ica nel Collegio di Frascati e nel Collegio Romano. La sua produzione letteraria è soprattutto di filologia; ma scrisse anche di teologia, astronomia e diritto.
Tra le sue opere si ricordano: Metaphysica sublimiar de Deo Trino et Uno (Roma 1816) in cui si tenta una dimostrazione razionale del Mistero trinitario, con promessa, nell'introduzione, di altro volume per dimostrare a prioribus l'esistenza di Dio e spiegare il mistero eucaristico (il volume però non comparve, forse per le vive polemiche suscitate dal I); L'anima umana e i suoi stati (2 voll., ivi 1842). Più noti i suoi Sulle usure libri tre (ivi 1831), più volte ristampati : il M. sostiene la liceità del prestito a interesse, anche in mancanza di titolo estrinseco legittimante.
BibL.: M. B. Olivieri, Saggio critico. Roma 1821 (contro la Metaphysica sublimiar); anen., Mancamenti del Saggio, Firenze 1821 (replica al precedente); I. B. Franzelin, De Deo Trino, Roma 1873, pp. 281-83; S. Ciuffa, M. M., sue opere colte ed inedite e suoi controdittori, ivi 1875 ; A. M. Racca, s. v. in Eur. Ital., XXII, p. 543; E. Ammann, s. v. in DThC. X, col. 282; Federico dell'Addolorata, L'infallibilità pontificia secondo il teo. Domenico della Madre di Dio, Caravate 1943, pp. 27-28, 128; P. D'Uffizi, La dottrina dell'usura nell'abate M. M., Roma 1943 (utilizza anche le confutazioni inedite del ven. Domenico della Madre di Dio).
Federico dell'Addolorata
MASTROPASQUA, Filippo. - Neoscolastico redentorista, n. a Molfetta il 12 dic. 1835 , m. a Napoli il 14 apr. 1890 . Professore di filosofia nello studentato dei Redentoristi, contribuì assai al rifiorire degli studi tomistici, specialmente a Napoli.
Scrisse : Leone XIII e l'Aquinate (Bari 1880); Entità degli accidenti (Napoli 1882); Intellectus et sensus in actu sunt intellectum et sensatum in actu, ossia della natura dell'umana cognizione secondo s. Tommaso D'Aquino (ivi 1883); Contro una falsa dottrina di parecchi moderni tomisti sulla sostanza particolare corporea (ivi 1883); Della cognizione sensitiva secondo il verace e sincero concetto di s. Tommaso D'Aquino (ivi 1884).
BibL.: [G. Cornoldi], Della entità degli accidenti, in Civ. Catt., 11^{text {a }} serie, 11 (1882, 111), pp. 457-65; M. De Meulemeester, Bibliogr. dei écrivains rédemptoristes, II, Lovanio 1935, p. 271; S. Schiavono, Biografie dei Redentoristi napoletani ecc., Pagani 1938, p. 195.
Domenico Capone
MASUCCIO Salebnitano, Tommaso. - Nobile dei Guardati, n. a Salerno, ivi m. nel sec. xv; ma visse molto a Napoli come segretario del principe Roberto Sanseverino e familiare del re Ferdinando ed ebbe l'amicizia di signori illustri e di umanisti famosi, non solo di Napoli.
Nel 1475 terminò il Novellino, pubblicato poi a Napoli nel 1476 a cura di Francesco del Tuppo, editore Sisto Reisinger. Il libro contiene 50 novelle distinte in 5 parti, un "prologo" ed un "parlamento de lo autore" in fine; anche le novelle hanno una quinaria partizione: "argomento n," dedico n, "esordio n, "narrazione n, "Masuccio n, cioè commento in persona dell'autore. Maestri dichiarati Giovenale e Boccaccio, e sull'esempio loro aspra la polemica contro le donne (anche se non tutte) e contro i religiosi (anche se non tutti e mai contro la religione). I temi sono di lussuria, salvo alcune principesche " magnificenzie" nell'ultima parte; e il gusto delle cornici come il carattere dello stile fanno di M. un Boccaccio trapiantato a Napoli e in corte, piuttosto greve nel comico ed efficace nel tragico, meglio adatto all'autora che mira al solenne e dà nel barocco.
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Biel.: edizione: Il novellino, a cura di A. Mauro, Bari 1940. Studi: L. Di Francia, Novellistica, Milano 1924, pp. 426466; A. Mauro, Per la biografia di M. S., Napoli 1926; V. Rossi, Il Quattrocento, Milano 1933, pp. 201-204; A. Chiari, La fortuna del Boccaccio, in Ovestioni e correnti di storia letteraria, a cura di A. Momigliano, ivi 1949, pp. 310-13 e 346-47.
Alberto Chiari
MASWA, vicariato apostolico di. - Nella parte nord-occidentale del territorio del Tanganyka, sulla riva orientale del Lago Victoria, affidato alla Società dei missionari d'Africa (PP. Bianchi).
Fu eretto l'1 1 apr. 1946 con parte di territorio del vicariato di Mwanza (v.) ed ebbe il nome di MusomaM.: comprendeva infatti anche il territorio di Musoma. Quest'ultimo il 24 giugno 1950 fu reso indipendente ed eretto in prefettura apostolica di Musoma (v.), affidata ai Padri della Società per le Missioni Estere di Marylcroft, che vi lavoravano fin dal 1946.
Il vicariato apostolico di M. ha attualmente una supertice di 40.760 kmq . con ca. 300.000 ab. Nel 1950 contava poco più di 3000 cattolici e 3090 catecumeni, oltre 5000 musulmani, ca. 600 protestanti e oltre 280.000 pagani; 15 missionari esteri e 3 fratelli laici esteri (tutti dei PP. Bianchi); 79 catechisti; 7 scuole elementari.
E un vicariato che comincia a svilupparsi tra notevoli difficoltà, dovute specialmente alla dispersione dei cattolici nella massa dei pagani, alla scarsenza dei catechisti e maestri, al proselitismo dei musulmani e dei protestanti, mentre generalmente i capi indigeni sono favorevoli ai missionari cattolici.
Biel.: AAS, 28 (1946), p. 359; 42 (1950), p. 892: 43 (1951), pp. 65-66; MC, 1950, p. 186; A catholic Directory of East Africa, Mombasa 1950, pp. 113-14; Arch. di Prop. Fide, pos. prot. nn. 1029/46, 2319/50, 3523/20.
