fasc. 1; E. Rolland, Le fondement psycholog. du probabil., in Nouv. rev. théol., 63 (1936), pp. 254 268, 337-54; U. Lopez, Thesis probabit. ex 1. Thoma demonstrato, in Per. de re mor., 25 (1936), pp. 38-52, 119-27; 36 (1937), pp. 17-33, 157-70; T. Deman, Probabilisme, in D'TAC, XIII, coll. 417-619; H. D. Noble, Le probabil., in Vie spirit., 30 (1937),
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pp. 194-211; A. Mcunier, Probabil. et formation de la conscience, in Rev. écol. de Liège, 31 (1939-40), pp. 350-57; L. Rodrigo, De relatione inter probabit. antiditimo statutuon in con. 13 CIC et probab. moralem, in Misc. de collaborazione cientifica... nel 50" anniversario della fondazione dell'Univers. di Comillas, Santander 1942, pp. 85-132; U. Lopez, Quo vertitur probabit., in Per. de re nov., 31 (1942), pp. 12-30; G. Oesterle, "Probabile - in Codice iuris comm., ibid., 34 (1943), pp. 5-51; E. Mc Carthy, De certitudine morali quae requiritur in indecis anima ad provantiationem sententiae, Roma 1948; L. Rodrigo, De quibusdam celebratis caddos probabilismo morali extraocit, referito ilocalogico-morali, in Miscellanea Comillas, 11-12 (1949), pp. 111-47; G. Mattei, Antonio Bismuthi e il p., Torino 1951. Sisinio da Romallo
II. Onoscologia. - Nella dottrina della conoscenza (v.) il p. indica la dottrina secondo la quale lo spirito umano non può raggiungere la certezza ( $v$.) ma soltanto l'opinione e la probabilità (v.). Il p. fu difeso da Arcesilao e Carneade (v. Arcasemia) i quali, polemizzando con gli stoici, sostennero che nessuna nostra rappresentazione è tale da portare in sé la garanzia della sua oggettività (in termini stoici : non esiste garanzia uxtaìzotruo), ma tutte le nostre conoscenze, sensibili e razionali, possono esser soggette ad errore (v.). L'atteggiamento più ragionevole sarebbe quindi quello di sospendere l'assenso ( $\operatorname{lo} \pi \alpha \dot{\eta}$ ); ma poiché la vita impone delle scelte, e queste suppongono delle opinioni, bisogna attenersi a ciò che fra le varie opinioni si presenta come il ragionevole ( $\varepsilon \dot{\omega} \boldsymbol{\alpha}^{\prime \prime} \omega \mathrm{v}$, secondo Arcesilao) o il probabile ( $\pi \iota \partial \alpha \nu \hat{\sigma} \nu$, secondo Carneade; cf. in bibl. Dal Pra, pp. 203-14).
Talora, p. es., con A. Cournot (1801-77), si intende per p. non tanto una teoria scettica o semiscettica, ma il riconoscimento del carattere limitato e approssimativo di ogni conoscenza umana.
Bibl.: sul p. della Nuova Accademia, M. Dal Pra, Lo scetticismo greco, Milano 1950. Su A. Cournot : F. Mentré, Cournot et la renaissance du probabilisme au XIX' siècle, Parigi 1908; E. Bréhier, Histoire de la philosophie, II, ivi 1932, pp. 986-92.
Sofia Vanni Revighi
PROBABILITÀ. - Nel senso oggi comune, è probabile un fatto che, pur non presentandosi come assolutamente certo, è tuttavia presumibile sia avvenuto o debba avvenire; e una proposizione non pienamente evidente ma che presenta buone ragioni per essere ammessa. P. è pertanto l'«ammissibilità» di un fatto o di una proposizione non del tutto certi, e insieme le ragioni oggettive che la fondano.
I. Terminologia. - P. (gr. $\pi \iota \vartheta \alpha \nu \dot{\tau} \tau \xi$ ) deriva da probatio che vale pravo, experimento, e anche approvazione, dimostrazione. Probabile è quindi nell'uso antico: a) ciò che si può ritenere, accettare, poiché suole accadere o è generalmente ammesso ("Probabile est id quod fere fieri solet, aut quod in opinione positum est»). Cic., Invent., I, 29, 46); b) ciò che è ragionevole, giusto, da approvarsi ("probabilis orator, cuius ingenium et eloquentia probari ac placere debet»: id., Brut., 76, 263 c); c) infine, ciò che è «verisimile» (cf. ted. Wahrscheinlichkeit), con o senza fondamento oggettivo ("multa quae nos fallunt probabilitate magna»; id., Acad., 4, 25,75; "ne cui falso assentiamus neve nunquam captiosa probabilitate fallamur»: De fin., 21, 72).
