mente l'influenza di L. Costa, ma per le preferenze cromatiche si avvicina a Dosso Dossi e al Garofalo e nelle tipologie e nelle finte architet. ture dei suoi quadri sacri risente dei tedeschi e fiamminghi coevi.
Lavorò senza interruzione a Ferrara, per la corte estense, dal 1504 al 1524, e si trasferì quindi, per ca. un biennio, a Bologna, dove dipinse per la chiesa di S. Francesco un Gesù fra i dottori, ora diviso fra il Museo di Berlino e la Pinacoteca di Bologna, e un Cristo fra i condizioniste, ora nel Museo Wickopolskie a Posen. Numerose opere sue si trovano sparse nelle gallerie di Roma, Firenze, Torino, Berlino, Monaco, Parigi, Vienna, Londra, Dublino, Cambridge, Philadelphia, ecc. L'arte del M. rappresenta un gustoso fenomeno provinciale di novellistica fra paesana, grottesca e fiabesca, in margine al poetico realismo del primo Cinquecento ferrarese. Paragonate a quelle del miniatore parmigiano Marmitta, le sue qualità, ben riconoscibili, si condensano ottimamente nei soggetti preferiti, e in brevi dimensioni, della S. Famiglia, della Natività, della Strage degli Innocenti, del Cristo nel Tempio, ecc. Ma anche in una tavola vasta e impegnativa come il Presepe con i ss. Alberico e Benedetto, della Pinacoteca di Ferrara, il M. emerge per la nettezza delle risentite tipologie virili e di adolescenti, per la soavità della Vergine, dal profilo quasi leonardesco, per lo splendore degli smalti e per la misteriosa, pacata dolcezza del paesaggio lacustre sullo sfondo. Altre produzioni sue mirabili sono, a Roma, nella Galleria Borghese, l'orientaleggiante quadretto della Natività, dagli stupendi vermigli e gialli ocracei, e, nella Galleria Doria,
[fot. Gab. fol. 192.]
Mazzolino, Lodovico - Natività - Roma, Galleria Borghese.
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Mazzoni, Guido - Deposizione. Terracotta policroma - Ferrara, chiesa di S. Maria della Rosa.
la patetica Pietà con lo sfondo montano e selvoso e l'aggrovigliatissima Strage degli Innocenti (nell'angolo superiore, a destra, un Riposo in Egitto di rara finezza idilliaca), che alterna crudezze cromatiche e gesti spiritati a squisite ornamentazioni alabastrine, di pretto estetismo padano.
Bibl.: G. Gruyer, L'art ferrarcis, II, Parigi 1897, p. 245 sgg.; Venturi, VII, p. 738 sgg.; G. Gronau, s. v. in ThiemeBecker, XXIV, pp. 313-14; R. Longhi, Officina ferrarese, Roma 1934, pp. 115-18; B. Berenson, Pitture italiane del Rinascimento, Milano 1936, pp. 306-308.
Alberto Neppi
MAZZONI, Guido. - Scultore, n. a Modena verso il 1450 e m. ivi il 13 sett. 1518. Fu detto il Paganino, dal nome di uno zio, e Modanino, dalla città natale. Iniziò la propria carriera facendo maschere per pantomime e misteri religiosi e dirigendo feste pubbliche alla corte estense.
Sotto il palese influsso dell'insigne modellatore in terracotta Niccolò dell'Arca, compì a Busseto, nel 1475, un Cristo morto ed un Presepe per la chiesa dei Minori Osservanti; verso il 1480 , a Modena, la vivace Deposizione nell'oratorio di S. Giovanni Decollato, con le figure dipinte; quindi, a Ferrara, per S. Maria della Rosa, un'altra analoga Deposizione (1485); il caratteristico Presepe, ora nella cripta del duomo di Modena; tre Pietà a S. Giovanni di Reggio Emilia, a S. Lorenzo in Cremona e a S. Antonio di Castello in Venezia (di quest'ultima, compiuta nel 1489, esistono soltanto alcuni frammenti nel Museo di Padova). Del medesimo periodo sarebbe, secondo alcuni, anche la tipica, rusticana Madonna con il Bambino della Pieve di Guastalla. Chiamato a Napoli da Ferdinando I d'Aragona, il M. vi esegui nel 1491 il busto in bronzo di quel re (ora nel Museo di Napoli) e per il duca Alfonso di Calabria la Deposizione (1494), attualmente nella chiesa di Monteoliveto. Seguì, poi, il re Carlo VIII in Francia, dove lavorò, insieme con fra' Giocondo, nel castello di Amboise; quindi, alla morte di quel sovrano (1498), ne esegui il sepolcro in bronzo smaltato, con figure allegoriche, distrutto, poi, alla fine del sec. xviII. Fu pure al servizio del successore, Luigi XII, e scolpi per il castello di Blois una statua del re, in costume da caccia, e un'altra equestre, in pietra. Morto
Luigi XII nel 1514, lo scultore modenese ritornò definitivamente, l'anno dopo, nella città natale, carico di onori e di ricchezze. Assai più che per le sue produzioni auliche, come il busto nel Museo di Napoli, il M. assume importanza nella storia della scultura quattrocentesca per le sue qualità di plastico sodo e realistico, continuatore dei modi più vivi e popolareschi di Niccolò dell'Arca, ma senza l'impeto drammatico e fantastico, peculiare a quest'ultimo, e con tendenza alle pose e alle accentuazioni psicologiche, che escludono il soffio di una trascendenza figurativa.
Bibl.: Venturi, VI, pp. 768-84; A. L. Pettorelli, G. M. da Modena plasticatore, Torino 1925; anon., s. v. in ThiemeBecker, XXIV, p. 315; M. Weinberger Bildnisbästen von G. M., in Pantheon, 1930, pp. 190-94; Z. Borocini, Madonna di G. M. nella Pieve di Guastallo, in L'arte, 8 (1937), p. 199. Alberto Neppi
MAZZUCCONI, Giovanni. - Missionario in Melanesia e Micronesia, n. a Rancio (Lecco) nel 1826, ucciso dai selvaggi nell'isola di Woodlark nel 1855. Sacerdote nel 1850 , fu uno dei primissimi allievi del nascente Istituto delle Missioni Estere di Milano, di cui stese, con i colleghi, il primo abbozzo di regole, e redasse le prime preghiere.
