intervallo (a, b). Allo stesso modo il moto di un treno viene considerato nel solo intervallo di tempo dalla partenza all'arrivo. La derivata di f(x) calcolata punto per punto, per tutti i punti dell'intervallo (a, b), costituisce a sua volta una nuova funzione, perché ad ogni valore di x compreso in quell'intervallo corrisponde un valore della derivata. Questa viene indicata con f'(x) od anche, quando si vuol mettere in vista la sua origine dal rapporto incrementale, con df/dx oppure con dy/dx (differenza infinitesima della y diviso per dx, differenza infinitesima corrispondente della x).

Ma allora sopra la f'(x) si può generalmente iterare l'operazione di derivazione e si ottiene allora una nuova

funzione: la derivata seconda, che si indica con f''(x), e così via.

All'operazione di derivazione si collega l'operazione inversa: la integrazione indefinita, che consiste nella ricerca della funzione F(x) la quale ammette come derivata una funzione data f(x); ricerca non sempre agevole.

Si consideri ora l'area limitata dal diagramma di una funzione f(x), dal segmento (a, b) dell'asse x comprendente i punti x per i quali è definita la funzione, ed inoltre limitata dalle due perpendicolari condotte all'asse x, nei punti a, b. Per ricercare quest'area, anzitutto si divida il segmento (a, b) in parti infinitesime che si indicheranno genericamente con dx; poi si sommino le aree di tutti i rettangolini aventi per base un elemento dx, e per altezza il segmento HK, che è lungo f(x), se x è la misura di OH (una delle coordinate del punto K del diagramma). Ogni areola sarà data dal prodotto f(x) . dx e quindi la somma si rappresenterà col simbolo d'uso:

∈t_{b}ᵃ f(x) · dx

Il calcolo di questa sommatoria di infiniti termini, ciascuno infinitesimo, è puramente ideale se lo si considera come limite di una somma di un numero finito di termini finiti, sia pur piccoli. Però spesso si può effettuare a mezzo dell'integrazione indefinita sopra accennata. E difatti, se si riesce a trovare quella funzione F(x) che ha per derivata f(x), allora la differenza F(b) - F(a), cioè tra il valore che assume F in b, e quello che assume in a, è appunto il valore di quella sommatoria. Questa prende il nome di integrale definito; il suo concetto fu stabilito la prima volta con rigore dal Mengoli (1659).

Nel secolo scorso e ai primi del presente, la possibilità di eseguire operazioni di derivazione e di integrazione ha suscitato una serie di questioni le quali hanno chiarito e straordinariamente esteso il concetto di funzione. Ne sono così nate la teoria delle funzioni e le teorie relative a tutte le operazioni infinitesimali ad esse applicate (derivazione, integrazione, equazioni differenziali, equazioni integrali, equazioni integrodifferenziali). Si citeranno appena alcuni del numeroso stuolo di matematici che hanno lavorato in questi campi: Cauchy, Jacobi, Riemann, Briot Bouquet, Weierstrass, Betti, Brioschi, Casorati, Dini, Mittagheffler, Arzelà, Peano, Du Bois Reymond, Pincherle; e più vicini a noi Volterra, Vivanti, Borel, Lebesgue, Denpois, Caratheodory, De La Vallée Poussin, Tonelli, Ricci.

Le equazioni differenziali ordinarie legano le derivate di una o più funzioni di una sola variabile (funzioni incognite) ad altre funzioni note. Tutti i problemi della dinamica dei sistemi meccanici, costituiti da un numero discreto di punti materiali, dipendono da equazioni del genere. Queste sono tali che, se è conosciuta la posizione di un punto materiale, insieme con la sua velocità, in un dato istante, e se sono note le forze agenti sul punto, si può descrivere il moto che questo può effettuare da quell'istante in poi, ed anche conoscere il moto che esso ha percorso prima di quell'istante. Risultato, questo, che, ai tempi in cui imperava il meccanicismo dell'Universo, suscitò il determinismo. Poiché l'Universo è composto di particelle materiali mobili, si può, note che siano posizione e velocità dei singoli punti materiali in un dato istante, ricostruire la storia del passato e profetare lo sviluppo dell'avvenire.

L'affermazione, che, entro certi limiti ristretti, rappresenta una bella conquista della scienza (tanto da fare prevedere molti fenomeni astronomici e permettere di progettare meccanismi il cui funzionamento reale aderisce alle previsioni), diviene estremamente orgogliosa e fallace quando si assume in senso troppo esteso. Pur stando alle ipotesi della meccanica classica, si dimostra che in alcuni sistemi materiali esistono momenti di indeterminazione (una specie di punti morti quali si riscontrano anche in meccanismi banali) dai quali senza sforzo si può uscire ed in varie direzioni.

Le equazioni differenziali a derivate parziali concernono legami tra le derivate di una funzione (o più) incognita, eseguite rispetto a ciascuna delle sue due o più

variabili, ad altre funzioni note. I problemi di movimento a infinite variabili, quali competono ai mezzi continui (fluidi, corpi elastici, ecc.) si connettono con queste equazioni. Ad esse si collegano la maggior parte delle questioni di fisica matematica.