Carlo Corvo
MATADI, vicariato apostolicO di. - E situato nel Congo Belga, non lontano dalle foci del fiume Congo. Fin dal 1649 missionari cappuccini percorsero la regione di M. e tra costoro specialmente il p. Giorgio (al secolo Adriano Willems), di origine belga. Durante il suo terzo viaggio attraverso quel territorio, egli fu ucciso dagl'infedeli e anche da cristiani ritornati all'idolatria. La memoria di tale primitiva evangelizzazione si andò poi perdendo con il tempo, sebbene ancor oggi ne rimangano tracce.
Nel 1891 mons. Stillemans, vescovo di Gand, mandò a M. alcuni sacerdoti secolari in qualità di cappellani per gli operai che attendevano alla costruzione della strada ferrata M.-Léopoldville, che si stabilirono nella città di M., appartenente allora al vicariato apostolico del Congo indipendente o Belga (v. Léopoldville), affidato ai pp. della Congregazione del Cuore Immacolato di Maria (Missionari di Scheut). Nel 1899, quando i suddetti sacerdoti secolari tornarono a Gand, furono sostituiti dai Redentoristi, i quali, guidati dal superiore religioso p. Simpesicre, che si può considerare il fondatore della missione, intrapresero l'opera di evangelizzazione della regione delle "cataratte" sotto la giurisdizione del vicario apostolico del Congo indipendente o Belga, il quale nel 1910 affidò loro anche il triangolo di territorio compreso tra il fiume Imkisi, la strada ferrata e la sponda sinistra del fiume Congo (stazione missionaria di Nsona Mbata). Con decreto del 31 maggio 1911 il territorio fu eretto in prefettura apostolica e affidato ai Redentoristi, e il 23 luglio 1930 elevato a vicariato apostolico.
La missione ha avuto parecchie modifiche di confini con le missioni vicine prima della sua elevazione a vicariato. L'attuale estensione del vicariato di M. è di ca. 35.000 kmq .; i centri principali sono M. e Thysville.
OI'indigeni (Bakongo) hanno l'idea d'un unico Iddio, di cui riconoscono il supremo dominio, pur senza tributargli un culto determinato.
Non adorano i feticci, ma attribuiscono ad essi, come anche agli amuleti, poteri occulti. Credono pertanto alla magia e la esercitano, riconoscono tuttavia una legge
morale che vieta l'adulterio, l'omicidio, il furto. La società è retta a matriarcato, e la poligamia, piaga non soltanto dei pagani, ma anche tra i cristiani, va ristringendosi.
Quando i Redentoristi cominciarono l'opera di evangelizzazione, i cattolici erano appena 70. Ora sono oltre 133.000 su una popolazione valutata a ca. 263.000 ab. I catecumeni sono ca. 10.400; le stazioni missionarie principali 19 e 37 le secondarie; i sacerdoti 62, di cui 10 indigeni; le suore 89, di cui 13 indigene; i seminaristi 95, di cui 13 maggiori, 68 minori e 14 del seminario preparatorio. Vi è un complesso imponente di scuole ( 512 , di cui 503 elementari), di opere assistenziali ( 15 ospedali, 17 dispensari, 5 orfanotrofie e 2 lebbrosari), di associazioni di Azione Cattolica. Tre tipografie stampano 4 bollettini con una tiratura complessiva di 2400 copie.
Biel.: AAS, 2 (1911), p. 349; 25 (1931), p. 46; Annuaire des missions catholiques au Congo Belge et au Ruanda Urundi, Bruxelles 1949, pp. 404-27; MC, 1950, p. 147; Statistiques annuelles des MC du Congo Belge et du Ruanda Urundi, Leopoldville 1950; Arch. di Prop. Fide, pos. prot. n. 166s/50. Carlo Corvo
MATAGALPA, diocesi di. - Diocesi e città capoluogo del dipartimento omonimo nel Nicaragua.
Ha una supertice di 18.600 kmq . con una popolazione di 240.000 ab. quasi tutti cattolici. Conta 14 parrocchie servite da 11 sacerdoti diocesani; ha un seminario, 4 comunità religiose femminili (Ann. Pont., 1951, p. 266).
La diocesi fu creata dal Papa XI con la cso1. apost. Animarono solisti del 19 dic. 1924, per amembramento dall'arcidiocesi di Managua dei due dipartimenti di M. e di Jinotega. Primo vescovo fu mons. Isidoro Carrilli y Salazar; l'attuale è mons. Ottavio Giuseppe Calderón y Padilla. E suffraganea di Managua.
Biel.: AAS, 21 (1929), pp. 513-16; Enc. Eur. Am., XXXIII, p. 841 .
Enrico Josi
MATANZAS, diocesi di. - Città e diocesi nella costa settentrionale dell'Isola di Cuba.
Ha una supertice di 8444 kmq . con una popolazione di 361.079 ab. dei quali 324.970 cattolici. Conta 29 parrocchie servite da 19 sacerdoti diocesani e 36 regolari; ha un seminario, 11 comunità religiose maschili e 16 femminili (Ann. Pont., 1931, p. 266).
La diocesi fu creata dal papa Pio X, con decreto della S. Congr. Concistoriale del 10 dic. 1912. E suffraganea di S. Cristoforo dell'Avana. Patroni della diocesi i ss. Carlo e Severino.
Biel.: AAS, 5 (1913), p. 94; Enc. Eur. Am., XXXIII, pp. 852-56.
Enrico Josi
MATELICA, diocesi di. - Nelle Marche. Era sede vescovile nel sec. v, poiché si conosce il nome dei vescovi Ecuizio (478), Basilio e Fiorenzo; quest'ultimo fu a Costantinopoli con il papa Vigilio nel 551 (Jaffé-Wattenbach, 930). La mancanza assoluta di notizie posteriori fa supporre che il vescovato si estinguesse a causa, forse, delle invasioni longobarde. Fu ripristinata nel 1785 e unita a Fabriano (v.) «aeque principaliter». Per i dati statistici v. fabriano.
Tra i monasteri va ricordato quello femminile di S. Maria Maddalena del sec. xiII, oggi convento e chiesa della B. Mattia. Nel 1653 si stabilì a M. una comunità di Oratoriani dell'Oratorio di S. Filippo, che divenne un noto cenacolo quietista diretto dal p. Matteo Romiti della stessa Congregazione ( 1685 ; M. Petrocchi, Il quietismo italiano del Seicento, Roma 1948, p. 106).
La storia della città è collegata con il Ducato di Spoleto prima, e nelle lotte tra Impero e Chiesa del sec. xII subì le devastazioni di Cristiano di Magonza (1175). Successivamente fu sotto la signoria degli Ottoni che ne furono investiti da Bonifacio IX nel 1394 e segul le vicende posteriori dello Stato pontificio.