Partito per l'Oceania nel marzo 1852, svolse la sua attività missionaria nell'isola di Rook, di fronte alla Nuova Guinea, per tre anni. Ammalatosi e costretto a curarsi a Sydney, nel lungo viaggio studiò buon numero delle isole dell'arcipelago, riempiendo di note un quaderno, che, sfortunatamente, andò perduto con lui, nel viaggio di ritorno alla sua isola. Sbattuta la goletta, su cui viaggiava, su di un banco di corallo nell'isola di Woodlark, fu assalita dai selvaggi, che massacrarono tutto l'equipaggio, a cominciare dal missionario. Anima candida e delicata, fu ritenuto martire ai pari del b. Chonel, cui veniva assimilato dai padri maristi, testimoni delle sue virtù.
Bibl.: G. Scurati, Cenni del sac. G. M., missionario apostolico nella Malesia, morto per la fede il sett. 1833, Milano 1857, p. 295.
Giovanni B. Tragella
MAZZUCHELLI, GiAMMARIA. - Patrizio bresciano, erudito e bibliofilo, n. il 28 ott. 1707, m. il 19 nov. 1765 (non il 1768 , come talvolta si scrive).
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Autore di lodate monografie su Archimede (1737) e Pietro Aretino (1741), il suo nome è legato soprattutto al grande dizionario bio-bibliografico Gli scrittori d'Italia, rimasto incompiuto. Di quest'opera, di vasta e coscienziosa erudizione, furono pubblicate le lettere A e B in 6 voll. (Bruscia 1753-63). La lettera C e tutti gli altri manoscritti del M. si conservano nella Biblioteca Vaticana, cui furono donati ( 1866 ) dal pronipote dell'autore.
Nell'artto palazzo il conte M. fondò nel 1738 un'accademia, che tenne adunanze di dotti frequentate e serie. Le dissertazioni, di argomento letterario, scientifico, storico, teologico e filosofico, furono pubblicate nel 1765.
Boll.: E. Narducci, Intorno alla vita del conte G. M. ed alla collezione de' suoi manoscritti ora posseduta dalla Biblioteca Vaticana, in Giornale arcadico, 198 (1865), Roma 1867, pp. 1-79; D. Balbavati, Commem. del conte G. M. M. nell'occasione del suo bicentenario, in Comment. dell'Atcneo veneto, 2 (1908), pp. 46-62; C. Castelli, Il conte G. M. e + Gli scrittori d'Italia -, in L'Arcadia, 3 (1918), pp. 319-36; G. Frank, Voltaire to M., in Modern language notes, 57 (1942), pp. 355-56.
Francesco Barberi
MBEYA, vicariato apostolico di. - Situato nella parte sud-occidentale del territorio del Tanganyika, è affidato alla Società dei Missionari d'Africa (Padri Bianchi). Ebbe origine nel 1932 quando, il 18 luglio, la parte meridionale dell'allora vicariato apostolico di Tanganika (ora di Kigoma e di Karema), fu eretta in missione sui iuris con il nome di Tukuyu. Essa divenne prefettura apostolica il 29 marzo 1938. Il 14 luglio 1949 fu elevata a vicariato apostolico con il nome di M., che subì una modifica di confini con il vicariato di Karema (2 febbr. 1950), al quale cedette un territorio di proche centinaia di kmq . in quella parte della regione dell'Unyamwanga che si estende a sud-ovest oltre la catena delle montagne delimitanti per un certo tratto la regione stessa.
Al presente M. ha ca. 70.000 kmq . di superfice con oltre 308.000 ab. La parte settentrionale, infestata dalla mosca tse-tse, è poco popolata, mentre nella parte meridionale la popolazione è densa: le tribù principali "Wanyakyusa" e "Wasafwa" contano rispettivamente 150.000 e 45.000 anime. I cattolici sono 20.517 ; i catecumeni 3869 . I protestanti, che si trovano stabiliti sul territorio da oltre 50 anni, sono ca. 35.000 , quasi esclusivamente della tribù " Wanyakyusa ", i maomettani 4970 . Vi sono inoltre : sacerdoti indigeni 3, esteri 19; fratelli laici esteri 2; suore estere 4, le quali hanno cura d'un lebbrosario governativo dove sono ricoverati ca. 800 lebbrosi; seminaristi maggiori 7; 20 seminaristi minori; I seminario preparatorio; catechisti 138 ; maestri 12 ; stazioni missionarie 8 principali e 135 secondarie; dispensari 7 scuole elementari 7; normali 1, di preghiere 184. Nel 1950 si sono avuti 137 battesimi di adulti; 373 fedeli sono soci dell'Azione Cattolica.
Boll.: AAS, 24 (1932), pp. 395-96; 30 (1938), pp. 332-33; 42 (1950), pp. 445-46; pp. 282-83; MC, 1950, pp. 186-87; Cath. Directory of East Africa, Mombasa 1950, pp. 110-12; Arch. di Propaganda Fide, Posiz. prot. nn. 2261/49, 3222/49, 11/50
Carlo Corvo
MBULU, PREFETTURA APOSTOLICA di. - Nella parte settentrionale del territorio del Tanganyika, affidata alla Società dell'Apostolato cattolico (PP. Pallottini).
Fu eretta il 13 apr. 1943; comprende i distretti civili di Mkalama (distaccato dal vicariato di Tabora), di Singida (distaccato in parte dal vicariato di Tabora e in parte dalla prefettura di Dodoma), e di M. (distaccato in parte dal vicariato di Tabora e in parte dal vicariato di Kilimanjaro).
Ha un'estensione di 60.000 kmq . con 450.000 ab., di cui 10.060 cattolici, 3616 catecumeni; 13 sacerdoti esteri, 6 sacerdoti nativi, 4 fratelli laici esteri, 6 suore estere, 110 catechisti, 27 maestri, 7 seminaristi maggiori, 8 minori, 8 stazioni missionarie principali e 25 secondarie, 6 chiese e 27 cappelle, 5 dispensari, 2 ospedali con 50
letti, I orfanotrofio, 7 scuole elementari. Specie in questi ultimi tempi la prefettura ha avuto buoni sviluppi.
Boll.: AAS, 35 (1943), pp. 249-50, 265; MC, 1950, p. 187; Catholic Directory of East Africa, Mombasa 1950, pp. 101-102; Arch. di Prop. Fide, pos. prot. nn. 593/43. 23/51.
Carlo Corvo
MEATH, diocesi di. - Diocesi suffraganea di Armagh, territorialmente la più grande dell'Irlanda; comprende la maggior parte della contea di Meath, Westmeath e Offaly, e parte di quelle di Longford, Louth Dublin e Cavan.