Nelle equazioni integrali, le funzioni incognite sono, insieme a funzioni note, vincolate sotto l'operazione di integrazione; ordinariamente i legami sono molto semplici (lineari) ed allora la risoluzione di un'equazione integrale può farsi con approssimazione, ad es., riducendo l'equazione

ad un sistema di equazioni algebriche di primo grado (cf. n. III). Alla teoria delle equazioni integrali sono legati i nomi di Abel, Volterra, Fredholm, Schmidt, Picard, Goursat, Hilbert, Fantappiè ed altri.

Nelle equazioni integrodifferenziali, studiate per la prima volta dal Volterra, la funzione incognita appare non soltanto sottoposta ad operazioni di integrazione, ma anche di derivazione. Tali equazioni si presentano nei problemi fisici di interessi, i quali intervengono quando i materiali assoggettati a forti cimenti, se sono elastici, oppure a forti magnetizzazioni, se sono paramagnetici, conservano il ricordo della storia dei trattamenti subiti fin dal principio.

La ricerca delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie è stata messa su basi rigorose, accertanti anzitutto l'esistenza di soluzioni e poi la costruibilità, da Cauchy. Notevolissimi studi sono seguiti in tutto il secolo scorso e fino ad oggi, specie per quanto concerne la dipendenza delle soluzioni dalle cosiddette condizioni estremali, cioè dalle condizioni che devono essere verificate negli estremi del campo nel quale si ricercano le funzioni incognite. Le condizioni estremali talvolta non si possono dare del tutto a piacere, perché richiedono una certa compatibilità la quale può essere assicurata solo quando un parametro dell'equazione, cioè una variabile che non figura nelle operazioni di derivazione, assume particolari valori numerici chiamati autovalori, a ciascuno dei quali generalmente corrisponde una soluzione dell'equazione. La particolare soluzione prende il nome di autofunzione. Immenso è l'interesse degli autovalori e delle autofunzioni. I primi, in molti problemi di movimento che capitano nella fisica matematica, danno le frequenze di vibrazione del fenomeno e si sa quanto importi la conoscenza delle medesime, quando, nei progetti di raffinata ingegneria, occorra premunirsi contro il pericoloso fenomeno di risonanza.

IX. SVILUPPI IN SERIE

Si è già accennato alla impossibilità di esprimere un numero razionale mediante un numero limitato di cifre e alla impossibilità di esprimere alcune operazioni mediante un numero limitato di altre. Ci si trova cioè spesso di fronte a procedimenti senza termine; tra questi uno molto importante e frequente è quello di sommazione per serie.

Si addizioni ad un numero la sua metà, poi la metà della metà, e così via; si avrà uno dei più semplici esempi di serie convergente (in questo caso la somma tende verso il doppio del numero iniziale). Non sempre però si può

raggiungere il risultato limite in modo semplice, ed allora ci si deve contentare di sommare solo i primi termini della serie, commettendo generalmente un errore tanto minore, quanto maggiore è il numero dei termini effettivamente addizionati. Vi sono però serie più o meno rapidamente convergenti verso un limite, ed esistono anche serie divergenti, tali cioè che man mano che cresce il numero dei termini che si addizionano effettivamente, la somma risultante cresce oltre ogni limite. Esistono anche serie indeterminate od oscillanti, cosiddette perché,

man mano che aumenta il numero dei termini addizionati, la somma non mostra di tendere ad un limite determinato, come, ad es., avviene per la serie: -I + I - + I - I + ...

Il concetto di serie numerica (somma di infiniti numeri), si estende a serie letterali e quindi a serie di funzioni. Una serie di funzioni sintetizza una infinità di serie numeriche, una per ogni punto dell'intervallo (a, b) dove sono definite le funzioni. Simbolicamente si scriverà: f₁(x) - f₂(x) + f₃(x) - f₁(x) + ... dove l'indice a piedi della lettera f designa la diversità delle funzioni di x che vengono addizionate, e dove ad

ogni valore di x corrisponde nella somma indicata, una serie numerica.

Con molta generalità si può dire che ogni operazione eseguita sopra una variabile x è esprimibile sotto la forma di una serie di funzioni. Un polinomio di grado n, come ad esempio a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴ + ... + aₙxⁿ, è l'operazione più semplice che si possa compiere sulla variabile x; a₀ a₁ a₂... sono numeri fissi, mentre x varia (le a sono i coefficienti del polinomio). Se il numero dei termini di questo e quindi il suo grado aumenta oltre ogni limite, allora si ha la cosiddetta serie di potenze, che è stata uno dei primi tipi considerati per la serie di funzioni. Mediante esse vengono espresse molte funzioni cosiddette elementari, quali le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente e cotangente), il logaritmo, l'esponenziale e', ecc. Con i polinomi, oppure con le funzioni elementari, si compongono altre serie, tra cui importanti sono le serie di polinomi di Legendre, di Laguerre, di Hermite, le serie trigonometriche, che sono somme di seni e coseni di multipli di un angolo x, le serie di Bessel, di Sturm, Liouville, ecc.

