ali assoggettati a forti cimentri, se sono elastici, oppure a forti magnetizzazioni, se sono
(ftst. Anderson)
Matematica - Ritratto di fra' Luca Pacioli in atto di spiegare un teorema. Dipinto di Jacopo de' Barbari (1491) - Napoli, Museo nazionale, Pinacoteca.
paramagnetici, conservano il ricordo della storia dei trattamenti subiti fin dal principio.
La ricerca delle soluzioni delle equazioni differenziali ordinarie è stata messa su basi rigorose, accertanti anzitutto l'esistenza di soluzioni e poi la costruibilità, da Cauchy. Notevolissimi studi sono seguiti in tutto il secolo scorso e fino ad oggi, specie per quanto concerne la dipendenza delle soluzioni dalle cosiddette condizioni estremali, cioè dalle condizioni che devono essere verificate negli estremi del campo nel quale si ricercano le funzioni incognite. Le condizioni estremali talvolta non si possono dare del tutto a piacere, perché richiedono una certa compatibilità la quale può essere assicurata solo quando un parametro dell'equazione, cioè una variabile che non figura nelle operazioni di derivazione, assume particolari valori numerici chiamati autovalori, a ciascuno dei quali generalmente corrisponde una soluzione dell'equazione. La particolare soluzione prende il nome di autofunzione. Immenso è l'interesse degli autovalori e delle autofunzioni. I primi, in molti problemi di movimento che capitano nella fisica matematica, dànno le frequenze di vibrazione del fenomeno e si sa quanto importi la conoscenza delle medesime, quando, nei progetti di raffinata ingegneria, occorra premunirsi contro il pericoloso fenomeno di risonanza.
IX. Sviluppi in serie. - Si è già accennato alla impossibilità di esprimere un numero razionale mediante un numero limitato di cifre e alla impossibilità di esprimere alcune operazioni mediante un numero limitato di altre. Ci si trova cioè spesso di fronte a procedimenti senza termine; tra questi uno molto importante e frequente è quello di sommazione per serie.
Si addizioni ad un numero la sua metà, poi la metà della metà, e cosi via; si avrà uno dei più semplici esempi di serie convergente (in questo caso la somma tende verso il doppio del numero iniziale). Non sempre però si può
raggiungere il risultato limite in modo semplice, ed allora ci si deve contentare di sommare solo i primi termini della serie, commettendo generalmente un errore tanto minore, quanto maggiore è il numero dei termini effettivamente addizionali. Vi sono però serie più o meno rapidamente convergenti verso un limite, ed esistono anche serie divergenti, tali cioè che man mano che cresce il numero dei termini che si addizionano effettivamente, la somma risultante cresce oltre ogni limite. Esistono anche serie indeterminate od oscillanti, cosiddette perché, man mano che au-
menta il numero dei termini addizionati, la somma non mostra di tendere ad un limite determinato, come, ad es., avviene per la serie: -1-1 ÷ 1-1 ÷ ldots.
Il concetto di serie numerica (somma di infiniti numeri), si estende a serie letterali e quindi a serie di funzioni. Una serie di funzioni sintetizza una infinità di serie numeriche, una per ogni punto dell'intervallo (a, b) dove sono definite le funzioni. Simbolicamente si scriverà : f_{1}(x)=f_{2^{-}} (x) ÷ f_{3}(x) ÷ f_{1}(x) ÷ ldots dove l'indice a piedi della lettera f designa la diversita delle funzioni di x che vengono addizionate, x dove ad ogni valore di x corrisponde nella somma indicata, una serie numerica.
Con molta generalità si può dire che ogni operazione eseguita sopra una variabile x è esprimibile sotto la forma di una serie di funzioni. Un polinomio di grado n, come ad esempio a_{0} ÷ a_{1} x ÷ a_{2} x² ÷ a_{3} x³ ÷ a_{4} x⁵ ÷ ldots ÷ a_{n} xⁿ, è l'operazione più semplice che si possa compiere sulla variabile x: a_{0} a_{1} a_{2} ldots sono numeri fissi, mentre x varia (le a sono i coefficienti del polinomio). Se il numero dei termini di questo e quindi il suo grado aumenta oltre ogni limite, allora si ha la cosiddetta serie di potenze, che è stata uno dei primi tipi considerati per la serie di funzioni. Mediante esse vengono espresse molte funzioni cosiddette elementari, quali le funzioni trigonometriche (seno, coseno, tangente e cotangente), il logaritmo, l'esponenziale eˣ, ecc. Con i polinomi, oppure con le funzioni elementari, si compongono altre serie, tre cui importanti sono le serie di polinomi di Legendre, di Laguerre, di Hermite, le serie trigonometriche, che sono somme di seni e coseni di multipli di un angolo x, le serie di Bessel, di Sturm, Liouville, ecc.
Le proprietà delle serie sono state oggetto di studio per parte di Frullani, Bonacci, Abel, Kummer, Riemann, Dirichlet, Dini, Pexno, Cesaro ed in questo secolo, tra i più recenti, Borel, Tonelli, Picone. Le questioni trattate riguardano tanto la rappresentabilità delle funzioni mediante le varie specie di serie, quanto la natura della convergenza delle medesime.
Esistono serie non sommabili direttamente, perché oscillanti, ma che possono utilizzarsi, perché sommabili in media. E cioè la somma diventa eseguibile raggruppando i termini, facendo la somma per ciascun gruppo e in ultimo addizionando queste somme parziali, previa applicazione a ciascuna di un opportuno coefficiente. Questo metodo è dovuto al Cesaro; ulteriori sviluppi e considerazioni si devono al Féjèr ed al Teofilato, il quale, mettendosi da un punto di vista molto generale, ha mo-
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strato come il metodo del Cesaro si ricolleghi agli integrali del Poisson e del Dirichlet. Lo studio delle serie trigonometriche e la rappresentabilità di una funzione generica per mezzo di esse, o come si suol dire le sviluppabilità della funzione in serie di Fourier, è stato approfondito dal Dirichlet e successivamente esteso ed elaborato dal Tonelli e dal Picone.
Dalla generalizzazione degli sviluppi in serie trigonometriche sono venuti quelli in serie di funzioni ortogonali, che generalmente non sono altro che le autofunzioni di cui si è sopra parlato e che tanta importanza hanno nelle questioni di fisica-matematica. A proposito delle funzioni ortogonali si citano i nomi di Schmidt, Tamarkine, Picone, Sansone.