Su un totale di 126.450 ab. (1936) conta 120.643 cattolici. La diocesi ha 66 parrocchie e 144 chiese con 160 sacerdoti secolari e 37 regolari: un seminario minore, St-Finian's College, Mullingar; i Gesuiti hanno una casa di studio a Tullamore, i Padri di S. Colombano una a Navar, i Francescani il Collegio serafico di Multsfarnham, i Salesiani un collegio di agricoltura a Warreston (contea di Meath). Nella diocesi sono pure carmelicani e camilliani, inoltre 19 comunità di suore. La diocesi conta 210 scuole primarie e 13 secondarie.
La presente diocesi di M. abbruccia, come estensione, quasi tutta l'antico Regno di M., che nei tempi antichi comprendeva otto sedi episcopali: Clonard, Duleek, Kells, Trim, Ardbraccan, Dunshaughlin, Slane, Fore. La più importante fu Clonard, che crebbe intorno al celebre monastero dello stesso nome, fondato da s. Finian nel sec. vi. Nel Sinodo nazionale tenuto a Kells nel 1152, le diocesi furono ridotte a tre: Clonard, Duleek e Kells. Dopo alquanto tempo Duleek e Kells furono unite a Clonard; il vescovo di queste diocesi riunite fu fatto prima suffraganeo di Armagh e cominciò a portare il titolo di «vescovo di M.». Il patrono è s. Finian, la cui festa cade il 12 dic.
Prima della cosiddetta riforma, molti dei vescovi furono inglesi, trovandosi M. nel distretto conosciuto sotto il nome di the Pole. Due dei più celebri, durante il periodo della persecuzione, furono il cistercense Guglielmo Walsh (m. nel 1577) e il francescano Patrizio Tyrrel (m. nel 1692). La residenza episcopale è Mullingar, dove fu eretta una splendida cattedrale nuova, dedicata a Cristo Re.
Brot.: Archivum Hibernicum, VIII, pp. 203-43; W. M. Brady, The episcopal succession in England, Scotland and Ireland, A.D. 1400 to 1873, I, pp. 233-44; A. Cogan, The diocese of M. ancient and modern, 2 voll., Dublino 1865-70; P. E. Duffy, s. v. in Cath. Enc., X, pp. 97-89; Eubel, I, 338-39; II, 211; III, 260; Irish Cathal. Directory, 1951, pp. 156-62. Benigno Millett
MEAUX, DIOCESI di. - Città e diocesi nel dipartimento di Seine-et-Marne (Francia). Ha una superfice di 5664 kmq . con 407.137 ab., dei quali 350.000 cattolici. La diocesi è divisa in 2 arcidiaconati; 5 arcipreture e 29 decanati, 531 parrocchie servite da 301 sacerdoti secolari e 21 regolari; conta 8 comunità religiose maschili e 83 femminili (Ann. Pont., 1951, p. 267). E suffraganea di Parigi.
Anche M. ebbe un catalogo episcopale alla fine del sec. IX ricordato dal vescovo Ildegario nella vita di s. Farone. Primo vescovo è stato Desiderio, 19° Valdeberto, 20° Farone, 36° Ildegario; ma Desiderio, posto per primo nelle lieve, fu invece vescovo di Parigi e Valdeberto fu abate di Luxeuil; possono riconoscersi vescovi di M. Rigomero, ricordato il 28 maggio nel Martirologio geronimiano: Medoveco, presente al Concilio di Orèana (549); Gundoaldo, intervenuto al Concilio di Parigi (614) e di Clichy (627); Burgnodofaro (643), ricordato al 28 maggio nel Geronimiano, e Ildeberto al 27 maggio; Erlingo, noto da un privilegio del 683 ; Romano, al quale scrisse papa Zaccaria nel 748; Vulfrano, presente a Roma nel 769; Ugberto, presente ai Concili di Soissons e di Yerberie (853); Ildegario, al Concilio di Senlis (856); Ragenfrido, a quello di Ponthion (876); Sigimondo, fatto prigioniero dai Normanni nell'888 quando conquistarono M.; Agelranno, presente a Reims alla consarca. sione del vescovo Eriveo. In epoca più recente si ricor-
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(fot. G. Réani)
Meaux, diocesi di - Cattedrale (sec. xiv-sv).
dano i vescovi J. du Drac (1459-73); G. Briçonnet (1516-33); D. Segnier (1637-59); il card. De Ligny (1659-81). Bossuet (v.) fu vescovo di M. dal 7 febbr. 1682 fino alla sua morte ( 1704 ).
Uno dei santuari più venerati fu la chiesa abbaziale del vescovo s. Farone, oggi distrutta e di cui si conosce la pianta di Villard de Honnecourt.
M. fece parte del Regno di Austrasia, fu presa poi dai Normanni nel1'887 che bruciarono la città e fecero prigioniero il vescovo Sigimondo. Nel sec. x Tibaldo, conte di Troyes, divenne anche conte di M.; suo figlio O.ldone I l'incorporò alla contea di Champagne. Allora M. acquistò importanza commerciale. Fu poi riunita alla corona di Francia da Filippo il Bello nel 1285. Nel 1385 soffrì per la rivolta della Jacquerie. Nel 1422 fu presa da Enrico IV d'Inghilterra; riconquistata nel 1439, soffrì durante le guerre di religione; nel 1562 gli ugonotti saccheggiarono le chiese.
La Cattedrale è dedicata a s. Stefano. Il vescovo Ildegario nella metà del sec. IX, nella vita di s. Farone, parla della chiesa di M. Ma le origini restano oscure. Nel xir vi erano già alcuni canonici. Nel 1723 il card. de Bissy, scavando per costruire la sepoltura per i vescovi, rinvenne sotto la Cattedrale una cripta, avanzi di colonne e un capitello del sec. xi; altri resti di simili colonne si trovarono nel 1840 , insieme con avanzi di materiali calcinati e ceneri che fecero pensare all'incendio dei Normanni. E certo che nel 1198 vi fu sepolta Maria di Francia, figlia di Luigi VII e moglie del conte Enrico I di Champagne. Fra il 1225 e il 1235 l'architetto Villard de Honnecourt disegnò il "presbyterum Pharanonis in Miaus" e "les ligements de l'eglise Miaus de St-Etienne". L'edificio però fu rifatto nel 1253 al tempo del vescovo
Pietro de Cuisy e l'architetto fu Gautier de Varinfroy. Una nuova cappella e altri lavori furono però fatti eseguire nel 1322 da Carlo il Bello; Rose, un ricco mercante di M., vi aggiunse la cappella del S.mo Sacramento; più notevoli furono il restauro iniziato nel 1335 su disegno di Nicola de Chaume che durò oltre il 1390 e nuovi lavori dal 1459 al 1500 . Poi vennero i danni degli ugonotti nel 1563, la distruzione dei reliquiari del Tesoro, del coro, delle statue, ecc.; quindi le trasformazioni del card. De Bissy (1723-31); buoni restauri nei primi decenni del sec. xx hanno riportato la Cattedrale al disegno primitivo.