Le proprietà delle serie sono state oggetto di studio per parte di Frullani, Bonacci, Abel, Kummer, Riemann, Dirichlet, Dini, Peano, Cesaro ed in questo secolo, tra i più recenti, Borel, Tonelli, Picone. Le questioni trattate riguardano tanto la rappresentabilità delle funzioni mediante le varie specie di serie, quanto la natura della convergenza delle medesime.

Esistono serie non sommabili direttamente, perché oscillanti, ma che possono utilizzarsi, perché sommabili in media. E cioè la somma diventa eseguibile raggruppando i termini, facendo la somma per ciascun gruppo e in ultimo addizionando queste somme parziali, previa applicazione a ciascuna di un opportuno coefficiente. Questo metodo è dovuto al Cesaro; ulteriori sviluppi e considerazioni si devono al Féjer ed al Teofilato, il quale, mettendosi da un punto di vista molto generale, ha mo-

strato come il metodo del Cesaro si ricolleghi agli integrali del Poisson e del Dirichlet. Lo studio delle serie trigonometriche e la rappresentabilità di una funzione generica per mezzo di esse, e come si suol dire la sviluppabilità della funzione in serie di Fourier, è stato approfondito dal Dirichlet e successivamente esteso ed elaborato dal Tonelli e dal Picone.

Dalla generalizzazione degli sviluppi in serie trigonometriche sono venuti quelli in serie di funzioni ortogonali, che generalmente non sono altro che le autofunzioni di cui si è sopra parlato e che tanta importanza hanno nelle questioni di fisica-matematica. A proposito delle funzioni ortogonali si citano i nomi di Schmidt, Tamarkine, Picone, Sansone.

X. ANALISI FUNZIONALE E CALCOLO DELLE VARIAZIONI

Nacque verso il 1880-90 per opera di alcuni giovani matematici italiani, i quali posero le basi di uno studio delle funzioni di linea, denominate funzionali, come, ad es., l'integrale definito esprimerile la lunghezza di una curva, oppure l'area del diagramma della intensità di una corrente che passa per un dato circuito, considerata in funzione del tempo, ognuna delle quali grandezze dipende simultaneamente da tutti i valori che assume una funzione in un dato intervallo.

Nascevano così anche le cosiddette operazioni funzionali, cioè quelle corrispondenze che fanno passare da un funzionale ad un altro, e con esse sorgeva anche un calcolo simbolico di cui, primi ad occuparsi, furono Pincherle ed Amaldi. Il punto di vista di questi due autori fu particolarmente qualitativo; accanto ad esso ne venne un altro, dovuto al Volterra, il quale si servì del passaggio concettuale dal discontinuo al continuo, per trasformare gli indici (cioè il numero d'ordine) con cui sono caratterizzate le funzioni sulle quali si opera, in una variabile continua (parametro). In questo modo, invece di parlare di prima funzione, seconda, terza, ecc. si parlerà di una infinità continua di funzioni, distinte dal valore che si attribuisce al parametro, il quale finisce per intervenire come una variabile di più che si va ad aggiungere a quelle già possedute dalle funzioni. La derivazione rispetto all'indice, già adottata da Eulero e da Laplace, fu così estesa dal Volterra alla derivazione parziale (cf. n. IX), al differenziale del funzionale, allo sviluppo in serie di Taylor, ottenendo in tal modo algoritmi molto utili per la trattazione delle equazioni integrali. Con veduta diversa, fondandosi sui risultati del Dini, circa la teoria delle funzioni di variabile reale, e fondandosi sulla teoria degli insiemi, l'Arzela poneva le basi dell'assetto dell'analisi generale costituita poi, in questi ultimi anni, dal Fréchet e da altri. Il Tonelli, a sua volta, occupandosi del calcolo delle variazioni, cioè del calcolo che studia la variazione di un funzionale (come la variazione della lunghezza di una curva che subisca una deformazione infinitesima) introdusse il concetto della semicontinuità del funzionale, concetto fecondo che gli permise tra l'altro di rendersi ragione della fortuna di alcuni procedimenti prima usati, e che lo condusse a nuovi sviluppi ed applicazioni. In questo indirizzo vi sono notevoli lavori di Cinquini, Caccioppoli, Cimmino.

Il Fantappiè ha seguito una nuova via nello studio dei funzionali, sviluppando nel campo complesso i risultati che Volterra aveva ottenuto nel campo reale. In questo modo il Fantappiè ha raggiunto una coordinazione di vari teoremi, che nell'esposizione del Volterra mancava, ed ha trovato brillanti correlazioni tra proprietà delle funzioni di variabile complessa e funzionali; in ultimo ha applicato la sua teoria alle equazioni differenziali, alle equazioni integrali ed alle matrici.