X. Analisi funzionalle e calcolo delle variaZIONI. - Nacque verso il 1880 -90 per opera di alcuni giovani matematici italiani, i quali posero le basi di uno studio delle funzioni di linea, denominate funzionali, come, ad es., l'integrale definito esprimente la lunghezza di una curva, oppure l'area del diagramma della intensità di una corrente che passa per un dato circuito, considerata in funzione del tempo, ognuna delle quali grandezze dipende simultaneamente da tutti i valori che assume una funzione in un dato intervallo.
Nascevano cosi anche le cosiddette operazioni funzionali, cioè quelle corrispondenze che fanno passare da un funzionale ad un altro, e con esse sorgeva anche un calcolo simbolico di cui, primi ad occuparsi, furono Pincherle ed Amaldi. Il punto di vista di questi due autori fu particolarmente qualitativo; accanto ad esso ne venne un altro, dovuto al Volterra, il quale si servì del passaggio concettuale dal discontinuo al continuo, per trasformare gli indici (cioè il numero d'ordine) con cui sono caratterizzate le funzioni sulle quali si opera, in una variabile continua (parametro). In questo modo, invece di parlare di prima funzione, seconda, terza, ecc. si parlerà di una infinità continua di funzioni, distinte dal valore che si attribuisce al parametro, il quale finisce per intervenire come una variabile di più che si va ad aggiungere a quelle già possedute dalle funzioni. La derivazione rispetto all'indice, già adottata da Eulero e da Laplace, fu cosi estesa dal Volterra alla derivazione parziale (cf. n. IX), al differenziale del funzionale, allo sviluppo in serie di Taylor, ottenendo in tal modo algoritmi molto utili per la trattazione delle equazioni integrali. Con veduta diversa, fondandosi sui risultati del Dini, circa la teoria delle funzioni di variabile reale, e fondandosi sulla teoria degli insiemi, l'Arzelà poneva le basi dell'assetto dell'analisi generale costituita poi, in questi ultimi anni, dal Fréchet e da altri. Il Tonelli, a sua volta, occupandosi del calcolo delle variazioni, cioè del calcolo che studia la variazione di un funzionale (come la variazione della lunghezza di una curva che subisca una deformazione infinitesima) introdusse il concetto della semicontinuità del funzionale, concetto fecondo che gli permise tra l'altro di rendersi ragione della fortuna di alcuni procedimenti prima usati, e che lo condusse a nuovi sviluppi ed applicazioni. In questo indirizzo vi sono notevoli lavori di Cinquini, Caccioppoli, Cimmino.
Il Fantappiè ha seguito una nuova via nello studio dei funzionali, sviluppando nel campo complesso i risultati che Volterra aveva ottenuto nel campo reale. In questo modo il Fantappiè ha raggiunto una coordinazione di vari teoremi, che nell'esposizione del Volterra mancava, ed ha trovato brillanti correlazioni tra proprietà delle funzioni di variabile complessa e funzionali; in ultimo ha applicato la sua teoria alle equazioni differenziali, alle equazioni integrali ed alle matrici.
Merita infine menzione il calcolo operatorio simbolico, che, in circostanze opportune, permette di sostituire una delle operazioni di derivazione o di integrazione con una variabile, agevolando in tal modo spesso la trattazione delle equazioni della elettrotecnica. Da ricordare in proposito i nomi di Heaviside, Giov. Giorgi e Aldo Ghizzetti.
XI. Geometria algebrica. - Dell'applicazione dell'algebra alla geometria si è già parlato nel paragrafo dedicato alla geometria analitica. Da quel connubio è anche nata la geometria algebrica.
Questa, nella prima metà del secolo scorso, ebbe valorosi cultori in Italia per merito della scuola napoletana e di Tortolini e Chelini a Roma; in Inghilterra, per opera di Salmon, Cayley, Sylvester. Nella seconda metà del1'Ottocento, il Battaglini continuò nell'indirizzo inglese, mentre il Cremona si ispirò piuttosto all'indirizzo sintetico seguito in Germania da Steiner e Staudt, infondendo nei giovani matematici del suo tempo l'amore alla geometria. Egli, in numerosi lavori, mise in luce, dei problemi geometrici, quell'aspetto qualitativo che, in anni più vicini a noi, ha assunto un carattere funzionale. Al Cremona si devono le trasformazioni birazionali, dette poi in suo onore cremoniane, le quali furono studiate dal punto di vista dei gruppi e degli invarianti (cf. n. IV) e costituiscono una generalizzazione delle trasformazioni proiettive. Una vasta schiera di discepoli segul le tracce del maestro; si citano De Paolis, Caporali, Bertini, CorradoSègre, Montesano, Del Pezzo, Guccia.
Accanto all'evoluzione della geometria proiettiva, che andava assumendo un carattere sempre più generale nel senso cremoniano, e che potrebbe dirsi un carattere birazionale, andava svolgendosi la geometria iperspaziale. che in Italia ebbe cultori in D'Ovidio, Veronese, CorradoSègre, Del Re. Il concetto di iperspazio corrisponde alla rappresentazione di un insieme di elementi geometrici, ciascuno determinato da un insieme di n numeri ( n maggiore di 3 ), coordinate dell'elemento nel suo iperspazio, le quali vanno intese in un significato molto generale che ora si cercherà di adombrare.
Un punto del piano è individuato da due numeri che possono essere tanto le note sue coordinate cartesiane, quanto, ad es., le lunghezze dei raggi dei due circoli passanti per il punto considerato e per l'origine degli assi cartesiani, ed aventi i rispettivi centri sopra gli assi stessi. Infatti queste due nominate lunghezze sono atte a permettere la costruzione e quindi la individuazione del punto. Cosl le rette di un piano possono individuarsi ciascuna dalle lunghezze dei due segmenti che essa stacca sugli assi, a partire dall'origine. Ma allora, nel piano, una retta può rappresentarsi con un punto, quello cui corrisponde la stessa coppia di numeri, e viceversa; e difatti esiste il cosiddetto principio di dualità, per cui da tutti i teoremi grafici (nei quali entro cioè esclusivamente il concetto di appartenenza) riguardanti rette e punti si deducono altrettanti teoremi, col semplice scambio delle parole : retta e punto.