II. Cenni storici. - In Aristotele, probabili ( $\varepsilon \dot{v} \delta \delta \zeta \alpha$, $\pi \iota \partial \alpha v \alpha$, $\dot{\alpha} \mu \alpha \alpha \dot{\alpha} \dot{\alpha} \dot{\alpha} \dot{\alpha} \dot{\alpha} \dot{\alpha} \dot{\alpha}$ ) sono quelle cose "quae videntur omnibus aut pluribus aut sapientibus; et his vel omnibus vel plurimis vel maxime nobilibus et probatis" (Top., I, cap. 1, 100 b 21 sgg.; cf. cap. 10 [8] 104 a 6 sgg.). "Ciò che è probabile, o è probabile e credibile per sé (per ragioni intrinseche) o tale si dimostra per altri motivi» (Rhet., I, cap. 2, 1356 b 26 sgg.). Ma "non tutto ciò che sembra probabile è anche probabile" (Top., I, cap. 1, 100 b 26). La p. genera l'opinione ( $865 \alpha$ ) che "concerne il vero e il falso [ossia è affermazione], ma di una cosa che può anche essere - e si ammette che possa essere - altrimenti" (Anal. post., I, cap. 33, 89 a 2-3). Di conseguenza, non è possibile avere insieme di uno stesso oggetto "scienza" e "opinione": "simul enim
haberet quis notitiam quod aliter et non aliter sese habere contingat unum et idem " (ibid., 38 sgg.). S. Tommaso oppone la "probabilitas" alla "probatio demonstrativa" (Sum. Theol., 10, 200, a. 2 ad 8). La p. è un grado della conoscenza umana, inferiore alla certezza: essa comporta "opinione", cioè vera adesione e assenso a una determinata proposizione, ma con timore che possa esser vera la proposizione opposta: "Per huiusmodi processum (rationis) quandoque... fit fides vel opinio vel probabilitas, propter probabilitatem propositionum ex quibus proceditur, quia ratio totaliter [quest'ultimo termine in altri testi è esplicitamente abbandonato da s. Tommaso : cf. De verit., q. 14, a. 1, c.] inclinat in unam partem propositionis, licet cum formidine alterius" (In Post. anal., I, lect. $1^{0}$ ). Nell'opinione quindi, pur dandosi assenso, esso non è definitivo: "non terminatur intellectus ad unum, quia semper remanet metus in contrarium" (In III Sent., dist. 23, q. 2, a. 2, sol. 1; cf. Sum. Theol., 10, q. 79, a. 9 ad $4 ; 1^{2}-2^{20}$, q. 67, a. 3, c.). Il Locke (v.) definisce la p. "apparenza di una concordanza o discordanza fra due idee", fondata su prove "il cui legame non è costante e immutabile, o, per lo meno, non è percepito come tale, ma è o appare tale per lo più, ed è sufficiente a indurre lo spirito a giudicare che la proposizione è vera o falsa, piuttosto che non il contrario" (Essay, IV, cap. 15, § 1). Analoga definizione in Leibniz: "Se la dimostrazione fa vedere il legame delle idee, la p. non è altro che l'apparenza di questo legame, fondata su prove nelle quali non si vede connessione immutabile" (Nouv. ess., IV, cap. 15 § i). In Hume la p. ha valore puramente empirico : essa nasce dal maggior numero di casi che l'esperienza presenta (o permette di attendersi) per un evento piuttosto che per un altro; e tale superiorità di casi è anche la misura della nostra persuasione e opinione (belief and opinion) : ove si tratti di una causa del tutto costante (entirely uniform and constant in producing a particular effect), la nostra persuasione raggiunge la massima sicurezza (the greatest assurance) : essa esclude il dubbio dell'opposto, ma poiché deriva unicamente dall'esperienza non è certezza apodittica o "dimostrata" (Enquirer concerning hum. undervi., sez. 60; ed. Selby-Bigge, p. 56 sgg.). Per Kant "opinione è una credenza insufficiente tanto soggettivamente quanto oggettivamente ". Mentre "nei giudizi derivanti dalla ragion pura - p. es., nelle matematiche - non è permesso opinare..., nell'uso trascendentale della ragione, l'opinione è troppo poco, la scienza è troppo" : di Dio e della vita futura si possiede invece una "fede morale", cioè una persuasione che non è "certezza logica", ma "certezza morale", in quanto riposa su "fondamenti