Merita infine menzione il calcolo operatorio simbolico, che, in circostanze opportune, permette di sostituire una delle operazioni di derivazione o di integrazione con una variabile, agevolando in tal modo spesso la trattazione delle equazioni della elettrotecnica. Da ricordare in proposito i nomi di Heaviside, Giov. Giorgi e Aldo Ghizzetti.

XI. GEOMETRIA ALGEBRICA

Dell'applicazione dell'algebra alla geometria si è già parlato nel paragrafo dedicato alla geometria analitica. Da quel connubio è anche nata la geometria algebrica.

Questa, nella prima metà del secolo scorso, ebbe valorosi cultori in Italia per merito della scuola napoletana e di Tortolini e Chelini a Roma; in Inghilterra, per opera di Salmon, Cayley, Sylvester. Nella seconda metà dell'Ottocento, il Battaglini continuò nell'indirizzo inglese, mentre il Cremona si ispirò piuttosto all'indirizzo sintetico seguito in Germania da Steiner e Staudt, infondendo nei giovani matematici del suo tempo l'amore alla geometria. Egli, in numerosi lavori, mise in luce, dei problemi geometrici, quell'aspetto qualitativo che, in anni più vicini a noi, ha assunto un carattere funzionale. Al Cremona si devono le trasformazioni birazionali, dette poi in suo onore cremoniane, le quali furono studiate dal punto di vista dei gruppi e degli invarianti (cf. n. IV) e costituiscono una generalizzazione delle trasformazioni proiettive. Una vasta schiera di discepoli seguì le tracce del maestro; si citano De Paolis, Caporali, Bertini, Corrado Sègre, Montesano, Del Pezzo, Guccia.

Accanto all'evoluzione della geometria proiettiva, che andava assumendo un carattere sempre più generale nel senso cremoniano, e che potrebbe dirsi un carattere birazionale, andava svolgendosi la geometria iperspaziare che in Italia ebbe cultori in D'Ovidio, Veronese, Corrado Sègre, Del Re. Il concetto di iperspazio corrisponde alla rappresentazione di un insieme di elementi geometrici, ciascuno determinato da un insieme di n numeri (n maggiore di 3), coordinato dell'elemento nel suo iperspazio, le quali vanno intese in un significato molto generale che ora si cercherà di adombrare.

Un punto del piano è individuato da due numeri che possono essere tanto le note sue coordinate cartesiane, quanto, ad es., le lunghezze dei raggi dei due circoli passanti per il punto considerato e per l'origine degli assi cartesiani, ed aventi i rispettivi centri sopra gli assi stessi. Infatti queste due nominate lunghezze sono atte a permettere la costruzione e quindi la individuazione del punto. Così le rette di un piano possono individuarsi ciascuna dalle lunghezze dei due segmenti che essa stacca sugli assi, a partire dall'origine. Ma allora, nel piano, una retta può rappresentarsi con un punto, quello cui corrisponde la stessa coppia di numeri, e viceversa; e difatti esiste il cosiddetto principio di dualità, per cui da tutti i teoremi grafici (nei quali entra cioè esclusivamente il concetto di appartenenza) riguardanti rette e punti si deducono altrettanti teoremi, col semplice scambio delle parole: rette e punto.

Nello spazio ordinario, mentre un punto è individuato, come si sa, da tre numeri, una retta è determinata da quattro numeri, per modo che le rette dello spazio ordinario si possono far corrispondere ai punti di un iperspazio a quattro dimensioni; ed allora, poiché all'iperspazio di punti si possono estendere le trasformazioni proiettive, così dalle proprietà proiettive dei punti dello iperspazio a quattro dimensioni si deducono proprietà proiettive riguardanti le rette dello spazio ordinario.

Il più generale significato attribuito alle coordinate, sfruttato con successo dal Lamé in poi, in tante questioni di fisica-matematica, ed il concetto di iperspazio divenivano fecondi di importanti risultati. Il Castelnuovo e il Sègre applicarono allo studio delle serie lineari sopra una curva il metodo iperspaziare e cercarono le proprietà invarianti rispetto a trasformazioni cremoniane. Nuovi studi sorsero, come la geometria sopra una superficie e la geometria numerativa, mentre ai metodi di ricerca algebrici, seguiti fino al 1900, sopravvennero metodi trascendenti, per mezzo dei quali il Severi, valendosi dell'originale concetto di serie caratteristica di un sistema continuo, stabilì interessanti collegamenti tra caratteri di una superficie ed integrali che ad essa si riferiscono. Una numerosa schiera di matematici italiani si è dedicata allo studio di questa connessione tra proprietà geometriche e funzioni trascendenti, tanto che si può affermare con sicurezza il primato dell'Italia nella geometria algebrica.

divenuta ora, per la dovizia dei mezzi di ricerca e di messe raccolta, uno dei più superbi rami della m.