Nello spazio ordinario, mentre un punto è individuato, come si sa, da tre numeri, una retta è determinata da quattro numeri, per modo che le rette dello spazio ordinario si possono far corrispondere al punti di un iperspazio a quattro dimensioni; ed allora, poiché all'iperspazio di punti si possono estendere le trasformazioni proiettive, cosi dalle proprietà proiettive dei punti delloiperspazio a quattro dimensioni si deducono proprietà proiettive riguardanti le rette dello spazio ordinario.
Il più generale significato attribuito alle coordinate, sfruttato con successo dal Lamé in poi, in tante questioni di fisica-matematica, ed il concetto di iperspazio divenivano fecondi di importanti risultati. Il Castelnuovo e il Sègre applicarono allo studio delle serie lineari sopra una curva il metodo iperspaziale e cercarono le proprietà. invariantive rispetto a trasformazioni cremoniane. Nuovi studi sorsero, come la geometria sopra una superficie e la geometria numerativa, mentre ai metodi di ricerca algebrici, seguiti fino al 1900, sopravvennero metodi trascendenti, per mezzo dei quali il Severi, valendosi dell'originale concetto di serie caratteristica di un sistema continuo, stabill interessanti collegamenti tra caratteri di una superficie ed integrali che ad essa si riferiscono. Una numerosa schiera di matematici italiani si è dedicata allo studio di questa connessione tra proprietà geometriche e funzioni trascendenti, tanto che si può affermare con sicurezza il primato dell'Italia nella geometria algebrica,
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Matematica - Frontespizio dei Ouesiti et inventioni diverse. Venezia 1546, con ritratto di Niccolò Tartaglia - Roma, esemplare
divenuta ora, per la dovizia dei mezzi di ricerca e di messe raccolta, uno dei più superbi rami della m.
XII. Geometria differenziale. - Alle prime origini, che risalgono al sec. xvir, sono legati i nomi di Cavalieri e Torricelli; un secolo dopo figurano i nomi di Eulero, Monge, Duplo; agli inizi dell'Ostocento, quelli di Gauss e Lamé. Seguirono, in Italia, Chelini, Codazzi, Betti, Brioschi, Casorati e brillante fra tutti, per importanza ed eleganza di risultati, il Beltrami; fuori d'Italia, il Riemann e più tardi il Klein apportarono alla nuova disciplina considerevoli contributi.
La geometria differenziale si valeva dei metodi del calcolo infinitesimale al fine di studiare le peculiarità di linee, superficie iperspazi, e più generalmente per dirigere le sue ricerche dovunque intervenisse, con la considerazione di continuità, quella di elementi infi.itamente vicini fra loro. Sono state cosi studiate la curvatura delle linee e delle superfici, inoltre l'applicabilità di una superficie sopra un'altra mediante semplice flessione, senza distensione, cosi come quando la superficie di un cilindro, tagliato secondo una generatrice, si adagia perfettamente sopra un piano, senza che lo si abbia a stirare, come avviene se si deve adagiare una calotta sferica di gomma sopra un tavolo piano. Sono state altecsi studiate particolari linee giacenti sulla superficie e godenti di importanti proprietà; tra esse, le linee geodetiche o linee di minimo percorso, le quali, quando la superficie si adagia sopra un'altra nel senso su descritto, purché vi sia applicabile, si sovrappongono alle geodetiche dell'altra, cosi come le eliche di un cilindro, che sul cilindro sono linee di minimo percorso, si adagiano sulle rette del piano su cui il cilindro viene sviluppato. Questi concetti, che sono fondamentali per la cartografia (la quale ha per scopo di rappresentare la superficie della terra sopra la carta), vennero applicati dal Beltrami ad una particolare super-
ficie, la pseudosfera, derivandone brillanti connessioni con la geometria non euclidea. Infatti, la geometria costruita con le geodetiche della pseudosfera non è altro che la geometria che si verifica per le rette del piano di Löbatchewski.
Nel frattempo, il Riemann prendeva lo spunto dalla forma che assume la distanza di due punti infinitamente vicini sopra una superfice, espressa per mezzo di elementi geometrici ed analitici riferentisi alla superfice stessa, per staccarsi dal teorema di Pitagora e considerare la distanza di due punti nello spazio o nell'iperspazio, in una nuova e più generale forma. Ne è venuta fuori cosi l'idea di curvatura dello spazio e dell'iperspazio, idea che nella odierna teoria della relatività ha acquistato significato concreto (cf. n. VI).
Nello studio delle trasformazioni delle superfici sono state poi esaminate quelle che conservano le aree, quelle conformi, che conservano gli angoli (entro regioni infinitesime), quelle che mutano geodetiche in geodetiche, tutte trasformazioni, queste, di particolare interesse per la cartografia.
Le varie trattazioni ora esposte appartengono all'indirizzo classico; ma l'indirizzo più moderno e fecondo, che ha permesso lo sviluppo della teoria della relatività, è quello segnato dal calcolo assoluto, inventato dal Ricci Curbastro e sviluppato oltre dal Levi Civita. Questo calcolo studia l'invarianza di enti geometrici di fronte alla più generale trasformazione di coordinate, intendendo queste ultime nel senso più esteso, cui si è già fatto cenno nel n. XII.
Già si è accennato nel n. VIII, che il riferimento ad un sistema di assi piuttosto che ad un altro non è indifferente, perché, se il riferimento è connesso con la questione che si sta trattando, ne semplifica straordinariamente lo sviluppo. Per questo il Cesaro, nella citata Geometria intrinseca, aveva usato un riferimento appropriato, da lui chiamato intrinseco e che in linguaggio moderno si direbbe anolonomo: un sistema di assi e quindi un sistema di coordinate per ciascun punto di una linea (o superficie) onde studiarne il comportamento nell'intorno infinitesimo del punto considerato.
Il grande successo del calcolo assoluto nelle applicazioni alla fisica relativistica si deve appunto all'uso di un riferimento anolonomo, ancora più vantaggioso di quello del Cesaro, perché nelle accennate applicazioni presenta un carattere invariantivo per gli enti considerati.