Monumenti. - Cattedrale di S. Maria e S. Bartolomeo; l'attuale costruzione è dovuta ad un rifacimento moderno; S. Francesco, che conserva tavole pregevoli (trittico Madonna con Bambino di Francesco di Gentile).
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Nel Museo Piersanti è una raccolta di dipinti (Crocifisso di Antonio da Fabriano 1452), arazzi e maioliche.
Bibl.: Lanzoni, I. p. 489; C. Acquacotta, Memorie di M., Ancona 1838; Cappelletti, VII, p. 6ro sgg.; Cattinosa, II. col. 1787 .
Serafino Preto
MATEMATICA. - L'aritmetica e la geometria sono i due grandi tronchi della m. dai quali altri numerosi rami si sono slanciati per tessere un groviglioso intreccio dove riesce difficile il distinguerli.
Sismofano: I. Aritmetica. - II. Algebra. - III. Le trasformazioni. - IV. Geometria elementare. - V. Geometria non euclidea. - VI. La geometria proiettiva. - VII. Geometria analitica. VIII. Analisi infinitesimale. - IX. Sviluppi in serie. - X. Analisi funzionale e calcolo delle variazioni. - XI. Geometria algebrica. XII. Geometria differenziale. - XIII. Calcolo delle probabilità. XIV. Meccanica razionale e fisica-matematica.
Non è facile suddividere ed elencare gli sviluppi vari della m. senza che nell'uno si faccia riferimento continuo agli altri. Non per nulla, mentre Platone col suo λ dot{ε} γ ω 6 π 68 ε δ ς γ ε ω μ ε τ ρ ε i riconosce nell'opera di Dio la geometrizzazione, e mentre il nostro, Galilei scorge tutto nella natura espresso in linguaggio di triangoli, l'autore biblico invece, col suo "Omnia in numero, mensura et pondere disposuisti... ", riconosce nell'Universo un principio aritmetizzante. Due posizioni diverse, rispecchianti, l'una la mentalità greco-italica, l'altra quella orientale, entrambe completantisi a vicenda nel descrivere la parvenza dell'Universo.
Col fluire dei secoli, l'opera dei matematici, valendosi dello strumento di una logica raffinatissima, attraverso i tre giudizi fondamentali di appartenenza, di esclusione e di interferenza, ha scoperto sempre nuovi orizzonti, con nuovi enti e nuove operazioni, specie in questi ultimi tre secoli, a ciò sospinta dalla necessità di interpretare e prevedere i fenomeni naturali, siano essi meccanici o fisici o chimici o anche biologici e perfino sociali, ed in ciò aiutata da una ingegnosa schematizzazione dei fenomeni e dalla ideazione di un opportuno simbolismo. Così, con mutua esaltazione, tanto la m., quanto la conoscenza della fenomenologia dell'Universo, sono andate sempre più espandendosi e compenetrandosi, specie negli ultimi tempi ed oggi più che mai.
I. Aritmetica. - Si fonda sul concetto di numero intero, simbolo di un gruppo di oggetti; da esso si perviene al concetto di frazione che simboleggia la parte di un gruppo: il sottogruppo.
L'associazione di due o più gruppi o sottogruppi di oggetti porta al concetto di somma di interi e di frazioni. L'associabilità di un gruppo con un sottogruppo, dato il carattere di omogeneità fra l'uno e l'altro, porta a concepire i simboli che li rappresentano (interi e frazioni) sotto una unica specie: quella dei numeri razionali.
Tanto l'iterazione della somma, quanto la formazione del sottogruppo ricavata da un altro sottogruppo, costituisce una nuova operazione: la moltiplicazione per un intero o per una frazione. La sottrazione è invece l'operazione inversa dell'addizione (data la somma di due numeri e dato uno di questi trovare l'altro) e la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione (dato il prodotto di due numeri ed uno di questi trovare l'altro). Sono queste le quattro operazioni fondamentali, cosiddette operazioni razionali, perché applicate sopra numeri razionali dànno per risultato ancora numeri razionali.
L'iterazione della moltiplicazione di un numero per
sc stesso fornisce
l'elevamento a potenza, che è dunque ancora un'operazione razionale, la quale però, a differenza delle prime quattro, dà luogo ad una operazione inversa, che si chiama estrazione di radice, non sempre possibile. Cioè. non esiste sempre un numero razionale v che sia radice di un altro a; esistono d'altra parte numeri razionali x che, elevati a potenza, danno come risultato dei numeri razionali, i quati, se non coincidenti col numero dato a, si avvicinano a questo quanto si vuole. Così, ad es., la radice quadrata di 2 non esiste, in quanto nessun numero razionale, elevato a quadrato, riproduce 2 , tuttavia
(sob. (ob. 1ot. 102.)
museo Civico Piersanti.
esistono numeri razionali che moltiplicati per se stessi dànno prodotti che si avvicinano a 2 quanto piace, a seconda delle cifre decimali che si calcolano. Questa circostanza suggerisce l'idea di concepire numeri di nuova specie: i numeri irrazionali, ognuno dei quali, non più espresso da un intero, oppure da due (come quando si tratta di una frazione), è solo rappresentabile da una sequela di infinite cifre decimali : decimi, centesimi, millesimi, e cosi via, cioè da una somma di infiniti termini sempre più piccoli.
D'altra parte anche la sottrazione soffre eccezione: non è possibile da un intero sottrarre uno maggiore se l'intero si pensa come rappresentante di un gruppo. Ma, come l'estrazione di radice si rende sempre possibile con l'introduzione dei numeri irrazionali, cosi, anche la sottrazione diventa attusibile, anche quando presenta eccezione, mediante l'introduzione dei numeri negativi. I numeri razionali ed irrazionali, positivi e negativi, costituiscono la classe dei numeri reali.
A sua volta, l'introduzione dei numeri negativi crea una nuova eccezione; non è infatti possibile estrarre la radice quadrata da un numero negativo, se non definendo numeri di altre specie ancora: i numeri immaginari. Nessun numero reale difatti, positivo o negativo, elevato a quadrato dà ad esempio per risultato -25 . Con gli immaginari, nascono anche i numeri complessi che sono somma di un reale con un immaginario. Mediante questi numeri complessi è allora resa possibile, non più solo l'estrazione di radice quadrata da un numero negativo, ma addirittura l'estrazione della radice ennesima, qualunque sia il numero, anche complesso, sottoposto a detta operazione. Ebbene, questi nuovi numeri, che sembrano sorpassare i limiti della astrusità, prestano invece i più utili servigi, oltre che nel campo puramente matematico, anche in numerose applicazioni della elettrotecnica e della aerodinamica.