XII. GEOMETRIA DIFFERENZIALE

Alle prime origini, che risalgono al sec. XVII, sono legati i nomi di Cavalieri e Torricelli; un secolo dopo figurano i nomi di Eulero, Monge, Dupin; agli inizi dell'Ottocento, quelli di Gauss e Lamé. Seguirono, in Italia, Chelini, Codazzi, Betti, Brioschi, Casorati e brillante fra tutti, per importanza ed eleganza di risultati, il Beltrami; fuori d'Italia, il Riemann e più tardi il Klein apportarono alla nuova disciplina considerevoli contributi.

La geometria differenziale si valeva dei metodi del calcolo infinitesimale al fine di studiare le peculiarità di linee, superficie iperspazi, e più generalmente per dirigere le sue ricerche dovunque intervenisse, con la considerazione di continuità, quella di elementi infinitamente vicini fra loro. Sono state così studiate la curvatura delle linee e delle superfici, inoltre l'applicabilità di una superficie sopra un'altra mediante semplice flessione, senza distensione, così come quando la superficie di un cilindro, tagliato secondo una generatrice, si adagia perfettamente sopra un piano, senza che lo si abbia a stirare, come avviene se si deve adagiare una calotta sferica di gomma sopra un tavolo piano. Sono state altresì studiate particolari linee giacenti sulla superficie e godenti di importanti proprietà; tra esse, le linee geodetiche o linee di minimo percorso, le quali, quando la superficie si adagia sopra un'altra nel senso su descritto, purché vi sia applicabile, si sovrappongono alle geodetiche dell'altra, così come le etiche di un cilindro, che sul cilindro sono linee di minimo percorso, si adagiano sulle rette del piano su cui il cilindro viene sviluppato. Questi concetti, che sono fondamentali per la cartografia (la quale ha per scopo di rappresentare la superficie della terra sopra la carta), vennero applicati dal Beltrami ad una particolare super-

superficie, la pseudosfera, derivandone brillanti connessioni con la geometria non euclidea. Infatti, la geometria costruita con le geodetiche della pseudosfera non è altro che la geometria che si verifica per le rette del piano di Löbatchewski.

Nel frattempo, il Riemann prendeva lo spunto dalla forma che assume la distanza di due punti infinitamente vicini sopra una superficie, espressa per mezzo di elementi geometrici ed analitici riferentisi alla superficie stessa, per staccarsi dal teorema di Pitagora e considerare la distanza di due punti nello spazio o nell'iperspazio, in una nuova e più generale forma. Ne è venuta fuori così l'idea di curvatura dello spazio e dell'iperspazio, idea che nella odierna teoria della relatività ha acquistato significato concreto (cf. n. VI).

Nello studio delle trasformazioni delle superfici sono state poi esaminate quelle che conservano le aree, quelle conformi, che conservano gli angoli (entro regioni infinitesime), quelle che mutano geodetiche in geodetiche, tutte trasformazioni, queste, di particolare interesse per la cartografia.

Le varie trattazioni ora esposte appartengono all'indirizzo classico; ma l'indirizzo più moderno e fecondo, che ha permesso lo sviluppo della teoria della relatività, è quello segnato dal calcolo assoluto, inventato dal Ricci Curbastro e sviluppato oltre dal Levi Civita. Questo calcolo studia l'invarianza di enti geometrici di fronte alla più generale trasformazione di coordinate, intendendo queste ultime nel senso più esteso, cui si è già fatto cenno nel n. XII.
Già si è accennato nel n. VIII, che il riferimento ad un sistema di assi piuttosto che ad un altro non è indifferente, perché, se il riferimento è connesso con la questione che si sta trattando, ne semplifica straordinariamente lo sviluppo. Per questo il Cesaro, nella citata Geometria intrinseco, aveva usato un riferimento appropriato, da lui chiamato intrinseco e che in linguaggio moderno si direbbe anolonomo: un sistema di assi e quindi un sistema di coordinate per ciascun punto di una linea (o superficie) onde studiarne il comportamento nell'intorno infinitesimo del punto considerato.

Il grande successo del calcolo assoluto nelle applicazioni alla fisica relativistica si deve appunto all'uso di un riferimento anolonomo, ancora più vantaggioso di quello del Cesaro, perché nelle accennate applicazioni presenta un carattere invariativo per gli enti considerati.

Il calcolo assoluto, cui avevano spianato la via le precedenti ricerche di Riemann, Beltrami, Cristoffel, s'impone col cosiddetto trasporto parallelo e la derivata covariante. Il trasporto parallelo ha un significato ben chiaro nello spazio euclideo, quando si trasporta un segmento (vettore) parallelamente a se stesso, ma è a prima vista indefinito in uno spazio curvo (cf. n. VI). Però, in uno spazio curvo, la curvatura si fa poco sentire nell'ambito di una piccola regione, allo stesso modo come la curvatura della superficie terrestre non si avverte in un piccolo specchio di acqua. Quindi, per ogni punto dello spazio curvo, si può considerare uno spazio ordinario infinitesimo, il quale sia, come si suol dire, tangente a quello curvo, si confonde cioè con quest'ultimo nel campo infinitesimo, così come una piccola regione di superficie terrestre si può confondere col piano. Ed allora, nell'ambito di questo spazio ordinario limitato, si può eseguire il trasporto del vettore A B, dalla posizione A B, alla posizione parallela A' B', infinitamente vicina, secondo i concetti euclidei elementari. Successivamente si considera lo spazio infinitesimo ordinario tangente a quell'intorno dello spazio curvo che circonda A' B', ed in questo secondo spazio ordinario eseguire il trasporto parallelo da A' B' in A' B', e così via.