Il calcolo assoluto, cui avevano spianato la via le precedenti ricerche di Riemann, Beltrami, Cristoffel, s'impone col cosiddetto trasporto parallelo e la derivata covariante. Il trasporto parallelo ha un significato ben chiaro nello spazio euclideo, quando si trasporta un segmento (vettore) parallelamente a se stesso, ma è a prima vista indefinito in uno spazio curvo (cf. n. VI). Però, in uno spazio curvo, la curvatura si fa poco sentire nell'ambito di una piccola regione, allo stesso modo come la curvatura della superficie terrestre non si avverte in un piccolo specchio di acqua. Quindi, per ogni punto dello spazio curvo, si può considerare uno spazio ordinario infinitesimo, il quale sia, come si suol dire, tangente a quello curvo, si confonde cioè con quest'ultimo nel campo infinitesimo, cosi come una piccola regione di superficie terrestre si può confondere col piano. Ed allora, nell'ambito di questo spazio ordinario limitato, si può eseguire il trasporto del vettore A B, dalla posizione A B, alla posizione parallela A^{′} B^{′}, infinitamente vicina, secondo i concetti euclidei elementari. Successivamente si considera lo spazio infinitesimo ordinario tangente a quell'intorno dello spazio curvo che circonda A^{′} B^{′}, ed in questo secondo spazio ordinario eseguire il trasporto parallelo da A^{′} B^{′} in A^{′ ′} B^{′ ′}, e cosi via.
Allo stesso modo, sulla superficie del mare ha un significato lo spostamento dell'asse longitudinale A B della nave, parallelamente a se stesso di un chilometro. Adottando coordinate geografiche (latitudine e longitudine) ed iterando lo spostamento mille volte, la nave avrà subito un trasporto parallelo nel senso del calcolo assoluto, ma non si potrà asserire che l'asse della nave nella posizione di partenza sia effettivamente parallelo a quella finale,
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nel senso euclideo. Difatti, considerando in ogni posizione della nave la proiezione di A B sul meridiano e quella sul parallelo, esse non varieranno finché si riferiscono a posizioni vicine, ma varieranno invece molto per posizioni lontane; basti pensare allo spostamento della nave lungo il parallelo di Napoli, mentre, chilometro per chilometro, essa orienti l'asse A B secondo il meridiano del luogo, invece di conservarsi parallela a se stessa come dovrebbe fare nel trasporto parallelo. In altre parole, si consideri il cono tangente alla sfera terrestre lungo il parallelo accennato, quasi un cartoccio a punta che contenga, toccandola, una palla rappresentante il mappamondo, e si spieghi il foglio del cartoccio sopra un tavolo. Sulla carta così spiegata, si disegni, volta per volta, l'immagine dell'asse della nave nel suo spostamento parallelo. La posizione iniziale di quest'asse risulterà, sul tavolo, parallela alla finale, ma il parallelismo cesserà quando il foglio si accartoccerà nuovamente sulla sfera, mentre le varie immagini dell'asse A B faranno con le rispettive generatrici del cono un angolo variabile da generatrice a generatrice. Insomma, dopo mille chilometri, l'angolo tra posizione di partenza e posizione finale sarà di poco meno di dieci gradi.
Per stabilire la somma vettoriale di due vettori, occorre costruire la diagonale del parallelogramma formato dai due vettori trasportati parallelamente a se stessi fino ad avere l'origine comune, così come si fa per due forze agenti sopra un solido, quando se ne voglia trovare la risultante. Analogamente si opera per la differenza vettoriale, che nello spazio ordinario si fa col trasporto parallelo, come quando, data la risultante di due forze agenti sopra un solido e data una delle forze, si voglia trovare l'altra. Questa operazione, che nello spazio ordinario ha un significato indipendente dal posto che ognuno dei due vettori occupa, invece nello spazio curvo si definisce eseguendo il trasporto parallelo nel nuovo significato intorno per intorno (si pensi alla nave sopra indicata). Quando la differenza è infinitesima, si ha il differenziale (incremento infinitesino del vettore) e quando si divide questa differenza per il differenziale (incremento infinitesimo) della variabile, si ha la derivata covariante prima nominata.
Sono questi gli enti fondamentali del calcolo assoluto che poi vengono approfonditi ed estesi dotando cosi la m. di uno strumento poderoso di indagine nel campo fisico.
Altri studi recentissimi si ricollegano a queste teorie dovuti a Bortolotti (Enes) Bompiani, Cartan. Ma lo studio essenzialmente metrico della geometria differenziale doveva trovare fin dal principio un punto di contatto con la geometria proiettiva. La connessione istituita prima dal Klein nel 1872, riduceva, come già si è accennato al n. VII, le tre geometrie, di Euclide, di Lóbatchewski, di Riemann ad una sola, sotto l'aspetto proiettivo. Queste, a loro volta, potevano essere sintetizzate con altre geometrie considerando le trasformazioni proiettive come comprese fra le trasformazioni cremoniane.
Un passo ulteriore è stato compiuto, tra il 1918 ed il 1924, dal Weyl e dal Cartan, con la considerazione dello spazio a connessione affine, oppure a connessione conforme, od a connessione proiettiva. Viene cosi costruito uno spazio, passo a passo, in modo che ogni elemento spaziale infinitesimo si possa riferire al suo vicino rispettando l'affinità, o la conformità, o la proiettività.
In altra direzione, e precisamente nell'approfondimento ed estensione dell'analisi situs, intraveduta dal Clifford nel secolo scorso, si è andata sviluppando la topologia che, sposata alla geometria differenziale, è stata oggetto di studi notevolissimi del Severi e di Blaschke. L'intreccio dei vari rami di cui si è fatto cenno al n. I è più che mai verificato, nella interferenza della geometria differenziale con le altre discipline m .
XIII. Calcolo delle probabilità. - Nato fra il 1600 ed il 1700 con Buffon, Pascal, ed elaborato poco dopo da Bernoulli, Eulero, D'Alembert, Condorcet, ha avuto la sua messa a punto da Laplace e, nella prima metà dell'Ottocento, da Gauss e Poisson;
contributi e precisazioni notevoli vi hanno poi recato Bertrand, Tchebichef, Kolmogorof.
Il calcolo delle probabilità mira a determinare le leggi del caso. L'intenzione è a prima vista paradossale, in quanto, ciò che è veramente fortuito, nel momento che lascia adito a previsioni, perde quella essenza di incertezza di cui esso è rivestito. Ma cosa c'è di veramente fortuito? Nella realtà sono presenti numerose cause fisiche imponderabili od imponderate, che fanno oscilaare l'evento intorno ad una media, interferendo fra loro, ora sommandosi ed ora elidendosi; tra le cause però, come già si è accennato a proposito del determinismo meccanicistico, devono comprendersi anche quelle morali, che sono di indiscutibile valore e capaci di dirigere l'evento nella direzione più impensata, o, come si dice in linguaggio probabilistico, meno probabile.