BibL.: Eubel, I. pp. 333-34; II, p. 189; III, p. 240; IV, p. 237; L. Duchesne, Faites épiscopaux de l'ancienne Gaule, II, 2° ed., Parigi 1910, pp. 476-79; Guide de la France chrétienne et missionnaire 1948-49, ivi 1948, pp. 626-28, 1056-57; J. Formigé, Cathédrale de M., Meaux 1917; E. Mâle, L'art religieux du XIIe siècle en France, Parigi 1923, passim; F. Deshoulieres, La cathédrale de M., ivi s. 6.
Enrico Jesi
MECCA: v. ISLÂM.
MECCANICA. - La m. ha per obbiettivo lo studio dei fenomeni dei corpi materiali che si svolgono senza alterarne né la natura fisica né quella chimica. Studierà quindi, p. es., l'efflusso dell'acqua nei canali o nei tubi, la cessione della sua energia cinetica a congegni atti ad assorbirla e ad utilizzarla, e qualsiasi altro fenomeno che lasci inalterata la sua natura di acqua. Non si occuperà invece della sua eventuale evaporazione o trasformazione in vapore acqueo, né tanto meno della sua eventuale scomposizione nei suoi costituenti ossigeno ed idrogeno. Già dai tempi più antichi si era riconosciuto che nei fenomeni meccanici sono in gioco rapporti fra grandezze inerenti al moto, alle forze e a qualche quid intrinseco ai corpi materiali che vi partecipano. E quindi utile, prima di affrontare in pieno il problema della determinazione di quei rapporti, un preventivo studio generico tanto del moto (cinematica o geometria del movimento) quanto delle forze.
I. Cinematica. - L'osservazione insegna che ogni spostamento è sempre accompagnato da un atto di moto che si svolge nello spazio con una certa continuità e in una stretta correlazione col tempo o, come sovente si dice, in funzione del tempo.
Lo studio dei possibili atti di moto è lo scopo precipuo della cinematica che con ciò giustifica anche la sua denominazione di geometria del movimento. Come è intuitivo per seguire ed eventualmente per esprimere formalmente gli atti di moto bisogna ricorrere a qualche sistema di riferimento, che però può in generale venir scelto con largo arbitrio. Ma già a questo punto appare una essenziale differenza fra cinematica e geometria. Questa sceglie sempre il sistema di riferimento che intende di adottare fra infiniti sistemi supposti, anche quando non viene esplicitamente detto, in riposo relativo, cioè fissi gli uni rispetto agli altri. P. es., la posizione di un punto in una sala pub venir riferita in maniera semplice al sistema di coordinate cartesiane i cui assi sono costituiti da tre spigoli delle pareti convergenti in uno dei vertici, oppure a un qualsiasi sistema di coordinate polari con il relativo polo in quel vertice. A ogni modo la posizione del punto è sempre intesa relativamente al sistema di riferimento scelto. Ora, se si suppone che il punto sia in un certo moto rispetto al sistema di riferimento scelto, lo sarà egualmente rispetto a tutti gli altri. Nel caso ora considerato il moto avrebbe quindi un carattere assoluto. Ma, introdotta la nozione di moto, è logico applicarla anche ai sistemi di riferimento e quindi considerare anche sistemi di riferimento in moto relativo fra di loro. In tal caso però la nozione di moto di un corpo perde qualsiasi significato assoluto e rimane una nozione relativa al sistema di riferimento scelto che occorrerà sempre indicare, a meno che non possa esser sottinteso senza equivoco.
Fra tutti i sistemi in moto relativo che è possibile
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(da Pal Kelenen, Medieval American Art, II, Nuova York 1946, tav. 73 b) A sinistra: PAGINA DEL CODICE MAYA DRESDENSE. In alto a destra: VASO A RILIEVO del Guatemala. In basso a destra: IL DIO DEL FRUMENTO. Stele - Guatemala.
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(ftd., Indopradical Sirex paperi)
A sinistra: ST. PATRICK'S COLLEGE. Biblioteca. A destra: ST. PATRICK'S COLLEGE. Cortile.
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concepire non ne esisterà uno veramente fisso? A tale domanda è logico opporre subito un'altra domanda: fisso rispetto a che cosa? A questo punto però basta ricordare le evoluzioni della nozione di corpo fisso per comprendere che non è possibile rispondere. Per un lunghissimo periodo si credette fissa la 'T'crra, poi si passò a considerare fisso il Sole; in seguito nuove osservazioni astronomiche dimostrarono che anche il Sole, con tutto il suo sistema di pianeti, si muove con una velocità di ben 36 km/sec, verso la lontana costellazione di Ercole e che anche tutto l'immenso sistema galattico è pur caso in moto relativamente alle stelle più lontane che ormai nessuno più osa supporre fisse. Anche le teorie ottiche ondulatorie e la teoria elettromagnetica di Maxwell presupponevano l'esistenza di un etere fisso, ma qui pure l'esperienza pose in evidenza l'assoluta insostenibilità di quell'ipotesi (v. RELATIVITÀ). Concludendot la fisica, e in particolare la sinematica deve ormai evitare di for il bencile minimo impiego dell'eguisoca e fallace nozione di sistema assoluto.