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Le prime tre operazioni razionali, somma. prodotto, differenza, diconsi razionali intere. Con esse si può costruire un polinomio in x, cioè una espressione del tipo a x+b, se è di primo grado, a x²+b x+c, se di secondo grado, a x³+b x²+c x+d, se di terzo grado, ecc. Quando, ad esempio nell'ultimo polinomio scritto, siano dati i numeri a b c d, coefficienti, e sia dato x, si può trovare il valore assunto dal polinomio, mediante le tre operazioni su citate. Il problema inverso, dato il valore del polinomio, trovare x, costituisce la cosiddetta risoluzione di una equazione algebrica di ennesimo grado, se n è il grado del polinomio (la massima potenza di x che figura nel medesimo). Ebbene questa inversione, pur se non sempre eseguibile mediante formule, si dimostra sempre possibile, ed ammette n soluzioni (tante quanto è il grado del polinomio), senza che essa crei numeri di nuova specie, perché le soluzioni esistono tutte nel campo dei numeri complessi.
Si chiamano poi numeri algebrici, quei numeri reali o complessi che risolvono un'equazione algebrica a coefficienti interi. Ma se l'equazione ha come coefficienti numeri frazionari od irrazionali, le soluzioni rientrano ancora nel campo dei numeri algebrici.
Una nuova classificazione si ha quando si esce dalle operazioni razionali od algebriche per entrare nel campo di operazioni diverse da queste, e che perciò vengono dette trascendenti; le soluzioni di queste sono numeri complessi non algebrici e perciò denominati trascendenti. Tra questi è il numero π, rapporto tra la circonferenza ed il suo diametro; esso non è difatti soluzione di nessuna equazione algebrica. Ma insieme alla estensione dei concetti di operazione e di numero, è stata studiata anche la possibilità di ottenere, con l'applicazione di operazioni razionali intere effettuate su numeri interi, come risultato, ancora dei numeri interi. In termini generali, si è trattato di determinare quando e come alcune equazioni algebriche, a coefficienti interi, sono risolubili in numeri interi. La cosiddetta teoria dei numeri, che si occupa di tali questioni e si ricollega anche a problemi inerenti ad altri campi della m., ha trovato sul suo cammino difficoltà straordinarie. La determinazione dei numeri interi primi, cioè divisibili solo per se stessi, è anch'essa tuttora oggetto di profondi studi. Alla teoria dei numeri sono particolarmente legati i nomi di Fermat e di Gauss.
Da quanto si è detto, emerge che elementi fondamentali sono i numeri interi e operazione fondamentale è l'addizione. Sono queste le sorgenti da cui derivano tutti gli altri numeri e tutte le altre operazioni. Il matematico ha spesso sostituito nei suoi ragionamenti, a scopo di maggior generalità, al numero un simbolo letterale, ed ha creato cosl l'algebra classica; più recentemente, sotto il simbolo, anziché un numero vi ha visto un ente geometrico qualsiasi ed ha allora esteso straordinariamente il concetto di algebra.
II. Algebra. - Il primato dell'Italia nell'algebra classica rimonta al Rinascimento, e va dai nomi di Leonardo da Pisa, Tartaglia e Cardano, a quelli di Ferrari (Settecento) e Ruffini (primo Ottocento). Dalla risoluzione dell'equazione di secondo grado si era passati a quella di terzo, a quella di quarto, e si tentava ancora avanzare, quando il Ruffini dimostrò l'impossibilità di risolvere in generale, mediante formule algebriche, un'equazione di grado superiore al quarto, cosi come invece si era riusciti per le equazioni di grado minore.
Rimaneva la possibilità di risolvere una equazione a coefficienti numerici, anziché letterali, e furono escogitati numerosi metodi di approssimazione per ottenere le soluzioni. I metodi sono adesso di gran lunga superati dalle odierne macchine elettroniche. Ma una delle questioni presentatesi da tempo nelle applicazioni della m. alla fisica, è stata la risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado a più incognite. Ne sono nati dal Settecento in poi vari metodi, e ne è sorta la teoria dei determinanti, che agevola la risoluzione di quei sistemi e ne indica anche la possibilità o meno di risolverli. Dai de-
terminanti è poi recentemente sbocciata la teoria delle matrici, le quali si sono rivelate utilissime in molte trattazioni geometriche e sono state ultimamente applicate dall'Heisenberg nello studio dell'atomo.
La necessità di risolvere sistemi di equazioni di primo grado a numerose incognite si è imposta in questi ultimi anni, sia nei calcoli delle strutture elastiche, sia nella risoluzione delle equazioni integrali (cf. n. IX) della fisica-m. Allo scopo sono stati escogitati metodi con l'intento di risparmiare la impresa fisica che imporrebbe l'uso dei determinanti; il Teofilato fin dal 1922 ne ha dato uno per ottenere le soluzioni con successive approssimazioni con rapida convergenza verso il valore esatto. Torna a proposito qui avvertire che non c'è da scandalizzarsi davanti al concetto di approssimazione introdotto nelle m. In fondo, salvo il numero intero e la frazione, qualunque numero irrazionale, come, ad es., la radice quadrata di 2 , non è raggiungibile se non in via approssimata; la misura di una grandezza è sempre affetta da errori, sia pure riducibili col progrediente perfezionamento degli strumenti, ma ineliminabili. Quindi non deve fare impressione se le soluzioni di un sistema di equazioni vengono esibite con approssimazione, tanto più che nella maggior parte dei casi gli stessi coefficienti delle equazioni sono ottenuti per mezzo di misure strumentali.
Del resto anche per un sistema di cento equazioni di primo grado a cento incognite provvede la macchina elettronica in pochi secondi; però occorre prima impostare i forse diecimila coefficienti opportunamente, per far funzionare il meccanismo. Questo, molto delicato e complicato, è dotato di organi che sono paragonabili a quello che sono in noi il cervello, il sistema nervoso ed il sistema muscolare, catalogamente ad un altro mirabile meccanismo che si trova a bordo degli serei, il cosiddetto autopilota, che provvede a governare il volo automaticamente. Il primo organo percepisce l'impostazione dei coefficienti e trasmette l'impulso al secondo organo che lo amplifica alquanto, e lo trasmette a sua volta all'organo di forza che comanda le parti mobili.
III. Le trasformazioni. - Un nuovo tipo di operazione è la trasformazione, da principio avente significato limitato alla sostituzione, che è l'operazione la quale muta un insieme di elementi negli stessi, ma disposti in altro ordine.