Il caso si riferisce alle cause fisiche ed è dominato da due leggi, che lo rendono meno fortuito: la legge dei grandi numeri e la legge degli scarti (o degli errori); la prima dovuta a Bernoulli, Poisson, la seconda a Gauss.
La prima, p. es., assicura che, data un'uma contenente novanta palline tutte eguali, differenti solo per il colore, perché 89 sono bianche ed una sola è rossa, il numero delle volte k che esce la pallina rossa, in seguito ad a estrazioni eseguite rimetrendo ogni volta la pallina uscita nell'urna, è tale che la frazione b / n risulta tanto più vicina ad 1 / 90, quanto maggiore è il numero n dei tiraggi.
Viceversa, se su n tiraggi si verifica che il rapporto b / n oscilla intorno ad 1 / 90, avvicinandosi ad 1 / 90 sempre più col crescere di n, si può indurre che tra le 90 palline, una sola è rossa, e con un grado di certezza tanto maggiore, quanto maggiore è n. Se questa circostanza non si verifica, è segno che tra le palline vi è qualche altra diversità, oltre quella del colore. D'altra parte, quando si va a misurare una grandezza, qualunque sia la precisione degli strumenti, si trova ogni volta un valore diverso, con scarti tanto più piccoli quanto più perfetto è lo strumento. Ebbene, la seconda legge afferma che mentre la media delle misure ottenute è il valore più probabile della misura della grandezza, gli scarti da questo valore medio variano secondo l'equazione y=k . mathrm{a}^{-2 k}, dove a è lo scarto ed y lo frequenza con cui esso si verifica; la base a della funzione esponenziale ed il coefficiente k dipendono dalla precisione delle misure.
Sopra questi fondamenti, la teoria delle probabilità ha subito notevoli sviluppi ed applicazioni; dalla teoria degli errori di misura, che offre il modo più sicuro per compensarli, alla teoria della scosmessa che studia l'equità dei giuochi di azzardo, la cosiddetto speranza matematica ed il rischio, governando così la determinazione dei premi di assicurazione; dalla deduzione delle leggi naturali quali si manifestano in un gruppo di esperienze, alla misura degli aggregati, siano essi costituiti da elementi fisici, biologici, demografici, sociali.
Del resto anche la fisica classica, in principio del tutto deterministica, è pian piano scivolata un po' nel probabilismo, quando ha enunciato il secondo principio della termodinamica, o principio della degradazione dell'energio, secondo il quale la natura si evolve verso forme sempre più probabili. Così, ad es., una bottiglia trasparente la quale contenga nella metà inferiore sabbia colorata in azzurro, e nella superiore la stessa qualità di sabbia, ma colorata in rosso, se la si agita per mescolarne i grani dei due colori, finirà dopo non molto per palesare un colore grigio uniforme, tanto che, prelevando una piccola quantità di sabbia, che pur contenga gran numero di grani, si riscontrerà che il numero dei grani rossi sarà all'incirca eguale a quello degli azzurri, con uno scarto tanto minore quanto maggiore sarà il numero dei grani prelevati. Sembra impossibile che, continuando ad agitare la bottiglia, possa riottenersi la separazione dei grani dei due colori nella primitiva disposizione; tuttavia questo risultato non è logicamente impossibile, però cosi poco probabile, quanto lo sarebbe il riprodurre un sonetto di Dante, tirando a sorte le parole di un vocabolario.
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Il ripristino è appunto da attribuire ad una intelligenza la quale guidi, oppure suscití opportune forze a guidare; tanto più se, come nei miracoli riportati dai libri sacri e da ininterrotte tradizioni, il ripristino alle condizioni iniziali si verifica dopo un'avvenuta dissoluzione di organismo, al comando di una parola.
Nella fatica moderna, l'impossibilità di poter sceverare il divenire di un singolo corpuscolo subatomico, obbliga in modo assoluto a ricorrere ai criteri probabilistici, cosi come si farebbe per una folla che si è costretti ad osservare di lontano; non potendo seguire l'azione di un singolo individuo, si cerca di seguire il gruppo cui egli appartiene. Con questa differenza però, che mentre nel caso della folla il giudizio si emette sul gruppo per mancanza di strumenti adatti di osservazione, invece, per il corpuscolo subatomico, il giudizio è legato, oltre che alla impossibilità sperimentale, anche, almeno per ora, ad una impossibilità teorica; cosicché negli ultimi elementi della materia regnerebbe l'indeterminismo e su questo il calcolo delle probabilità. Si è detto indeterminismo; meglio si sarebbe detto indeterminazione, per non lasciar pensare ad un indeterminismo ontologico, che è il puro caso, cioè la negazione di qualsiasi legge (che invece si trova esistere perfino nel caso) oppure è un animismo della materia, ciò che pure è da scartare, se non in quanto connessa ai fenomeni vitali. Di questa attività finalistica della materia, il Fantappiè ha tentato dare una possibile interpretazione matematica, mediante i cosiddetti potenziali accelerati.
XIV. Meccanica nazionale e fisica-matematica. - Questi due importanti rami della m. hanno precedentemente avuto frequente occasione di essere menzionati, ma non sarà tuttavia superfluo ancora un rapido accenno che ne riguardi i loro sviluppi.
Da Archimede, che può ritenersi il fondatore delle due discipline, bisogna risalire i secoli fino a Galilei, Torricelli e Newton, per vederne iniziare lo sviluppo rigoglioso con apporti continui, cui sono legati i nomi di Huyghens, Bernoulli, Eulcro, D'Alembert, Laplace, per arrivare alla classica sistemazione della meccanica razionale compiuta dal Lagrange, nella sua celebre Mecanique analitique, dove tutte le questioni di equilibrio e di moto si fanno discendere da due principi: quello dei lavori virtuali, che risale al Galilei, e quello dell'equilibrio delle forze perdute, dovuto al D'Alembert.