Moto di un punto. - Nella geometria e anche nella vita quotidiana si impiega sovente la nozione di punto e di posizione di un punto. E questa una nozione astratta insufficiente per definire completamente la posizione di un corpo reale, perché prescinde da ogni considerazione di orientamento, che non ha senso per un punto, ma che ha invece un senso ben determinato per qualsiasi corpo reale per quanto piccolo. Però anche in molti casi reali quell'indicazione incompleta è praticamente sufficiente. P. es. la posizione di una nave nell'oceano si indica generalmente per mezzo della sua longitudine e della sua latitudine prescindendo dal suo orientamento. Perciò sovente la fisica considera i corpi che intervengono nelle sue considerazioni come concentrati in punti, attribuendo talvolta loro anche qualche non contrastante proprietà materiale, e distinguendoli dai punti puramente geometrici con la qualifica di punti materiali. In codesti casi la nozione del moto di un corpo si riduce a quella della successione dei punti dello spazio occupati da quel punto rappresentativo al passar del tempo, punti dello spazio che non possono essere isolati, ma devono costituire una linea, la traiettoria del punto mobile. Essa potrà essere o retta o curva. Ma la sola conoscenza della traiettoria non è ancora sufficiente per definire completamente il moto del punto. Occorre evidentemente ancora stabilire in qualche modo un'esatta corrispondenza fra le posizioni del punto, cioè tra i punti della traiettoria e il tempo. Ciò può farsi in varie forme grafiche e analitiche. Elemento essenziale nella considerazione dei moti è la velocità. Di questa si ha ormai una nozione abbastanza esatta perché la vita moderna si pone continuamente in cemento con le più varie velocità. In ultima analisi le velocità di un oggetto qualsiasi risultano sempre espresse dal rapporto di un suo percorso l al tempo impiegato t:==1 / 3. E ciò che induce ad attribuire alla velocità la grandezza fisica v=L T^{-1}. Ma un punto può muoversi con velocità costante lungo tutta la sua traiettoria oppure anche con velocità variabile da luogo a luogo. Nel primo caso la lunghezza del percorso s per ogni tempo t misurato a partire dall'istante per cui sia t=0, sarà data dalla semplicissima equazione s=s_{0}+v t, essendo s_{0} la posizione del punto all'istante iniziale. Ma nel caso di velocità variabili, per poterle meglio descrivere, è utile introdurre l'utilissima nozione di accelerazione a, cioè dell'incremento della velocità nell'unità di tempo, quindi a =Δ v / Δ t indicando con Δ v la variazione della velocità avvenuta nell'intervallo di tempo Δ t. Conseguentemente si attribuisce alla accelerazione la dimensione fisica a =v² t^{-1} e tenendo conto della dimensione di v, a=L T^{-2}. Anche qui come precedentemente per la velocità, l'accelerazione può risultare costante lungo tutto un percorso e allora si ha un moto a accelerazione costante generalmente detto moto uniformemente accelerato; ma può anche risultare variabile da luogo a luogo e allora si ha un moto variamente accelerato. Con perfetta analogia a quanto detto poco fa, nel caso dell'accelerazione costante la velocità variabile in ogni istante sarà data dalla v=v_{0}+a t, ove con v_{0} è indicata la velocità che si aveva all'istante ini-
ziale. In caso di moto ritardato, cioè di diminuzione di velocità, si attribuisce all'accelerazione segno negativo. A questo punto è interessante chiedersi quale sia l'espressione del percorso e del punto materiale, nel caso del moto uniformemente accelerato. Semplici considerazioni matematiche conducono all'espressione s=s_{0}+v_{0} t+1 / 2 a t, essendo s_{0}, v_{0} rispettivamente la posizione e la velocità all'istante iniziale. Queste espressione, come si vedrà in seguito, ha una notevole importanza nella storia della m.
Con considerazioni fondamentalmente analoghe dal punto di vista fisico, ma necessariamente più complesse, la cinematica studia tutti gli altri tipi di moti non solo di punti, ma di corpi qualsiasi. Le difficoltà che possono sorgere in tali studi sono solo più di indole matematica.
II. Geometria delle forze. - Anche della nozione di forza tutti hanno una intuizione sufficiente per farne una prima parziale analisi. Già la forza che ci è più abituale, quella che si manifesta come peso dei corpi materiali, fu da tempi remoti riconosciuta come variabile da corpo a corpo, o più precisamente dotata di una propria intensità, di una direzione e di un verso, questi ultimi a priori rispettivamente verticale e volti al basso, ma deviabili per mezzo di opportuni dispositivi. P. es., la forza per innalzare un secchio d'acqua ha evidentemente l'intensità uguale al loro peso complessivo, e normalmente la direzione verticale e il verso volto al basso; ma con il dispositivo fune e puleggia applicato ai pozzi, direzione e verso possono venir arbitrariamente deviati, mentre l'intensità rimane la stessa. Dal fatto evidente che l'effetto su di una fune tesa rettilinearmente di una forza di eguale direzione è indipendente dal punto di applicazione, si giunse alla conclusione che le forze possono in generale venir arbitrariamente spostate lungo la loro linea di azione.
Composizione delle forze. - Già nel sec. siti G. Nemorario aveva riconosciuta qualitativamente la possibilità della scomposizione delle forze, considerando il caso della forza verticale volta al basso corrispondente al peso di un corpo sospeso a una corda più o meno tesa fra due punti fissi, la quale forza risultava di fatto equilibrata dalle due tensioni, quindi dalle due forze, dirette secondo i due rami della corda. Ma malgrado tale riconoscimento non si osò passare all'affermazione di una affine possibilità di composizione delle forze. Solo Leonardo da Vinci, ca. due secoli dopo, determinate quelle due tensioni e dimostrato che la loro razionale composizione equivaleva anche quantitativamente a una forza eguale e contraria al peso del corpo sospeso, si elevò alla nozione generale di composizione e composizione delle forze. In base a tale nozione e alla sua legge, formulata poi con la notissima regola del parallelogramma, si risolsero, da Galileo in poi, tutti i problemi più interessanti sulle forze in sé. Considerando dapprima forze complanari, cioè dotate tutte di direzioni giacenti su uno stesso piano, si ricordi che qualsiasi numero di esse è in generale ancora componibile in una unica risultante su quel piano, tranne quando, nella penultima operazione di codesta tentata composizione, non venissero a risultare due forze di eguale intensità F parallele, di verso contrario e aventi linee di azione a una qualsiasi distanza d non nulla, perché in tal caso ogni ulteriore composizione è impossibile. In altri termini, il particolare sistema ora detto rappresenta una nuova grandezza fisica, che si usa denominare coppia. Una facile analisi dimostra che le coppie sono caratterizzate dal loro momento, cioè dal prodotto F d. Due coppie di egual momento sono equivalenti. E molto importante aver presente che se si trasporta una forza parallelamente a se stessa anziché lungo la propria linea di azione (come si è supposto finora) si dà sempre origine a una coppia. Ciò premesso, relativamente al piano si può concludere: un qualsiasi numero di forze complanari si compongono sempre o in unica forza risultante, o in una coppia.
Nello spazio analoghe considerazioni conducono a
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concludere : due forze sghembe sono in generale equivalenti ad una forza e ad una coppia; ne consegue che un qualsiasi numero di forze nello spazio è pure equivalente (è riducibile) a una forza e a una coppia.
III. Dinamica generale. - Dei tre elementi che con i loro mutui rapporti determinano le leggi della m. dei corpi materiali: il moto, le forze, considerate estrinseche ai corpi, e quel quid che si disse invece intrinseco ad essi, solo i due primi poterono venir preventivamente studiati singolarmente a causa della loro facile intuizione e dar luogo alle cosiddette geometrie del movimento e delle forze. Del terzo elemento invece, del tutto implicito nella teoria stessa del moto, non fu possibile alcun attendibile studio preventivo anche perché nell'ampio campo della m. dei corpi materiali esistono, come si vedrà, varie grandezze che singolarmente sarebbero atte a rappresentare l'anzidetto quid intrinseco. E questa forse la più recondita ragione che, aggravata dalla mancanza, o peggio dalla fallacia, di facili intuizioni, rese tanto difficile di estrarre dalla osservazione dei fenomeni della m. un coerente sistema di leggi che li potesse tutti interpretare.