soggettivi" ossia sul sentimento morale (Kritik d. rein. Vernunft. Dottrina trascend. del metodo, cap. 2, sez. $3^{\text {a }}$; trad. it., II, Bari 1941, p. 611 sgg.). Il fideismo kantiano ha alimentato nel pensiero posteriore non pochi indirizzi che, riportando al "sentimento" o alla "fede" le proposizioni di ordine metafisico-religioso, debbono logicamente riconoscere alle medesime puro valore di p. Fuori del suo significato filosofico la p. veniva accuratamente studiata dal punto di vista matematico-scientifico con i lavori del Laplace (Théorie analytique des probabilités, Parigi 1812; Essai philosophique sur les probabilités, ivi 1814), del Cournot (Exposition de la théorie des chances et des probabilités, ivi 1843), del Poincaré (La science et l'hypothèse, ivi 1902), e di numerosi altri (Milhaud, von Mises, Keynes, Reichenbach). Le recenti teorie scientifiche (indeterminismo, relatività : Boutroux, Einstein, neopositivismo; v. a queste voci), partendo da vari ordini di considerazioni e dal fatto che in una serie di misure scientifiche più volte eseguite ogni risultato si presenta leggermente diverso dall'altro, ritengono che le proposizioni scientifiche, per le diversità di circostanze e di osservazione in cui vengono formulate, hanno soltanto un valore più o meno grande di p.; della quale il "vero" e il "falso", nel campo scientifico, rappresentano solo i casi limiti. Tali conclusioni sono fatte valere particolarmente per i fenomeni del mondo infratomico le cui leggi si ritengono avere puro valore statistico.
III. Distinzioni e GRADI della p. - a) Va innanzitutto distinta la p. matematica da quella filosofica: la
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prima si fonda sul solo rapporto numerico dei casi statisticamente probabili (p. es., se in un'urna sono mescolate 50 palline bianche e 50 nere, la p. matematica che venga estratta una pallina bianca è esattamente del $50 \%$; v. PROBABILITÀ, calcolo delle). La p. filosofica è invece fondata sulle ragioni positive - di ordine non solo numerico-statistico ma anche qualitativo - che convalidano un fatto o una proposizione. Tali ragioni non sono assenti nella p. matematica (che venga estratta una pallina bianca nella proporzione del $50 \%$ dei casi dipende da una molteplicità di cause oggettive), ma nel valutarla non se ne tien conto anche perché esse sono difficilmente analizzabili. b) P. empirica e p. razionale: la prima si fonda su fatti di esperienza e sulla loro frequenza ( $<$ teoria della frequenza $>$ ), l'altra concerne l'anmissibilità di proposizioni teoretiche (metafisico-morali, ecc.) non evidenti e tuttavia convalidate da solidi argomenti che permettono un assenso prudente. d) In rapporto ai motivi, la p. è intrinseca se si fonda su ragioni inerenti all'oggetto stesso - fatto o proposizione probabile -; estrinseca, se fondata unicamente sull'autorità (p. es., la p. inerente a una dottrina perché difesa da autori competenti - cf. la già citata definizione aristotelica). E chiaro che la p. estrinseca implica quella intrinseca, poiché non si crede all'autorità se non in quanto si suppone che le autorità stessa si fondi su ragioni positivointrinseche (di qui la norma che l'autorità non va valutata quantitativamente ma qualitativamente, in relazione alla sua provata competenza). e) La p. è oggettiva o soggettiva secondo che i motivi su cui si fonda sono considerati nel loro valore reale-oggettivo o in quello che assumono nel soggetto, in rapporto alle condizioni individuali della conoscenza. Ma occorre notare che in qualche misura l'elemento soggettivo interviene sempre nella valutazione della p.f) La p. è assoluta o relativa secondo che concerne l'anmissibilità di un fatto o proposizione considerati in se stessi, o in relazione a fatti e proposizioni opposte, anch'essi probabili.