Allo stesso modo, sulla superficie del mare ha un significato lo spostamento dell'asse longitudinale A B della nave, parallelamente a se stesso di un chilometro. Adottando coordinate geografiche (latitudine e longitudine) ed iterando lo spostamento mille volte, la nave avrà subito un trasporto parallelo nel senso del calcolo assoluto, ma non si potrà asserire che l'asse della nave nella posizione di partenza sia effettivamente parallelo a quella finale,

nel senso euclideo. Difatti, considerando in ogni posizione della nave la proiezione di A B sul meridiano e quella sul parallelo, esse non varieranno finché si riferiscono a posizioni vicine, ma varieranno invece molto per posizioni lontane; basti pensare allo spostamento della nave lungo il parallelo di Napoli, mentre, chilometro per chilometro, essa orienti l'asse A B secondo il meridiano del luogo, invece di conservarsi parallela a se stessa come dovrebbe fare nel trasporto parallelo. In altre parole, si consideri il cono tangente alla sfera terrestre lungo il parallelo accennato, quasi un cartoccio a punta che contenga, toccandola, una palla rappresentante il mappamondo, e si spieghi il foglio del cartoccio sopra un tavolo. Sulla carta così spiegata, si disegni, volta per volta, l'immagine dell'asse della nave nel suo spostamento parallelo. La posizione iniziale di quest'asse risulterà, sul tavolo, parallela alla finale, ma il parallelismo cesserà quando il foglio si accartoccerà nuovamente sulla sfera, mentre le varie immagini dell'asse A B faranno con le rispettive generatrici del cono un angolo variabile da generatrice a generatrice. Insomma, dopo mille chilometri, l'angolo tra posizione di partenza e posizione finale sarà di poco meno di dieci gradi.

Per stabilire la somma vettoriale di due vettori, occorre costruire la diagonale del parallelogramma formato dai due vettori trasportati parallelamente a se stessi fino ad avere l'origine comune, così come si fa per due forze agenti sopra un solido, quando se ne voglia trovare la risultante. Analogamente si opera per la differenza vettoriale, che nello spazio ordinario si fa col trasporto parallelo, come quando, data la risultante di due forze agenti sopra un solido e data una delle forze, si voglia trovare l'altra. Questa operazione, che nello spazio ordinario ha un significato indipendente dal posto che ognuno dei due vettori occupa, invece nello spazio curvo si definisce eseguendo il trasporto parallelo nel nuovo significato intorno per intorno (si pensi alla nave sopra indicata). Quando la differenza è infinitesima, si ha il differenziale (incremento infinitesimo del vettore) e quando si divide questa differenza per il differenziale (incremento infinitesimo) della variabile, si ha la derivata covariante prima nominata.

Sono questi gli enti fondamentali del calcolo assoluto che poi vengono approfonditi ed estesi dotando così la m. di uno strumento poderoso di indagine nel campo fisico.

Altri studi recentissimi si ricollegono a queste teorie dovuti a Bortolotti (Enes) Bompiani, Cartan. Ma lo studio essenzialmente metrico della geometria differenziale doveva trovare fin dal principio un punto di contatto con la geometria proiettiva. La connessione istituita prima dal Klein nel 1872, riduceva, come già si è accennato al n. VII, le tre geometrie, di Euclide, di Lobatchewski, di Riemann ad una sola, sotto l'aspetto proiettivo. Queste, a loro volta, potevano essere sintetizzate con altre geometrie considerando le trasformazioni proiettive come comprese fra le trasformazioni cremoniane.

Un passo ulteriore è stato compiuto, tra il 1918 ed il 1924, dal Weyl e dal Cartan, con la considerazione dello spazio a connessione affine, oppure a connessione conforme, od a connessione proiettiva. Viene così costruito uno spazio, passo a passo, in modo che ogni elemento spaziale infinitesimo si possa riferire al suo vicino rispettando l'affinità, o la conformità, o la proiettività.

In altra direzione, e precisamente nell'approfondimento ed estensione dell'analisi situs, intraveduta dal Clifford nel secolo scorso, si è andata sviluppando la topologia che, sposata alla geometria differenziale, è stata oggetto di studi notevolissimi del Severi e di Blaschke. L'intreccio dei vari rami di cui si è fatto cenno al n. I è più che mai verificato, nella interferenza della geometria differenziale con le altre discipline m.