Con la meccanica dei solidi, progrediva anche quella dei fluidi, mentre si scoprivano nuovi e fecondi principi generali e, con i sempre più potenti mezzi matematici, si investigavano tutti i campi della fisica.
Ai principi e metodi generali sono legati i nomi di Jacobi, di Poisson, di Hamilton e di Hölder; alla teoria classica dell'elettromagnetismo: Ampère, Maxwell, Kirchhoff; alla moderna (relativistica) : Eisenberg, Schrödinger, De Broglie; alla teoria dell'elasticità: Betti, Volterra, Kelvin, Somigliana, Levi Civita; alla fluidodinamica: Eulero, Lagrange, Laplace, Kelvin, Helmholtz, Kirchhoff, Levi Civita, Volterra, Prandtl, Cisotti.
Il calcolo delle strutture elastiche piane (travature) ha avuto particolari sviluppi in Italia, con metodi generali ed eleganti, dovuti al Cremona, al Castigliano, al Betti, al Menabrea. Le strutture degli aerei poi, nelle quali la leggerezza è in perenne contrasto con la robustezza, ha dato motivo, per la loro complicazione, a importanti lavori recenti del Broglio, il quale, precisati ed estesi i principi di massimo o minimo lavoro, ha trovato nuovi e solleciti metodi di calcolo per le strutture tridimensionali, finora di difficile approccio.
Dalla meccanica razionale è poi germogliato un nuovo ed importante ramo, quello dell'aerodinamica, la quale studia le sollecitazioni che esercito una corrente fluido sopra un solido in essa immerso. Sorta con lo sconcertante paradosso di Eulero-D'Alembert che dimostrava l'assenza di una resistenza all'avanzamento di un solido nel fluido, l'aerodinamica ha avuto straordinari sviluppi negli ultimi quaranta anni per opera di Prandtl, Levi Civita, Karmann, Lagally, Müller, Pistolesi, Oosen, Cisotti, Teofilato, Silla, Panetti, Ferrari.
Lo studio delle correnti dei fluidi compressibili e viscosi, delle correnti transoniche e supersoniche forma tuttora oggetto di numerose ricerche. Le velocità ultrasoniche, intimamente connesse ai principi della termodinamica, costituiscono anzi un nuovissimo ramo: la gasdinamica, in Italia coltivata da Ferrari, Luigi Crocco, Teofilato; essa si intreccia con la balistica classica alla quale sono legati i nomi di Eulero, Lagrange, Siacci, Signorini, e con la superbalistica cui dedica la sua fervida attività Gaetano Crocco.
Tutte le equazioni che governano i vari fenomeni fisici si possono far discendere da principi di minimo che in sostanza si riducono a quella che Maupertuis chiamò legge del minimo mezzo, quasi una legge di economia della natura, la quale è forse anche il fondamento del graduale passaggio di una specie nell'altra e che dà parvenza all'evoluzione, ed è forse anche la ragione della dolcezza di un'armonia o della bellezza di un'architettura, universale - Vedi tav. XXVI.
Biel.: F. Enriques, Le m. nella storia e nella cultura, Bologna 1938; G. Loria, Guida allo studio del'a storia della m., 2° ed., Milano 1946; F. Conforno-F. Severi, Caratteri e indirizzi della m. moderna, in Enc. d. matematiche elementari, IV, II, Milano 1940.
Pietro Teofilato
MATERA: v. Acerenza e matera, diocesi di.
MATERIA, costituzione della. - Il problema della c. della m. è indubbiamente uno dei problemi scientifici fondamentali: infatti le ricerche riguardanti tale questione sono state informate dalla idea di rendere ragione delle leggi, più o meno complesse e numerose, dei diversissimi fenomeni che cadono sotto i sensi (fenomeni macroscopici), mediante le leggi essenzialmente più semplici e limitate in numero di complessi microscopici (molecole ed atomi) concepiti come costituenti i corpi macroscopici.
L'indagine sulla costituzione dei corpi comprende in tale modo un doppio processo: 1) di analisi dei corpi nei loro costituenti microscopici, implicate quindi il problema della determinazione della natura e delle leggi di tali costituenti; 2) di sintesi, mediante la quale vengono ricavate le leggi macroscopiche nella loro varietà e con le loro limitazioni.
Di qui l'importanza della questione, che, cosi vista, comprende in sé il problema di ridurre a una superiore unità le diverse apparenze dei fenomeni naturali macroscopici e di determinare il campo di validità e il vero significato delle leggi che li dominano.
Sommario: I. La teoria cinetica del calore. - II. Il movimento browniano e la determinazione del numero di Avogadro. - III. L'atomicità della elettricità e l'esistenza dell'elettrone. - IV. I fenomeni radioattivi e la costituzione dell'atomo. - V. Quar. tizzazione dell'energia e struttura dell'atomo. - VI. I raggi X e la tavola periodica degli elementi. - VII. La costituzione del nucleo; gli isotopi: l'equivalenza tra m. ed energia. - VIII. Il doppio aspetto corpuscolare e ondulatorio della m. e della radiazione. - IX. L'energia.
I. La teoria cinetica del calore. - Come è ben noto, già gli antichi (Leucippo, Democrito) ebbero qualche intuizione riguardo alla struttura atomica della m. e l'agitazione molecolare. Tali ipotesi furono riprese nel sec. xvir da Gassendi e quindi da Daniele Bernoulli; dal quale ne furono fatte le prime applicazioni quantitative alla deduzione della legge di Boyle sulla pressione dei gas. Un ulteriore impulso alla concezione atomica venne dalla scoperta delle leggi fondamentali che reggono i fenomeni chimici, che si interpretarono molto naturalmente con le ipotesi atomiche e molecolari. Fu precisata cosi la nozione di «atomo» e di «molecola» (v. chimica). Le leggi delle reazioni tra sostanze allo stato gassoso suggerirono poi ad Avogadro la sua celebre
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ipotesi : volumi uguali di gas alla stessa pressione e temperatura contengono lo stesso numero di molecole. Tale ipotesi permise di determinare la nozione di peso molecolare (v. cinetica) e, in tal modo, i rapporti tra le masse delle molecole delle varie sostanze.