1. Il principio di inerzia. - Il primo risultato reale nei vari tentativi per codesta estrazione delle leggi fondamentali della m. fu il conseguimento della nozione dell'inerzia dei corpi materiali e la formulazione della sua legge per opera, dapprima di Leonardo da Vinci e poi, indipendentemente da lui, di Galileo. Essa costituisce nella ulteriore sistematica formulazione di Newton delle leggi fondamentali della m. la LEX I: «Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quaternus a viribus impressis cogitur illum mutare». E senza dubbio l'aver ignorato questa base fondamentale fu la causa precipua dell'errata interpretazione di Aristotele di molti dei fenomeni della m. e in particolare di quello della caduta dei corpi materiali in vicinanza della superficie terrestre che, come si vedrà, fu poi la pietra di paragone tra le vedute aristoteliche e quelle galileiane.
A questo punto merita di esser rilevato il fatto che siano stati propriu i fondatori del criterio sperimentale a elevare al rango di principio fondamentale un fenomeno che nel campo delle nostre possibilità sperimentali non può mai completamente realizzarsi e può solo venir riconosciuto come caso limite, perché non ci è possibile osservare un atto di moto assolutamente sottratto all'azione di qualche forza esterna. I sostenitori invece dell'idea contraria, che i corpi non potessero rimanere in moto se non sotto l'azione di qualche forza, poterano illudersi di trovarsi in accordo con la quotidiana esperienza che mostra che ogni corpo non mantenuto in moto da constatabili forze esterne si arresta.
2. Il principio fondamentale della dinamica. - Avendo conseguita la legge del moto dei corpi in assenza di forze esterne, è logico chiedersi quali effetti debba produrre sui corpi stessi l'eventuale presenza di tali forze. Ma anche qui la pura nostra intuizione è insufficiente ad affrontare la questione ed appare necessario il ricorso all'esperienza bene intesa e rigorosamente interpretata. La prima questione che si presenta è di sapere se sia lecito portare della azione di una forza su un dato corpo, indipendentemente dallo stato di moto in cui esso eventualmente si trovi. La questione è estremamente delicata perché, non essendo possibile l'esperienza diretta, dovrà venir risolta indirettamente e anche attraverso astrazioni e idealizzazioni da condurre con grande prudenza. Solo Galileo riuscì a porre tale questione nei debiti termini e a risolverla, riassumendone l'essenza nel principio che una forza agisce su di un corpo nella stessa maniera sempre, sia esso in moto, sia esso soggetto o no all'azione di altre forze. Solo in base a questo principio l'esperienza su corpi inizialmente in quiete rispetto all'osservatore può esser conclusiva. La legge che conseguì da risultati delle esperienze di Galileo
fu formulata da Newton come LEX II : Mutationen motus proportionalem esse si motrici impressae et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur».
Si tenga ora presente che l'effermata proporzionalità fra la forza e la mutatio motus (che non è altro che una accelerazione positiva o negativa) si riferisce agli effetti di varie forze su di uno stesso corpo: in altri termini che il rapporto fra la forza impressa F e l'accelerazione ottenuta a è una costante del corpo considerato. Ma siccome anche le accelerazioni che si ottengono applicando eguali forze a corpi diversi, sono differenti tra di loro, si, ciò che equivale, siccome differenti corpi oppongono differenti resistenze alla variazione del loro stato di moto, sorge abbastanza spontanea l'idea di ascrivere a ciascun corpo una propria massa inerte o dinamica m. Ciò appunto fece Newton assumendo inoltre come misura di essa senza altro l'anzidetto rapporto mathrm{F} / mathrm{a}; cioè esprimendo la sua II legge nella forma F=m . a.
A questa legge fondamentale possono anche darsi varie altre forme molto utili in diversi casi. Osservando che l'accelerazione (media) durante un intervallo di tempo Δ t può scriversi a=Δ v / Δ t, la legge precedente assume la forma mathrm{F} Δ mathrm{t}=mathrm{m} Δ mathrm{v}, o, data la costanza di m, anche mathrm{F} Δ mathrm{t}=Δ(mathrm{mv}). Questa forma diviene molto espressiva se si introducono due nuovi concetti fisici: quello di prodotto di una forza per il tempo in cui essa agisce, cioè l'impulso di quella forza e quello del prodotto di una massa per la propria velocità, cioè la quantitá di moto di quella massa (o del corpo che la possiede); l'equazione esprime allora che l'impulso di una forza è sempre eguale alla variazione della quantitá di moto del corpo cui è applicato. Sovente si invertono i termini e si dice: la variazione della quantitá di moto di un corpo è sempre eguale all'impulso che l'ha provocata. Ancora, dividendo per Δ t, la stessa equazione ci dice: la variazione della quantitá di moto nell'unitá di tempo è uguale alla forza agente. Tutte forme della legge fondamentale che possono essere utili.
La grandezza massa così introdotta è eminentemente di natura fisica, indipendente dalle grandezze fondamentali lunghezza L e tempo T; deve quindi venir considerata come nuova grandezza fondamentale propria della dinamica della quale si usa indicare la dimensione fisica M. Segue per l'equazione precedente, tenendo conto delle dimensioni dell'accelerazione, la caratterizzazione dimensionale della forza mathrm{F}=mathrm{LT}^{-2} mathrm{M}.
3. Il principio dell'azione e reazione. - I precedenti due principi sono già sufficienti per risolvere soddisfacentemente numerose questioni dinamiche, ma non tutte e, in ogni caso, mai nella loro pienezza. Infatti per applicare una forza a un corpo è necessario ricorrere all'impiego di un altro corpo. E allora non potrà dirsi di conoscere in modo completo un fenomeno dinamico se non si terrà anche conto di quello che avviene su quel secondo corpo.
A questa necessità provvede il principio dovuto a Newton, che egli enuncia come LEX III : actioni contrarian semper et aequalem esse reactionem : sine corporam duorum actiones in se mutuo semper esse aequales et in partes contrarias dirigi. Questo, come i due precedenti principi non può esser dimostrato, ma solamente illustrato e chiarito con opportuni esempi. Un corpo che per qualsiasi ragione eserciti per un certo tempo su un altro corpo una forza di una certa intensità e di una certa direzione e verso si trova sempre inevitabilmente sottoposto, per lo stesso tempo, a una forza di eguale intensità e direzione, ma di verso contrario. Anche quando la forza viene esercitata solo per un tempo brevissimo e quindi il suo effetto si riduce a un impulso al corpo che la subisce, il corpo agente riceve inevitabilmente un impulso eguale e contrario. Si osservi, per evitare equivoci, che l'azione e la corrispondente rezzione si trovano sempre, come chiaramente dice Newton, su due differenti corpi.