XIII. CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

Nato fra il 1600 ed il 1700 con Buffon, Pascal, ed elaborato poco dopo da Bernoulli, Eulero, D'Alembert, Condorcet, ha avuto la sua messa a punto da Laplace e, nella prima metà dell'Ottocento, da Gauss e Poisson;

contributi e precisazioni notevoli vi hanno poi recato Bertrand, Tchebichef, Kolmogorof.

Il calcolo delle probabilità mira a determinare le leggi del caso. L'intenzione è a prima vista paradossale, in quanto, ciò che è veramente fortuito, nel momento che lascia adito a previsioni, perde quella essenza di incertezza di cui esso è rivestito. Ma cosa c'è di veramente fortuito? Nella realtà sono presenti numerose cause fisiche imponderabili od imponderate, che fanno oscillare l'evento intorno ad una media, interferendo fra loro, ora sommandosi ed ora elidendosi; tra le cause però, come già si è accennato a proposito del determinismo meccanicistico, devono comprendersi anche quelle morali, che sono di indiscutibile valore e capaci di dirigere l'evento nella direzione più impensata, o, come si dice in linguaggio probabilistico, meno probabile.

Il caso si riferisce alle cause fisiche ed è dominato da due leggi, che lo rendono meno fortuito: la legge dei grandi numeri e la legge degli scarti (o degli errori); la prima dovuta a Bernoulli, Poisson, la seconda a Gauss.

La prima, p. es., assicura che, data un'urna contenente novanta palline tutte eguali, differenti solo per il colore, perché 89 sono bianche ed una sola è rossa, il numero delle volte k che esce la pallina rossa, in seguito ad n estrazioni eseguite rimettendo ogni volta la pallina uscita nell'urna, è tale che la frazione k/n risulta tanto più vicina ad 1/90, quanto maggiore è il numero n dei tiraggi.

Viceversa, se su n tiraggi si verifica che il rapporto k/n oscilla intorno ad 1/90, avvicinandosi ad 1/90 sempre più col crescere di n, si può indurre che tra le 90 palline, una sola è rossa, e con un grado di certezza tanto maggiore, quanto maggiore è n. Se questa circostanza non si verifica, è segno che tra le palline vi è qualche altra diversità, oltre quella del colore. D'altra parte, quando si va a misurare una grandezza, qualunque sia la precisione degli strumenti, si trova ogni volta un valore diverso, con scarti tanto più piccoli quanto più perfetto è lo strumento. Ebbene, la seconda legge afferma che mentre la media delle misure ottenute è il valore più probabile della misura della grandezza, gli scarti da questo valore medio variano secondo l'equazione y = k · a^{-α²}, dove α è lo scarto ed y la frequenza con cui esso si verifica; la base a della funzione esponenziale ed il coefficiente k dipendono dalla precisione delle misure.

Sopra questi fondamenti, la teoria delle probabilità ha subito notevoli sviluppi ed applicazioni; dalla teoria degli errori di misura, che offre il modo più sicuro per compensarli, alla teoria della scommessa che studia l'equità dei giuochi di azzardo, la cosiddetta speranza matematica ed il rischio, governando così la determinazione dei premi di assicurazione; dalla deduzione delle leggi naturali quali si manifestano in un gruppo di esperienze, alla misura degli aggregati, siano essi costituiti da elementi fisici, biologici, demografici, sociali.

Del resto anche la fisica classica, in principio del tutto deterministica, è pian piano scivolata un po' nel probabilismo, quando ha enunciato il secondo principio della termodinamica, o principio della degradazione dell'energia, secondo il quale la natura si evolve verso forme sempre più probabili. Così, ad es., una bottiglia trasparente la quale contenga nella metà inferiore sabbia colorata in azzurro, e nella superiore la stessa qualità di sabbia, ma colorata in rosso, se la si agita per mescolarne i grani dei due colori, finirà dopo non molto per palesare un colore grigio uniforme, tanto che, prelevando una piccola quantità di sabbia, che pur contenga gran numero di grani, si riscontrerà che il numero dei grani rossi sarà all'incirca eguale a quello degli azzurri, con uno scarto tanto minore quanto maggiore sarà il numero dei grani prelevati. Sembra impossibile che, continuando ad agitare la bottiglia, possa riottenersi la separazione dei grani dei due colori nella primitiva disposizione; tuttavia questo risultato non è logicamente impossibile, però così poco probabile, quanto lo sarebbe il riprodurre un sonetto di Dante, tirando a sorte le parole di un vocabolario.

Il ripristino è appunto da attribuire ad una intelligenza la quale guidi, oppure susciti opportune forze a guidare; tanto più se, come nei miracoli riportati dai libri sacri e da ininterrotte tradizioni, il ripristino alle condizioni iniziali si verifica dopo un'avvenuta dissoluzione di organismo, al comando di una parola.