Alla teoria delle sostituzioni, applicate alle soluzioni di una equazione algebrica, sono legati i nomi di Galois, Ruffini, Abel; ed è per mezzo di questa teoria che si dimostra l'impossibilità sopra citata di risolvere algebricamente le equazioni di grado superiore al quarto. Dalla medesima teoria è noto il concetto di gruppo di sostituzioni, per il quale avviene che operando successivamente con due sostituzioni del gruppo si ottiene l'effetto che si otterrebbe con una sola sostituzione del medesimo. Se poi si passa da un numero finito di elementi ad un numero infinito, nascono le trasformazioni, che il Lie ha studiato profondamente sulla fine del secolo scorso. Lo spostamento di un solido rispetto ai tre spigoli di una stanza costituisce un semplice esempio di trasformazione, in quanto ad ogni punto del solido nella primitiva posizione corrisponde un punto nella seconda.
Con la trasformazione si compenetra poi il concetto di gruppo e di ente invariante rispetto alla trasformazione stessa. Per l'importante apporto italiano in questi studi si segnalano i nomi di Luigi Cremona, Ernesto Pascal, Luigi Bianchi, Guido Castelnuovo, Corrado Segre. La teoria ha assunto importanza enorme perché capace di sintesi grandiose, sia nella geometria, dove, ad es., si trova che la geometria proiettiva (cf. n. VII) è un capitolo della teoria in parola, sia nella fisica, perché tutti i fenomeni elettromagnetici sono invarianti rispetto alla particolare trasformazione del Lorentz.
Si è tentati di pensare che ogni elemento geometrico o fisico sia legato ad un invariante e, invertendo, che la scoperta di un invariante indichi la esistenza di un ente geometrico o fisico.
Il concetto di trasformazione e di invarianza pervade tutta la fisica matematica, nei suoi più svariati campi.
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Perfino nella gasdinamica, scienza nata da qualche anno, l'invarianza della equazione che governa il moto dei gas compressibili, rispetto ad una opportuna trasformazione, permette di tradurre l'effetto di grandi velocità nell'aria, nell'effetto di piccole velocità in minuscoli canali d'acqua con grande facilità di studio e minimo dispendio.
Si tratta in fondo di un caso particolare del metodo largamente usato nella scienza : trasformare un problema in un altro già studiato o che sia di più semplice trattazione.
IV. Geometria elementare. - Assunta a grande altezza per opera dei Greci, è rimasta scolpita come epigrafe imperitura nella compilazione di Euclide. Limitata nel piano allo studio delle figure formate da rette e circoli (costruibili quindi con riga e compasso) e nello spazio ai solidi contornati da facce piane, o anche ai tre solidi rotondi (cilindro, cono e sfera), essa passò a considerare altre linee (concoide, cissoide, strofoide, ecc.) e successivamente si occupò della misura, la quale, appunto per le sue finalità applicative, fu da principio meno stimata dalla mentalità greca, finemente speculativa ed aristocraticamente ricercatrice della verità. Della misura si occupò largamente più tardi anche Archimede con i suoi bei teoremi sulle piramidi e sui corpi rotondi, cui egli aggiunse le altre sue non meno importanti scoperte sulla leva, la carrucola mobile, la coclea, gli specchi, la spinta dei galleggianti.
Non tutti i problemi piani furono risolti subito con l'ausilio dei due celebri strumenti, riga e compasso. Alcuni richiesero molte ricerche, come il segmento aureo del raggio, lato del decagono regolare inscritto in un cerchio: altri furono risolti approssimativamente, come quelli della rettificazione e quadratura del cerchio (ricerca del segmento lungo quanto la periferia e ricerca del quadrato grande quanto il cerchio). La necessità di ricorrere all'approssimazione dipendeva dalla limitazione degli strumenti adoperati.
Circa due secoli or sono il Mascheroni nella sua Geometria del compasso dimostrava che tutti i problemi che sono risolubili con riga e compasso lo sono anche con il solo compasso: ma è merito del secolo scorso l'aver messo in luce che con i due citati strumenti si risolvono soltanto quei problemi che, tradotti in questioni algebriche (come meglio si vedrà appresso) dànno luogo ad equazioni di secondo grado oppure riducibili a queste. Dai Greci fino ad Apollonio, con i suoi teoremi sulle sezioni coniche (ellisse, parabola ed iperbole), trascorsero tredici secoli circa, senza che la geometria subisse notevoli progressi. Bisogna risalire fino al Rinascimento per incontrare Leon Battista Alberti, Leonardo da Vinci, Pier della Francesca, il Vignola, il Brunelleschi, l'Ubaldi dal Monte, i quali, con i loro studi sulla prospettiva, hanno allargato il campo di indagine dei Greci. La prospettiva poi, tra la fine del Settecento e i primi dell'Ottocento, è sboccata nella geometria descrittiva, la quale, per mezzo di opportuna rappresentazione sul foglio del disegno, permette di riottenere tutti i particolari metrici di una figura nello spazio.
La geometria descrittiva, che al principio del secolo scorso ebbe in Napoli cultori appassionati (Flauti, Fergola, Tivoli, Padula) dette in seguito lo spunto al Bellavilla di Padova per fondare la teoria delle equipollenze, metodo utile nella risoluzione di problemi grafici, da cui è poi nata la moderna teoria dei vettori che ai nostri giorni ha assunto un grado di grande generalità e potenza di sintesi, con riscontri anche nella accennata teoria delle matrici.
V. Geometria non euclidea. - La geometria elementare trascinava da tempo con sé un elemento di dubbio, dato dal postulato che va sotto il nome di Euclide : per un punto ad una retta si può condurre una sola parallela. Già il Wallis nel Seicento ed il gesuita p. Saccheri nel Settecento avevano affrontato la questione del postulato. Il primo lo riduceva ad
un altro postulato che a lui sembrava più accettabile, il secondo, attraverso l'ipotesi opposta, si proponeva di provarne l'assürdità. Il Saccheri però non raggiunse lo scopo finale, malgrado importanti risultati ottenuti, e così la questione rimaneva ancora aperta.