I gradi della p. si commisurano alla solidità dei motivi che la fondano e sono riferiti tanto alla p. intrinseca che a quella estrinseca. La dottrina morale ha classificato tali gradi in divisioni di facile intuizione: una proposizione può essere via probabilis, tenuiter (leviter) probabilis (in questi casi non sembrerebbe, a rigore, doversi parlare di vera e propria «p. n), minus probabilis, probabilis, valde probabilis, probabilior (simpliciter, notabiliter, valde), probabilissima; e ancora : certe, dubie probabilis (probabilior). In rapporto all'azione morale va rilevata la distinzione della p. in speculativa (teoretica) e pratica: quest'ultima concerne la validità di un'opinione ad essere assunta come norma dell'azione: non sempre la p. pratica consegue quella speculativa, in quanto opinioni teoreticamente probabili non possono talora, per motivi contingenti, essere seguite nella prassi. La dottrina morale distingue ancora l'opinione probabile in minus tuta, tuta, tutior: tale distinzione concerne la sicurezza di un'opinione in rapporto alla salvaguardia di una legge o alla esclusione di un pericolo sia materiale che morale. E chiaro che l'opinione "tutior " può essere, teoreticamente, meno probabile della «minus tuta».
IV. SIGNIFICATO TEORETICO-PRATICO DELLA P. - La p. ha una parte rilevante nella conoscenza umana. Il suo largo dominio nella filosofia, nelle scienze naturali e in quelle morali è dovuto, da una parte, alla multiforme contingenza della natura e del divenire, dall'altra all'imperfezione del pensiero umano. Tuttavia, la p. el'opinione, mentre rappresentano i limiti della certezza, nella dialettica generale del sapere segnano insieme sovente la via per pervenirvi (cf. le «ipotesi» nel campo scientifico). Dal punto di vista psicologico-gnoseologico va rilevato il carattere insieme oggettivo-soggettivo della p. La p. cioè, mentre si fonda sulle condizioni e ragioni inerenti agli oggetti di conoscenza, ossia è in funzione della costituzione ent-tologico-operativa dell'essere, esprime insieme l'inadeguatezza del conoscere umano. Ciò vale innanzitutto nell'ordine teoretico dove "opinione" o "sentenza probabile" non indicano se non il grado imperfetto della conoscenza di un problema; ma anche nell'ordine empirico dove molti eventi "probabili * sono in se stessi necessari e determinati nelle
cause, e pertanto vengono detti "probabili "solo per rapporto all'incertezza della nostra conoscenza. Può quindi essere accolta l'affermazione del Bradley: la p. non è né semplicemente soggettiva né semplicemente oggettiva: "neither simply subjective, nor yes simply objective" (The principles of logic, I, cap. 7, rist., Oxford 1950, p. 224).
Quanto alla natura psicologica dell'opinione, com'è stato sopra indicato, essa comporta vero assenso, ma non definitivo perché unito alla consapevolezza della possibilità dell'errore (la «formido alterius» delle formule tradizionali). L'assenzo opinativo pertanto, sebbene sia giustamente contrapposto al dubbio (v.), inteso come sospensione di adesione e di assenso, tuttavia per altra parte implica in se stesso un elemento di dubbio, in quanto è assenso coscientemente non definitivo né assoluto. Ove mancasse la coscienza della possibilità dell'errore, non si avrebbe opinione ma assenso psicologicamente certo, anche se oggettivamente infondato.
Per quanto concerne il mutuo rapporto di due opposte opinioni probabili, va tenuto presente il principio generale che le p. di per sé non si elidono, particolarmente quando si fondano su motivi e ragioni di ordine eterogeneo. La maggior p. di un'opinione non distrugge quindi, per sé, la p. dell'opinione opposta, quando questa sia fondata su solidi motivi; e, viceversa, la sicura p. di un'opinione preclude la certezza dell'opinione contraria. Il principio, applicato a un'opinione probabile opposta alla legge, è fatto valere particolarmente dal sistema morale del probabilismo (v.).
Come norma dell'azione, data la socialità del sapere umano, per quanti non sono in grado di un proprio valido giudizio sui problemi morali, è sufficiente la p. estrinseca. La dottrina comune riconosce il valore pratico normativo di un'opinione, quando essa sia tenuta da "gravi» autori veramente competenti, né contraddetta da altri di eguale valore; o anche, talora, quant'essa sia difesa da un autore solo, di eccezionale significato, ove non intervengano decisive ragioni in contrario.