Il primo modo di affrontare la questione delle dimensioni assolute degli atomi, e quindi del vero valore della ipotesi atomica, fu dato dallo studio del gas, mediante la cosiddetta teoria cinetica del calore. Tale teoria fu suggerita dalle seguenti constatazioni : nei fenomeni meccanici che cadono sotto la diretta osservazione, generalmente appare a una indagine grossolana che una parte della energia meccanica messa in gioco vada perduta; in realta questa energia non va perduta, ma si trasforma in energia interna dei corpi nei quali è stato dissipato lavoro meccanico. Si pud osservare infatti in tali corpi un aumento di temperatura, come se si fosse somministrata una quantità di calore proporzionale alla quantita di lavoro dissipata (primo principio della termodinamica, o principio della equivalenza tra lavoro e calore: v. termologia).
Il primo principio della termodinamica suggerisce con molta evidenza l'idea che il calore sia una particolare forma di energia meccanica (idea che in forma più o meno chiara era stata intravista dagli atomisti prima della scoperta del primo principio). Infatti se si cerca di esaminare da vicino il modo con il quale l'energia meccanica macroscopica scompare come tale per dar luogo, p. es., a innalzamenti di temperatura in alcuni corpi, è possibile osservare che questo fenomeno avviene mediante un frazionamento dell'energia dei movimenti d'insieme, in energia di movimenti disordinati (p. es., vibrazioni) di porzioni sempre più piccole e numerose dei corpi che intervengono nel fenomeno.
Questo fatto si può rilevare con grande chiarezza, p. es., nel caso dell'urto di un sasso contro uno specchio d'acqua inizialmente tranquilla: dapprima si osservano onde relativamente lunghe ed ampie; tra esse tendono a predominare progressivamente le onde di lunghezza d'onda sempre più piccola, finché ogni moto apparente scompare.
L'esame analitico diretto di questo fenomeno di trasformazione dell'energia mostra che se la m. avesse una struttura continua, il processo di frazionamento della energia in movimenti sempre più numerosi e sempre più minuti non avrebbe mai fine.
La struttura atomica della m. invece dà origine ad un limite al successivo frazionarsi e disorganizzarsi della energia interna dei corpi : infatti se la m. è costituita da particelle elementari semplici, non divisibili in parti ulteriori, non potendosi verificare alcun movimento interno di queste particelle semplici, si deve ammettere che i movimenti più minuti che possono aver luogo nella m. sono proprio i movimenti di traslazione dei singoli corpuscoli elementari.
Nelle primitive teorie atomiche, si supponeva che gli atomi stessi fossero le particelle elementari; oggi si sa che questa ipotesi non è esatta, però agli effetti delle considerazioni sulla natura cinetica del calore, per le ragioni che si vedranno, gli atomi si possono considerare proprio come particelle semplici, e quindi si può ritenere fondamentalmente giusto il modo di vedere dei fondatori della teoria cinetica stessa. Di questa osservazione si vedrà in seguito la grande importanza.
Il punto di vista della teoria cinetica del calore pud quindi essere precisato in questo modo: 1) le molecole e gli atomi che formano un corpo sono dotati di movimenti disordinati, e con ciò si intende precisamente che il movimento di ciascun corpuscolo è, in grado molto notevole, indipendente dai movimenti delle altre particelle costituenti il corpo. L'energia relativa a tali movimenti è * energia interna disorganizzata { }^{*}; 2) la temperatura dei corpi dipende dall'energia interna disorganizzata : cedere (o assorbire) calore non vuol dire che cedere o assorbire energia in forma disorganizzata; 3) in conseguenza di cio, la temperatura e le grandezze dipendenti (p. es., la pressione in un gas) si possono definire solo per complessi
numerosi di atomi o di molecole : infatti la nozione della disorganizzazione del movimento di una molecola è relativa solo al movimento delle altre molecole. In altre parole: temperatura, pressione ecc. sono grandezze statistiche, che si possono definire solo per insiemi di moltissimi atomi, ossia per i corpi macroscopici, come, p. es., la mortalità media è una grandezza statistica, definibile solo per un insieme di molti individui viventi (v. PROBABILITÀ).
I corpi a cui più facilmente sono applicabili i concetti della teoria cinetica, e che per primi storicamente sono stati studiati da questo punto di vista, sono i gas. Infatti nei gas il moto di ciascuna molecola si può considerare quasi del tutto indipendente dal moto delle altre, o, come si dice, la interazione tra le molecole è praticamente trascurabile (al limite per i cosiddetti gas perfetti nulla).
Le molecole del gas non essendo in conseguenza legate tra loro da forze (ad eccezione della gravità generalmente trascurabile), renderanno, per effetto dei movimenti disordinati da cui sono animate, ad allontanars. in tutte le direzioni : ne segue, come è ben noto, che il gas occupa tutto lo spazio messo a sua disposizione; ne segue inoltre che le molecole, urtando contro le pareti del recipiente che contiene il gas, esercitano su queste una pressione che è l'effetto risultante di tutti gli urti che avvengono nell'unità di tempo sull'unità di superficei
Aumentando la temperatura, aumenta la vivacità de. movimento molecolare, e, in conseguenza, la pressionel
Sul fondamento dei precedenti concetti fu possibile ritrovare le leggi sperimentali dei gas (legge di Boyle, legge di Gay-Lussac ecc.) nella loro espressione quantitativa; fu determinata la velocità media delle molecole in relazione alla temperatura (velocità che fu poi ritrovata con misure quantitative dirette assai precise nel secolo presente da Stern, e che alle temperature usuali è risultata dell'ordine di alcune centinaia di metri per secondo); fu data la teoria quantitativa dei fenomeni di diffusione, di viscosità dei gas, della conduzione del calore (v. termologia) introducendo l'importante concetto di cammino libero medio, ossia della media dei cammini percorsi in linea retta dalle molecole del gas tra due urti consecutivi; fu dimostrato (risultato assai notevole) che la ipotesi di Avogadro è una conseguenza delle ipotesi fondamentali della teoria cinetica; infine si giunse all'importantissimo risultato (Maxwell) secondo il quale l'energia cinetica di traslazione delle molecole, dovuta all'agitazione turmica, si ripartisce in media tra le diverse molecole in modo indipendente dalla loro grossezza (anche l'energia cinetica di rotazione è legata in modo semplice all'energia di traslazione). Questa principio (principio della equipartizione dell'energia) permise di fare la teoria dei calori specifici del gas, con risultati del tutto soddisfacenti ed in accordo con la esperienza. Infine le insieme al principio della equipartizione dell'energia, questo si pud ritenere il risultato più importante della teoria cinetica) si riuscì a determinare il numero di Avogadro N (ossia il numero degli atomi contenuti in un grammoatomo) mediante misure sulla viscosità del gas e sugli scostamenti del comportamento dei gas reali da quello dei gas perfetti (v. termologia). Con i dati relativi all'Argon si è trovato:
mathrm{N}=6,22 10²³
Risulto inoltre, come misura del diametro dell'atomo (sempre per l'Argon)
mathrm{D}=2,8 10^{-8} mathrm{~cm}
II. Il movimento drowniano e la determinazione del numero di Avogadro. - La determinazione del numero di Avogadro N ha una importanza notevolissima, non solo in quanto dà la chiave delle dimensioni atomiche, ma anche in quanto tale determinazione fornisce il fondamento alla evidenza sperimentale delle teorie atomiche.