Sulla via tracciata dal Saccheri, ripresero lo studio il Boliay e il Lobatschewski. Supposto dunque che per un punto ad una retta si possano condurre due parallele, una da una parte ed una dall'altra, convergenti verso la retta senza peraltro mai raggiungerla, fu costruito un meraviglioso edificio logico; ma, passando di deduzione in deduzione, non si perveniva mai ad una contraddizione col postulato di partenza. Sorgeva quindi il sospetto, avvalorato dall'autorità di Gauss e di Riemann, che il postulato di Euclide fosse indimostrabile. Il celebre studio del Gauss Disquisitiones circa superficies curvas suggerì al Riemann di estendere quelle considerazioni allo spazio; cosi, assunta per la distanza di due punti una forma che si discosta da quella data dal teorema di Pitagore, e che è fondato sul postulato di Euclide, fece intravvedere la possibilità della non esistenza di rette parallele ad una retta data. Un fatto analogo a quello che accade sulla sfera dove due qualsiasi meridiani (i quali sulla sfera sono come le rette del piano, linee di minimo percorso) si incontrano sempre (in due punti). Mentre il Wallis aveva ridotto l'ipotesi di Euclide a quella della esistenza di triangoli simili, il Lobatschewski, con l'ipotesi delle due parallele, verificava l'inesistenza di una similitudine, per modo che due triangoli con gli angoli rispettivamente eguali sono eguali, cosi come avviene anche sulla sfera per i triangoli sferici (formati da archi di meridiano). Anzi, la somma degli angoli di un triangolo, nella geometria di Lobatshevski è minore di un angolo piatto e la deficienza è proporzionale all'area del triangolo; nei triangoli sferici la somma degli angoli è maggiore di un piatto e l'eccesso è proporzionale all'area. Ormai andava balenando l'idea della validità logica simultanea di tutte e tre le geometrie, quella di Euclide, quella di Lobatchewski e l'altra di Riemann. Era solo questione di vedere quale delle tre fosse effettivamente verificata nel mondo fisico. Bisognava quindi poter misurare gli angoli di grandi triangoli, valutarne l'eccesso o la deficienza proporzionale alla loro grandezza. Ebbene ne risultava una somma di angoli vicina ad un piatto, ora in più, ora in meno, seguendo la cosiddetta legge degli errori. Si doveva concludere che nel mondo fisico la euclidea aveva la massima probabilità di sussistere rispetto alle altre due geometrie, ciascuna delle quali, se mai fosse verificata, doveva cosi poco deviare dalla euclidea da non dar modo di accorgersene.
E difatti, solo dopo la grande evoluzione scientifica di questo secolo riguardo alle nostre conoscenze fisiche, varcando i limiti delle ordinarie esperienze, si è rilevato che quando si passa al mondo dall'atomo oppure a quello delle nubulose, la geometria euclidea non si accorda più perfettamente col mondo fisico, ed è invece da ritenere valida una geometria pseudoriemanniana (geometria del cronotopo) su cui non è qui compito di insistere. Lo spazio dovrebbe ritenersi illimitato, ma finito, cosi come ad un essere dotato fisicamente di due sole dimensioni, apparirebbe la superficie di una sfera perfettamente levigata e molto grande sulla quale esso potesse muoversi.
In ogni modo, fin dal 1865 il nodo gordiano che legava alla geometria dubbi tanto gravi fu definitivamente tagliato da Eugenio Beltrami, che riuscl a dare la dimostrazione della impossibilità di provare il postulato di Euclide. D'altra parte, se l'Universo è finito, ne devono essere assegnabili le dimensioni; ed allora, come della sfera su nominata l'essere su essa vivente, qualora potesse apprezzare la curvatura di una parte sia pure piccola, potrebbe anche valutare l'intera estensione senza percorrerla tutta, non altrimenti dovrebbe accadere a noi. E, difatti, su questa base la stima delle dimensioni dell'Universo, almeno come ordine di grandezza, è stata compiuta e se ne ha ora un'idea paragonabile del resto, per approssimazione, a quella che poteva essersi fatto Eratostene sulle dimensioni della terra con la misura da
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Matematica - La M. Bًassorilicvo di Agostino di Duccio (ca. 1430). Rimini, T'empio Malatestiano.
lui eseguita della curvatura del meridiano che passa per Alessandria.
VI. La geometria proiettiva. - Accanto alla geometria non euclidea si sono sviluppati altri rami : la geometria proiettiva, la differenziale, l'algebrica.
La prima, nata ai primi del secolo scorso, prendeva le mosse dai citati teoremi di Apollonio, e mentre si collegava alla geometria descrittiva, rivolgeva la sua attenzione alle trasformazioni che subisce una figura piana, quando venga proiettata da un punto sopra un altro piano (sezione), procedendo cosi per quante si voglia operazioni successive di proiezione e sezione.
Queste trasformazioni mutano punti di un piano in punti di un altro, rette in rette, punti allineati su retta in punti allineati su retta, rette concorrenti in uno stesso punto in rette concorrenti; esse si chiamano trasformazioni proiettive, e si possono anche estendere alla trasformazione di uno spazio in un altro. Nelle trasformazioni figurano, come si è già avvertito, gli enti invarianti e difatti tra questi l'invariante fondamentale delle trasformazioni proiettive è il cosiddetto birapporto di quattro punti A B C D in linea retta, il quale è espresso dal quoziente ( mathrm{AC} / mathrm{BC} ) : ( mathrm{AD} / mathrm{BD} ), e non si altera quando mediante ripetute operazioni di proiezione e sezione si passa dai punti A B C D di una retta ai corrispondenti punti A^{′} B^{′} C^{′} D^{′} di un'altra. Se poi, con ripetute operazioni del genere si ritorna alla primitiva retta, allora esistono due punti della medesima che, malgrado le operazioni fatte, vengono a coincidere con i loro corrispondenti (cosiddetti due punti uniti). Quando poi da un piano, dopo ripetute operazioni di proiezione e sezione, si ritorna sullo stesso piano, sono tre i punti uniti, ed inoltre esiste una conica la quale viene a coincidere con se stessa (conica invariante) senza però che un punto coincida col suo corrispondente, ma in modo che ciascun punto della conica, considerato prima di eseguire le dette operazioni, viene a cadere sopra un altro punto della conica stessa.