Osserva a. Tommaso: in negotia humanis non potest haberi demonstrativa probatio et infallibilis, sed sufficit coniecturalis probabilitas" (Sum. Theol., $1^{0}-2^{00}$, q. 105, a. 2, ad 8). Effettivamente, per le molteplici circostanze contingenti nelle quali si esplica l'attività umana, una certezza teoretica regolativa dei nostri atti è sovente impossibile, ed è pertanto nel campo praticomorale che la p. rivela la sua funzione insostituibile come direttiva della conoscenza e dell'azione.
Bibl.: P. Geny, Critica, $3^{a}$ ed., Roma 1932, pp. 154-62; A. Gardell, La certitude probable, in Rev. des sciences philos. et théolog., I (1911), pp. 237 sgg., 44 I sgg.; P. Richard, Le probabilisme morale et la philosophie, Parigi 1922; R. v. Mises, Wahrscheinlichkeit, Statistik u. Wahrheit, Vienna 1928; M. M. Gore, Le sens du mot "probable" et les origines du probabilisme, in Rev. des sciences relig., 1930, pp. 460-66; T. Deman, Sur le mot "probabilis "au moyen âge, in Rev. des sciences philos. et théolog., 22 (1933), pp. 260-90; H. Reichenbach, Wahrscheinlichkeitstchre, Leida 1935; C. Wortmann, The scholastic doctrine of the elision of probability, Roma 1936; A. Meunier, Dubism, opinio, probabile, in Rev. ecclés. de Liège, 31 (1939-40), pp. 300-304; L. Forand, Le raisonnement fondé sur les probabilités. Essais d'analyse épistémologique, in Rev. de métaphysique et de morale, 53 (1948), pp. 133-38; P. S. Laplace, Staglio filosofico sulla p., trad. it., Bari 1951 (bibl. sulla p. in senso scientifico, pp. 31-37).
Ugo Viglino
PROBABILITÀ, CALCOLO DELLE. - Scienza che si occupa, sia dal punto di vista teorico che da quello pratico, dello studio degli eventi causali o aleatori, cioè di quei fenomeni fisici il cui verificarsi oppur no si attribuisce all'intervento del "caso" (v. pure matematica, xili). Trova applicazioni nella statistica matematica, nella fisica, nella matematica attuariale, ecc.
Il c. d. p. ha avuto origine dallo studio dei giuochi d'azzardo (di uno, quello della zara, si parla anche nella Divina Commedia, Purg., c. VI, vv. 1-9) che hanno fornito i primi esempi di schemi probabilistici : ad es., lo schema di un'urna, contenente un dato numero di palline, tutte praticamente eguali tra loro, numerate da 1 a s, di cui
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b bianche (quelle portanti i numeri $1 \ldots . . \mathrm{b} ; \mathrm{b}<\mathrm{s}$ ) e le altre nere; quando si estragga a a caso s una pallina dall'urna, cioè quando, dopo aver mescolato le palline nell'urna, se ne estragga una qualsiasi, senza esaminarla prima dell'estrazione, ci si trova di fronte a diversi e eventi casuali e; che la pallina estratta sia bianca; che la pallina estratta sia nera; che la pallina estratta porti il numero 1; che la pallina estratta porti un numero pari, ecc. Analogamente, quando si eseguano due estrazioni, precisando se la seconda estrazione avviene dopo aver riposto oppure no nell'urna la pallina estratta per prima, e si consideri l'insieme delle due estrazioni come un'unica prova, ci si trova di fronte ad altri eventi casuali : le due palline siano ambedue bianche; la seconda sia nera; ecc.
Due eventi vengono detti incompatibili quando non possono verificarsi ambedue nella medesima prova (estraendo una pallina, l'evento che risulti bianca e l'evento che risulti nera sono incompatibili), compatibili in caso contrario (estraendo due palline; l'evento che la prima risulti bianca e la seconda nera sono compatibili).