Nella fisica moderna, l'impossibilità di poter sceverare il divenire di un singolo corpuscolo subatomico, obbliga in modo assoluto a ricorrere ai criteri probabilistici, così come si farebbe per una folla che si è costretti ad osservare di lontano; non potendo seguire l'azione di un singolo individuo, si cerca di seguire il gruppo cui egli appartiene. Con questa differenza però, che mentre nel caso della folla il giudizio si emette sul gruppo per mancanza di strumenti adatti di osservazione, invece, per il corpuscolo subatomico, il giudizio è legato, oltre che alla impossibilità sperimentale, anche, almeno per ora, ad una impossibilità teorica; cosicché negli ultimi elementi della materia regnerebbe l'indeterminismo e su questo il calcolo delle probabilità. Si è detto indeterminismo; meglio si sarebbe detto indeterminazione, per non lasciar pensare ad un indeterminismo ontologico, che è il puro caso, cioè la negazione di qualsiasi legge (che invece si trova esistere perfino nel caso) oppure è un animismo della materia, ciò che pure è da scartare, se non in quanto connessa ai fenomeni vitali. Di questa attività finalistica della materia, il Fantappiè ha tentato dare una possibile interpretazione matematica, mediante i cosiddetti potenziali accelerati.

XIV. MECCANICA RAZIONALE E FISICA-MATEMATICA

Questi due importanti rami della m. hanno precedentemente avuto frequente occasione di essere menzionati, ma non sarà tuttavia superfluo ancora un rapido accenno che ne riguardi i loro sviluppi.

Da Archimede, che può ritenersi il fondatore delle due discipline, bisogna risalire i secoli fino a Galilei, Torricelli e Newton, per vederne iniziare lo sviluppo rigoglioso con apporti continui, cui sono legati i nomi di Huyghens, Bernoulli, Eulero, D'Alembert, Laplace, per arrivare alla classica sistemazione della meccanica razionale compiuta dal Lagrange, nella sua celebre Mécanique analitique, dove tutte le questioni di equilibrio e di moto si fanno discendere da due principi: quello dei lavori virtuali, che risale al Galilei, e quello dell'equilibrio delle forze perdute, dovuto al D'Alembert.

Con la meccanica dei solidi, progrediva anche quella dei fluidi, mentre si scoprivano nuovi e fecondi principi generali e, con i sempre più potenti mezzi matematici, si investigavano tutti i campi della fisica.

Ai principi e metodi generali sono legati i nomi di Jacobi, di Poisson, di Hamilton e di Hölder; alla teoria classica dell'elettromagnetismo: Ampère, Maxwell, Kirchhoff; alla moderna (relativistica): Eisenberg, Schrödinger, De Broglie; alla teoria dell'elasticità: Betti, Volterra, Kelvin, Somigliana, Levi Civita; alla fluidodinamica: Eulero, Lagrange, Laplace, Kelvin, Helmholtz, Kirchhoff, Levi Civita, Volterra, Prandtl, Cisotti.

Il calcolo delle strutture elastiche piane (travature) ha avuto particolari sviluppi in Italia, con metodi generali ed eleganti, dovuti al Cremona, al Castigliano, al Betti, al Menabrea. Le strutture degli aerei poi, nelle quali la leggerezza è in perenne contrasto con la robustezza, ha dato motivo, per la loro complicazione, a importanti lavori recenti del Broglie, il quale, precisati ed estesi i principi di massimo o minimo lavoro, ha trovato nuovi e solleciti metodi di calcolo per le strutture tridimensionali, finora di difficile approccio.

Dalla meccanica razionale è poi germogliato un nuovo ed importante ramo, quello dell'aerodinamica, la quale studia le sollecitazioni che esercita una corrente fluida sopra un solido in essa immersa. Sorta con lo sconcertante paradosso di Eulero-D'Alembert che dimostrava l'assenza di una resistenza all'avanzamento di un solido nel fluido, l'aerodinamica ha avuto straordinari sviluppi negli ultimi quaranta anni per opera di Prandtl, Levi Civita, Karmann, Lagally, Müller, Pistolesi, Oosen, Cisotti, Teofilato, Silla, Panetti, Ferrari.

Lo studio delle correnti dei fluidi compressibili e viscosi, delle correnti transoniche e supersoniche forma tuttora oggetto di numerose ricerche. Le velocità ultrasoniche, intimamente connesse ai principi della termodinamica, costituiscono anzi un nuovissimo ramo: la gasdinamica, in Italia coltivata da Ferrari, Luigi Crocco, Teofilato; essa si intreccia con la balistica classica alla quale sono legati i nomi di Eulero, Lagrange, Siacci, Signorini, e con la superbalistica cui dedica la sua fervida attività Gaetano Crocco.

Tutte le equazioni che governano i vari fenomeni fisici si possono far discendere da principi di minimo che in sostanza si riducono a quella che Maupertuis chiamò legge del minimo mezzo, quasi una legge di economia della natura, la quale è forse anche il fondamento del graduale passaggio di una specie nell'altra e che dà parvenza all'evoluzione, ed è forse anche la ragione della dolcezza di un'armonia o della bellezza di un'architettura, universale - Vedi tav. XXVI.