Orbene, nel 1872, il Klein, valendosi della metrica del Cayley, mostrava che le tre geometrie nominate nel
precedente paragrafo si possono considerare come un'unica geometria sotto il punto di vista proiettivo, la quale dipende esclusivamente dalla trasformazione proiettiva adottata per trasformare il piano in se stesso (cioè movimento del piano su se stesso, inteso in un senso più largo). La trasformazione proiettiva che lascia invariati due speciali punti immaginari, detti pueti ciclici, e la retta da essi determinata (contenente i punti inaccessibili) esprime, con opportuna metrica, i movimenti del piano euclideo (i movimenti ordinari). Nel piano non euclideo di Löbatcheveski, l'inaccessibile è costituito da una conica reale che i movimenti in quel piano, cioè l'opportuna trasformazione proiettiva, lasciano immutata. Nel piano di Riemann l'inaccessibile non esiste, o, meglio detto, è formato da punti immaginari. I punti immaginari, benché non disegnabili sul piano, possono indirettamente rappresentarsi, come, verso la metà del secolo passato, ha fatto lo Staudt, il quale, con metodi sintetici di straordinaria eleganza, ha mostrato il collegamento di quei punti con i punti reali, analogamente come nella geometria proiettiva si manovrano i punti inaccessibili (punti a distanza infinita) per il tramite di quelli che sono invece accessibili.
Ma i grandi progressi della geometria si ebbero dal suo connubio con l'analisi, come si vedrà nei paragrafi seguenti.
VII. Geometria analitica. - A fondamento della geometria analitica sta la rappresentazione di un punto mediante numeri. Nel senso più ristretto questi numeri, detti coordinate, sono le distanze del punto generico, preso in considerazione in un piano, da due rette fisse O X, O Y del piano stesso, fra loro perpendicolari, chiamate assi cartesiani. Oppure, se si tratta di studiare figure nello spazio, le coordinate, in numero di tre, sono le rispettive distanze da tre piani fissi, tra loro perpendicolari, come fossero due pareti contigue e il pavimento di una stanza rettangolare, i cui spigoli O X, O Y, O Z sono i tre assi cartesiani dello spazio.
Così, dato un punto, si possono determinare le sue coordinate, costruendo le anzidette distanze, e viceversa, dati tre numeri, ed interpretati come distanze, si può risalire al punto avente come coordinate i tre numeri dati.
Data poi nel piano una linea, le due coordinate a, b, di un punto generico di essa, non possono essere entrambe arbitrarie, perché se è nota l'una, si deduce l'altra. Ad es., se è nota l'ascissa a, che è la distanza del punto P dall'asse y, il punto si può determinare quale intersezione della linea data con la parallela all'asse y, situata da questo alla distanza a; ed allora, conosciuta la posizione di P sulla linea, sarà conoscibile anche l'altra coordinata b. Dunque una linea comporta un collegamento tra le coordinate dei suoi punti, il quale sarà espresso da un'equazione tra queste ultime. Cosi una equazione di primo grado tra le coordinate rappresenta una retta, una di secondo grado una conica (ellisse o parabola od iperbole) e cosi via, mentre dalle coordinate di due punti, mediante il teorema di Pitagora, si ricava la distanza fra di essi, e dalle equazioni rappresentanti due rette si ricava l'angolo che fra esse formano. In tal modo i problemi grafici si possono trasformare, talvolta vantaggiosamente, in problemi algebrici o, come ora con maggiore generalità si dice, in problemi analitici.
In fondo, anche la trigonometria, che si può far risalire a Tolomeo, traduce in numeri i problemi riguardanti i triangoli ed i poligoni in genere, ma da un punto di vista meno generale della geometria analitica. Mediante la trigonometria ed il sussidio dell'algebra, molti problemi di geometria elementare si traducono nella risoluzione di equazioni, facilitando spesso una ricerca la quale, se attraverso il metodo puramente sintetico si risolve in modo più elegante, talvolta importa maggior fatica di indagine. Naturalmente, nella scelta degli assi di riferimento, ad evitare complicazioni, conviene adoperare elementi intrinsecamente connessi con quelli del problema. E questa
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la veduta che ha guidato Ernesto Cesaro nella sua geniale trattazione della Geometria intrinseca, pubblicata nel 1896. Tuttavia, l'economia di lavorio di logica che si verifica impiegando il metodo analitico nella risoluzione di un quesito geometrico, trova per riscontro un maggior lavorio nello sviluppo dei calcoli.
La geometria analitica, nel suo sviluppo, ha man mano stabilito importanti legami con la proiettiva ed ha messo in luce peculiari proprietà delle linee e delle superfici, ma il suo grandioso progresso lo ha avuto allerché si è sposata all'analisi infinitesimale per dar luogo alla geometria differenziale.
VIII. Analisi infinitesimale. - Il concetto di grandezza che sia pensata comunque piccola, o come anche si suol dire indefinitamente piccola, è essenzialmente dinamico, in quanto esso, appena fissata una grandezza, viene sollecitato a fissarne un'altra minore, ad esempio minore della metà della precedente, e così via con processo continuo. Da questo dinamismo di rimpiccolimento balza fuori il concetto di infinitesimo (attuale).
Esso si ritrova, se pur nascostamente, già nalla geometria elementare (nel teorema sulla equivalenza delle piramidi e nella teoria della rettificazione e quadratura del cerchio) mentre si compenetra con l'esistenza del limite verso cui tende una grandezza, in quanto la differenza tra la grandezza ed il suo limite può divenire infinitesima. Con Newton interviene il confronto, e più precisamente il rapporto tra infinitesimi, quando la velocità istantanea viene pensata come rapporto tra spazio infinitesimo e tempo infinitesimo impiegato a percorrerlo. Sorgono cosi i concetti di funzione, di rapporto incrementale e di derivata.
La funzione non è altro che la relazione di dipendenza tra due variabili, come, ad es., la relazione tra spazio percorso da un mobile ed il tempo impiegato, la relazione tra la lunghezza di una sbarra e la sua temperatura. La seconda delle due variabili dicesi indipendente, la prima si dice dipendente da questa od anche funzione di questa; ma l'ufficio di dipendenza può anche essere invertito.
Il rapporto incrementale è il rapporto tra l'incremento della variabile dipendente ed il corrispondente incremento della variabile indipendente. Cosi se lo spazio percorso è, dalle ore 8 alle 11 , passato da 280 a 490 km ., l'incremento di spazio sarà 210 km ., l'incremento di tempo sarà 3 ore ed il rapporto incrementale (velocità media) risulterà espresso da 210: 3=70. Quando questi incrementi sono infinitamente piccoli si ha la cosiddetta derivata della funzione. Così, ad es., la velocità istantanea sopra citata è la derivata dello spazio (funzione) rispetto al tempo (variabile indipendente).