4. Sviluppi della dinamica. - I precedenti principi sono sufficienti per risolvere in via concettuale qualsiasi problema meccanico che possa presentarsi nella realtà. La riserva sta a significare che a quella possibilità teorica non sempre corrisponde la nostra abilità di ricavare formalmente quelle soluzioni. Perciò dal tempo di Newton
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in poi vennero ricercate e scoperte molte espressioni perfettamente equivalenti a quei principi, ma formalmente più atte alla pratica risoluzione dei vari tipi di problemi dinamici. Fra di esse hanno grandissima importanza il principio di II'aliembert, le equazioni di Lagrange, il principio di Hamilton con le sue varie trasformazioni formali, ecc. Data l'impossibilità di considerare particolarmente codeste elevate formulazioni della dinamica e gli ingegnosi criteri escogitati per le loro applicazioni ai vari problemi, che complessivamente costituiscono una delle più grandiose discipline teoriche, la dinamica analitica, si consideri solo che la maggior difficoltà che si presenta quasi sempre è quella di tener il debito conto dei cosiddetti vincoli. Sono questi in generale intimamente legati alle condizioni alle quali possono esser sottoposte le varie masse che partecipano al fenomeno, condizioni che possono esser talvolta estremamente complesse ed eventualmente anche variabili con il tempo. F. es., un vagone è generalmente vincolato dalla condizione di dover rimanere sulle proprie rotaie; tale vincolo, quando il percorso è rettilineo, può considerarsi praticamente inesistente, ma quando esso è curvilineo può provocare reazioni anche notevolissime perché il vagone, dotato di una certa velocità, per la sua inerzia, tenderà a mantenerla e a procedere in quella in linea retta, mentre una delle rotaie la costringerà invece a un percorso curvilineo esercitando su di esso (attraverso le ruote) una azione, contro la quale il vagone reagirà, per il principio di Newton, con una reazione sulla rotaia eguale e contraria. Di codesta o di altre più complesse reazioni vincolari esattamente previste dal III principio, e delle quali può esser difficile tener conto solo in base ai principi fondamentali, possono invece tener conto quasi automaticamente le anzidette formulazioni analitiche, salvo naturalmente le eventuali difficoltà di calcolo.
Un'ulteriore necessaria osservazione è la seguente. Quantunque ormai si sappia che ogni moto in pratica incontra sempre varie resistenze passive che tendono ad annullarlo, per semplicità, in quanto precede, si è tacitamente astratto da esse. Però anche alla loro considerazione, che può essere in vari importanti casi necessaria, possono in linea di principio provvedere la II e la III legge della dinamica; ma a una più pratica loro considerazione si giunge ancora attraverso alla anzidetta dinamica analitica.
Ricordiamo infine che si fa sovente uso della espressione di equilibrio dinamico, che evidentemente non coincide con il noto equilibrio statico. Evidentemente è in equilibrio statico un corpo assimilabile a un punto materiale quando sia sollecitato da due forze eguali e contrarie; è in equilibrio statico la bilancia ferma, perché allora la risultante di tutte le forze parallele (pesi) agenti su di essa e rivolte verticalmente verso il basso, passando per il fulcro, viene equilibrata dalla reazione eguale e contraria del suo sostegno. Si dirà invece che è in equilibrio dinamico p. es. un treno che si muova in linea retta con velocità uniforme perché evidentemente in tal caso si fanno equilibrio la forza di propulsione della locomotiva e la risultante di tutte le resistenze passive, come pure il suo peso e la reazione delle rotaie, così che il treno si muove, a norma del I principio, come se su di esso non agisse alcuna forza.
IV. Dinamica dei punti materiali. - Il caso particolare della dinamica dei corpi che per qualsiasi ragione possano rigorosamente, o almeno con grande approssimazione, venir assimilati a punti materiali secondo la precedente loro concezione, è molto utile perché permette di vedere i principi dinamici in atto nella forma più semplice possibile, come pure di porre alcuni concetti e di dimostrare alcune leggi conseguenti dai principi fondamentali che potranno in seguito venir utilizzate con vantaggio in loro luogo. In altri termini si verifica qui ciò che dai tempi più antichi si verificò nel campo della geometria; cioè che, per quanto nei suoi assiomi e postulati fondamentali fosse contenuto quanto occorreva per risolvere ogni questione geometrica, quasi sempre risul-
tava più comodo ricorrere per quelle trattazioni a teoremi che erano una loro logica conseguenza e, in un certo senso, loro equivalevano.
1. Moto di un punto libero. - Se su un punto materiale libero di massa m non agisce alcuna forza, per il I principio la sua accelerazione a sarà nulla, e la sua velocità e costante quindi eguale a quella iniziale v_{0}; il suo percorso s dopo un tempo t sarà dato dall'equazione mathrm{s}=v_{0}+mathrm{vt}, indicando con v_{0} la sua quota al tempo iniziale mathrm{t}=0. Ma se sul punto agisce una forza mathbf{F} costante per il I e il II principio saranno: la sua accelerazione mathrm{a}=mathrm{F} / mathrm{m}, la sua velocità mathrm{v}=mathrm{v}_{mathrm{o}}+mathrm{F} / mathrm{m} . mathrm{t} e il suo percorso al tempo mathrm{t} . mathrm{s}=mathrm{s}_{mathrm{o}}+mathrm{v}_{mathrm{o}} mathrm{t}+mathrm{r}(2 . mathrm{F} / mathrm{m} . mathrm{t}². Nel caso che la forza F abbia agito per il periodo di tempo t a partire dallo stato di riposo mathrm{v}=0, il teorema dell'impulso ci dà mathrm{Ft}=mathrm{mv}, e quindi ci permette di calcolare la velocità e raggiunta dal mobile senza passare attraverso alla considerazione dell'accelerazione.