La via che si è indicata per la misura di N e che, come si è detto, è stata la prima seguita, a causa delle ipotesi arbitrarie e difficilmente valutabili che contiene (come l'ipotesi della forma sferica delle mole-
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(fol. Alinari)
MARIA SS.ma ORANTE CON L' IMMAGINE CLIPEATA DI GESU BAMBINO IN GREMBO. La Mater Domini. Scultura bizantina del sec. xi - Venezia, chiesa di S. Maria Mater Domini.
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(fid. Aadereas)
A sinistra: S. MATTEO IN ATTO DI SCRIVERE IL VANGELO. Muraico del sec. vi Ravenna, chiesa di S. Vitale. A destra: S. MATTEO IN ATTO DI SCRIVERE IL VANGELO. Miniatura di scuola ferrarese (sec. xv) - Biblioteca Vaticana, cod. Urb. lot., 10.
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cole) non poteva essere considerata sufficente a fornire la dimostrazione sperimentale richiesta, ed infatti i cultori stessi delle teorie cinetiche, nonostante i brillanti successi ottenuti, non crano disposti ad accordare alle loro teorie molto più credito che ad ipotesi di lavoro. Ma una evidenza ben più diretta, e fondata del resto sui concetti fondamentali della teoria cinetica, è stata raggiunta per altra via.
Si è già osservato che l'esistenza degli atomi implica che il successivo frazionamento dell'energia meccanica (o comunque organizzata) che si dissipa in energia disorganizzata debba avere un limite; viceversa l'esistenza di questo limite implica una struttura atomica della m. (e, come si vedrà, dell'energia).
In conseguenza la constatazione di un'agitazione permanente nella m. indipendente dalle circostanze esterne e funzione solo della temperatura, si può considerare in certo senso una constatazione indiretta ma sicura della struttura atomica. Ora una tale agitazione che sfugge ad un esame diretto dei sensi si può realmente mettere in evidenza con mezzi di indagine sperimentali sufficientemente raffinati, ed è nota sotto il nome di "movimenti browniani " (dallo scopritore, il botanico Brown).
Se si esamina al microscopio con forte ingrandimento una sospensione di particelle molto minute in un fluido (p. es., una cosiddetta soluzione colloidale), si può notare che le particelle che vi si osservano si trovano in uno stato di movimento irregolare e sovente vivacissimo: i caratteri di tal sorta di movimento sono ben diversi da quelli degli ordinari movimenti macroscopici. Infatti non si tratta di movimenti organizzati di insieme, provocati da perturbazioni esterne (movimenti del resto ben riconoscibili, e che si possono anche presentare, ma che scompaiono dopo qualche tempo se si prendono opportune precauzioni). Il movimento browniano permane inalterato per qualsiasi durata di tempo si esperimenti e indipendentemente da tutte le precauzioni che si possono prendere per proteggere il sistema da influenze perturbatrici esterne; esso è in ogni modo chiaramente distinguibile da movimenti dovuti a cause esterne per i seguenti due fatti: particelle comunque vicine hanno velocità tra di loro indipendenti, e in grandezza e in direzione; la direzione e la grandezza della velocità di ciascuna particella cambia continuamente in un modo del tutto irregolare; il moto browniano appare in una parola dominato dalla legge del caso.
{ }_{4} mathrm{I} Il moto browniano appare in contrasto con il comune comportarsi dei corpi macroscopici; analizzato termodinamicamente, esso si presenta come un fenomeno analogo al passaggio spontaneo di calore da un corpo più freddo a un corpo più caldo. Il moto browniano è pertanto la diretta conferma sperimentale della concezione che si è detto costituire il profondo fondamento degli studi sulla c. della m., secondo la quale le leggi del mondo macroscopico non sono che approssimate e deducibili come casi limiti, spesso mediante il calcolo delle probabilità, dalle leggi del mondo microscopico.
Come si interpreta alla luce delle teorie cinetiche il meccanismo del movimento browniano? Si è già detto che la pressione è generata in un fluido dagli urti numerosissimi delle molecole: le forze dovute alle pressioni e alle differenze di pressione sono perciò dovute a tali urti. Se quindi si immerge in un fluido un corpo così minuto che il numero degli urti che esso riceve dalle molecole del fluido in un tempo apprezzabile non sia molto { }^{°} grande, può darsi benissimo che esso in quel certo piccolo intervallo di tempo riceva relativamente molti più urti da una parte che dalla parte opposta : esso sarà quindi sufficciato e muoversi da una forza apprezzabile per un tempo apprezzabile. Il fenomeno degli urti poi essendo del tutto casuale, questa forza cambierà continuamente di direzione e il moto sarà del tutto irregolare.
Se viceversa si immerge nel fluido un corpo relativamente grosso, questo, data la sua notevole inerzia, non ri sentirà praticamente gli effetti di forze che cambiano continuamente di direzione, e non si osserverà nessun moto apprezzabile, onde appare macroscopicamente che in un fluido in equilibrio la pressione sia uniforme.
La conferma di questo modo di interpretare i fenomeni browniani e nello stesso tempo della esattezza della teoria cinetica dei gas, è data dal seguente fatto di grandissima importanza: mediante lo studio dei fenomeni browniani è possibile per diverse strade arrivare alla determinazione del numero di Avogadro, e si trovano risultati concordanti tra di loro e in accordo che si può considerare ottimo con la determinazione fondata sulla misura della viscosità dei gas, che prima è stata ricordata.
La media delle determinazioni del Perrin, che nel primo decennio di questo