Di una funzione conviene spesso dare la rappresentazione geometrica, portando sul piano del disegno i punti le cui coordinate sono, l'una il valore della variabile indipendente x, l'altra il corrispondente valore y della funzione; e si ha cosi una curva che viene denominata diagramma della funzione. La funzione y si indica con f(x) per ricordare la sua dipendenza dalla variabile x; percio si scrive y=f(x). La variabile indipendente x può essere considerata, non per tutti i possibili valori, ma soltanto, ad es., per quelli compresi tra i due numeri a, b, ed allora si dice che la funzione f(x) è definita nel solo intervallo ( a, b ). Allo stesso modo il moto di un treno viene considerato nel solo intervallo di tempo dalla partenza all'arrivo. La derivata di f(x) calcolata punto per punto, per tutti i punti dell'intervallo ( a, b ), costituisce a sua volta una nuova funzione, perché ad ogni valore di x compreso in quell'intervallo corrisponde un valore della derivata. Questa viene indicata con f^{′}(x) od anche, quando si vuol mettere in vista la sua origine dal rapporto incrementale, con frac{d f}{d x} oppure con frac{d y}{d x} (differenza infinitesima della y diviso per d x, differenza infinitesima corrispondente della x ).
Ma allora sopra la f^{′}(x) si può generalmente iterare l'operazione di derivazione e si ottiene allora una nuova
funzione: la derivata seconda, che si indica con f^{′ ′}(x), e cosi via.
All'operazione di derivazione si collega l'operazione inversa: la integrazione indefinita, che consiste nella ricerca della funzione F(x) la quale ammette come derivato una funzione data f(x); ricerca non sempre agevole.
Si consideri ora l'area limitata dal diagramma di una funzione f(x), dal segmento ( a, b ) dell'asse x comprendente i punti x per i quali è definita la funzione, ed inoltre limitata dalle due perpendicolari condotte all'asse x, nei punti a, b. Per ricercare quest'area, anzitutto si divida il segmento ( a, b ) in parti infinitesime che si indicheranno genericamente con d x; poi si sommino le aree di tutti i rettangolini aventi per base un elemento d x, e per altezza il segmento mathrm{HK}^{′}, che è lungo f(x), se x è la misura di OII (una delle coordinate del punto K del diagramma). Ogni areola sarà data dal prodotto f(x), d x e quindi la somma si rappresenterà col simbolo d'uso:
∫_{b}ˣ f(x) · d x
Il calcolo di questa sommatoria di infiniti termini, ciascuno infinitesimo, è puramente ideale se lo si considera come limite di una somma di un numero finito di termini finiti, sia pur piccoli. Però spesso si può effettuare a mezzo dell'integrazione indefinita sopra accennata. E difatti, se si riesce a trovare quella funzione F(x) che ha per derivata f(x), allora la differenza F(b)-F(a), cioè tra il valore che assume F in b, e quello che assume in a, è appunto il valore di quella sommatoria. Questa prende il nome di integrale definita; il suo concetto fu stabilito la prima volta con rigore dal Mengoli (1639).
Nel secolo scorso e ai primi del presente, la possibilità di eseguire operazioni di derivazione e di integrazione ha suscitato una serie di questioni le quali hanno chiarito e straordinariamente esteso il concetto di funzione. Ne sono cosi nate la teoria delle funzioni e le teorie relative a tutte le operazioni infinitesimali ad esse applicate (derivazione, integrazione, equazioni differenziali, equazioni integrali, equazioni integrodifferenziali). Si citeranno appena alcuni del numeroso anuolo di matematici che hanno lavorato in questi campi: Cauchy, Jacobi, Riemann, Briet Bouquet, Weierstrass, Betti, Brisschi, Casorati, Dini, Mittagieffler, Arzclà, Pesno, Du Bois Reymond, Pincherle; e più vicini a noi Volterra, Vivanti, Borel, Lebesgue, Denjois, Caratheodory, De La Vallée Poussin, Tonelli, Ricci.
Le equazioni differenziali ordinarie legano le derivate di una o più funzioni di una sola variabile (funzioni incognite) ad altre funzioni note. Tutti i problemi della dinamica dei sistemi meccanici, costituiti da un numero discreto di punti materiali, dipendono da equazioni del genere. Queste sono tali che, se è conosciuta la posizione di un punto materiale, insieme con la sua velocità, in un dato istante, e se sono note le forze agenti sul punto, si può descrivere il moto che questo può effettuare da quell'istante in poi, ed anche conoscere il moto che esso ha percorso prima di quell'istante. Risultato, questo, che, ai tempi in cui imperava il meccanicismo dell'Universo, suscitò il determinismo. Poiché l'Universo è composto di particelle materiali mobili, si può, note che siano posizione e velocità dei singoli punti materiali in un dato istante, ricostruire la storia del passato e profetare lo sviluppo dell'avvenire.
L'affermazione, che, entro certi limiti ristretti, rappresenta una bella conquista della scienza (tanto da fare prevedere molti fenomeni astronomici e permettere di progettare meccanismi il cui funzionamento reale aderisce alle previsioni), diviene estremamente orgogliosa e fallace quando si assume in senso troppo esteso. Pur stando alle ipotesi della meccanica classica, si dimostra che in alcuni sistemi materiali esistono momenti di indeterminazione (una specie di punti morti quali si riscontrano anche in meccanismi banali) dai quali senza sforzo si può uscire ed in varie direzioni.
Le equazioni differenziali a derivate parziali concernono legami tra le derivate di una funzione (o più) incognita, eseguite rispetto a ciascuna delle sue due o più
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variabili, ad altre funzioni note. I problemi di movimento a infinite variabili, quali competono ai mezzi continui (fluidi, corpi elastici, ecc.) si connettono con queste equazioni. Ad esse si collegano la maggior parte delle questioni di fisica matematica.
Nelle equazioni integrali, le funzioni incognite sono, insieme a funzioni note, vincolate sotto l'operazione di integrazione; ordinariamente i legami sono molto semplici (lineari) ed allora la risoluzione di un'equazione integrale può farsi con approssimazione, ad es., riducendo l'equazione ad un sistema di equazioni algebriche di primo grado (cf. n. III). Alla teoria delle equazioni integrali sono legati i nomi di Abel, Volterra, Fredholm, Schmidt, Picard, Goursot, Hilbert, Fantappié ed altri.
Nelle equazioni integrodifferenziali, studiate per la prima volta dal Volterra, la funzione incognita appare non soltanto sottoposta ad operazioni di integrazione, ma anche di derivazione. Tali equazioni si presentano nei problemi fisici di isteresi, i quali intervengono quando i materiali assoggettati a forti cimentri, se sono elastici, oppure a forti magnetizzazioni, se sono
(ftst. Anderson)
Matematica - Ritratto di fra' Luca Pacioli in atto di spiegare un teorema. Dipinto di Jacopo de' Barbari (1491) - Napoli, Museo nazionale, Pinacoteca.
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