2. Moto circolare uniforme. - Passando dal caso più semplice del moto di un punto libero a quello ancora particolarmente semplice, del moto di un punto vincolato a muoversi uniformemente su di una circonferenza di raggio r, osserviamo: 1) che elcmentari considerazioni cinematiche mostrano che per il semplice fatto del moto circolare anziché del moto rettilineo, il punto è soggetto ad una continua e costante accelerazione verso il centro, che perciò si dice accelerazione centrípeta, il cui valore si calcola senza difficoltà in mathrm{a}=mathrm{v}² / mathrm{r}, indicando con e la velocità del punto sulla detta circonferenza; 2) che per il II principio quell'accelerazione centrípeta non può essere prodotto che da una forza agente sul punto e in ogni istante diretta radialmente verso il centro di rotazione e che perciò indicheremo con mathrm{F}_{1}; il suo importo, per lo stesso principio, è dato da mathrm{F}=mathrm{ma}=mathrm{mv}² / mathrm{r} e ciò indipendentemente da qualsiasi particolare circa la sua applicazione al punto. La forza centrípeta può esser costituita dalla reazione del vincolo, come avviene p. es. per la pallina lanciata in una roulette, oppure può esser una forza direttamente applicata al punto, come la tensione di un filo teso fra il punto e il centro, oppure anche una forza di attrazione gravitazionale come quella esercitata dal Sole su di un pianeta (v. Gratitznick).
3. Forza centrípeta e forza centrifuga. - Già questo semplicissimo caso di moto circolare conduce a considerare importanti concetti che hanno ormai anche importanza nella vita ordinaria, e che quindi è necessario comprendere bene onde evitare facili equivoci. Si consideri ancora la pallina che si muove nella scannellatura circolare della roulette. Essa è continuamente assoggettata da questa a una forza centrípeta contro la quale reagisce con una forza uguale, ma di verso contrario, che applica ai suoi successivi punti di contatto con la scannellatura. Se per un istante questa sparisse, la pallina sfuggirebbe per la tangente, procedendo con moto rettilineo e uniforme, e, non subendo più alcuna forza, naturalmente non eserciterebbe più a sua volta alcuna reazione. Si supponga ora di porsi con una uguale pallina su di una piattaforma orizzontale rotante. Si osserverebbe subito che la pallina, come qualsiasi altro corpo materiale, sarebbe soggetta a una forza centrifuga, che tenderebbe ad allontanarla da quel centro a meno che non si trovasse proprio in esso, finché non incontrasse un appoggio al quale applicare la sua forza, subendone la conseguente reazione in senso contrario, e poter così rimanere fissa rispetto alla piattaforma. Codesta forza centrifuga che constata e subisce anche su sé stesso chi partecipi alla rotazione, è, per costui una forza reale, mentre la stessa forza non esiste affatto per chi non vi partecipi. In altri termini : un autoveicolo che, tentando una virata stretta, slitti sul terreno, a giudizio di chi si trova sul veicolo è slittato per effetto della sua forza centrifuga provocata dalla virata e non abbastanza compensata dall'attrito fra ruote e terreno; a giudizio di chi si trova sul terreno, il veicolo è slittato perché a vincere la sua naturale tendenza a proseguire per inerzia il suo moto rettilineo (I principio) non è risultata sufficiente la forza centrípeta automaticamente impressagli dall'attrito fra le
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sue ruote e il terreno. Ogni equivoco si può però evitare imponendosi la regola di non parlare e trattare di forze centrifughe se non ponendosi rigorosamente dal punto di vista di chi partecipi alla rotazione, e viceversa di non parlare e trattare di forze centripete se non dal punto di vista di chi non vi partecipi.
4. Teorema della conservazione della quantitá di moto e dell'impulso. - In base alla correlazione fra quantita di moto e impulso di forze dedotti precedentemente si può gungere ad altri teoremi di grande utilità. Sulle masse m_{1} mathrm{e} m_{2} agiscono per un tempo Δ t rispettivamente le forze esterne F_{1} e F_{2}. Applicando separatamente il teorema precedente e sommando si ha left(F_{1}+F_{2}right) Δ t=Δ left(m_{1} v_{1}+m_{2} v_{2}right), equazione che ci dice che la somma dell'impulso delle forze esterne è uguale alla variazione della quantita di moto delle masse. Mancando le forze esterne la variazione della quantita di moto sarà nulla, quindi la quantita di moto stessa dovrà esser costante. Ciò vale per quante si vogliano masse, per cui si puó affermare che la quantitá di moto di un sistema isolato non varia, o come sovente si dice si conserva. E questo il primo teorema o legge di conservazione che pone in rilievo una utile e generale legge dinamica senza dubbio virtualmente contenuta nei principi fondamentali, ma in una forma assai utile per le applicazioni. Quando agiscono forze esterne si ha naturalmente sempre il più generale teorema dell'impulso.
5. Lavoro e energia. - Una breve definizione di nozioni molto generali, anche quando ci appaiono abbastanza intuitive, è quasi sempre difficile. Per la nozione di lavoro Maxwell propose la seguente: lavoro è l'atto con cui viene realizzata una modificazione nella configurazione di un sistema contro le forze che a tale modificazione si appongono. Se si considera che per l'effettuazione di un lavoro sono quindi elementi necessari la modificazione del sistema, che in genere si ridurrà a uno o più spostamenti, e le forze che vi si oppongono, si comprenderà subito che la definizione consueta lavoro = Forza × Spostamento rientra come caso particolare nella più generale definizione maxwelliana, tenendo naturalmente conto che dello spostamento deve essere considerata solo la componente nella direzione della forza o viceversa la forza nella direzione dello spostamento. Tenendo presente che tanto la forza quanto lo spostamento sono grandezze vettoriali mentre il lavoro è una grandezza scalare, basterà considerare quel prodotto come il prodotto scalare della teoria dei vettori notoriamente equivalente al prodotto delle intensità della forza e dello spostamento per il coseno dell'angolo fra le loro direzioni: dot{mathrm{E}}=mathrm{F} . mathrm{s} . cos ( mathrm{F}_{1} mathrm{~A} ). Il cos left(mathrm{F}_{1} mathrm{~A}right) potendo assumere valori positivi o negativi a seconda delle direzioni di mathbf{F} e di s, può render positivo o negativo il valore di dot{mathrm{E}}; ma è facile rendersi conto che si due casi possono farsi corrispondere convenzionalmente le due nozioni piene di significato fisico e intuitive di lavoro motore e di lavoro resistente. Dalle dimensioni della forza e dello spostamento conseguono per il lavoro le dimensioni: Lavoro =|dot{mathrm{E}}|=|mathrm{LT}|^{-2} mathrm{M}|-|mathrm{L}|= mathrm{L}² mathrm{~T}^{-2} mathrm{M} ) che competono sempre, e in ogni campo della fisica, a tutte le energie, indipendentemente dalle particolari forme con cui si manifestano.
6. Lavoro di accelerazione. Forza viva. - Si consideri ora una forza F che agisca su una massa m che possa muoversi liberamente senza incontrare resistenze di attrito. Allora in ogni istan