Ora, con riferimento agli eventi casuali di uno schema probabilistico, non si può per ciascuno di essi prevedere, prima di effettuare una prova, se esso si verificherà oppure no. Si può giudicare, però, della maggiore o minore facilità che esso ha di verificarsi in una prova. Una valutazione di tale facilità, ricavata sperimentalmente, è data dalla frequenza relativa, con cui l'evento si è già verificato in un certo gruppo di n prove, cioè dal rapporto $x_{i} / n$ tra il numero $v_{i}$, delle volte che l'evento considerato si è verificato e il numero n delle prove effettuate, tutte nelle medesime condizioni. L'esperienza mostra che, quando si proceda a vari gruppi di prove, le frequenze relative di ciascuno degli eventi casuali che si possono considerare, p. es., dell'evento che la pallina estratta in una prova sia bianca, risultano pressappoco eguali tra loro, quando il numero delle prove è grande, e nell'esempio indicato pressappoco eguali al rapporto b/s tra il numero delle palline bianche e il numero complessivo delle palline dell'urna. Chiamando, per quest'esempio, casi possibili gli eventi, incompatibili tra loro, costituiti dall'estrazione, in una prova, di una pallina portante rispettivamente il numero 1,2,.... s, l'esperienza mostra pure che essi si presentano, in un grande numero di prove, con frequenze relative presso a poco eguali tra loro, e percio pressappoco eguali a c/s; pertanto essi vengono detti casi ugualmente possibili o ugualmente probabili : tale affermazione, in questo e in altri schemi, può essere fatta pure soggettivamente, ma con l'unanime consenso, in base all'esame delle condizioni, senza ricorrere alle osservazioni. Ne segue che si puó effettuare una valutazione a priori della facilità di verificarsi in una prova dell'evento considerato, fornita dal rapporto b/s, tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi (ugualmente) possibili e che tale valutazione a priori, detta probabilità dell'evento, è una previsione pratica della valutazione a posteriori fornita dalla frequenza relativa in un grande numero di prove.
Queste considerazioni si riferiscono anche ad altri schemi probabilistici (ad es., un dado, regolare, il cui centro di gravità coincida con il centro geometrico, che viene lanciato per osservare il numero che risulta sulla faccia superiore, ecc.) nei quali si riconosce l'intervento del «caso», che si afferma come dovuto alla presenza di un grande numero di cause che agiscono sul fenomeno, cause che non è possibile considerare tutte, sia per il loro numero, sia perché in parte mal determinate; o "dovuto ancora al fatto che insensibili differenze sulla situazione iniziale possono condurre a forti variazioni nel risultato finale, per cui non è prevedibile il risultato in base alla conoscenza imperfetta che si ha della situazione iniziale. Le considerazioni precedenti si estendono a schemi consideranti una infinità continua di casi possibili (ad es., lo schema di un ago, che ruota intorno al proprio centro, del quale si consideri la posizione che puó assumere, dopo aver effettuato un grande numero di giri, in seguito ad una spinta) : e la costanza delle frequenze di un dato evento si riconosce anche quando i casi non sono ugualmente possibili (ad es., l'evento che risulti «testa» lan-
ciando una moneta "gobba" su un piano, sotto certe cautele atte a garantire che le prove si svolgano "nelle medesime condizioni ").
Pertanto, con riferimento agli schemi detti, e sempre da un punto di vista sperimentale, si può affermare : la probabilità di un evento casuale di una data prova è una costante, compresa tra zero e 1 , atta a prevedere la frequenza relativa dell'evento in un gran numero di prove, effettuate tutte nelle medesime condizioni. Quando si riconosca la presenza di un numero finito di casi ugualmente possibili, alcuni dei quali favorevoli all'evento, la probabilità dell'evento è fornita dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli ad esso e il numero dei casi possibili; questa definizione si estende opportunamente ai casi continui. L'approssimazione, della frequenza relativa, alla probabilità, di solito è tanto più forte quanto maggiore è il numero delle prove. Questa affermazione, suggerita dall'esperienza, costituisce il noto postulato empirico del caso.
Se è possibile che un dato evento si verifichi in una prova, la sua probabilità è nulla; se è certo, la sua probabilità è uguale all'unità. La probabilità che, lanciando "a caso" una moneta regolare, risulti "testa" è r/2. Pertanto, se, lanciando una moneta un grande numero di volte, si trova che la frequenza relativa dell'evento "testa" differisce notevolmente da r/2, si può affermare, e ciò sempre con maggiore certezza se il fatto seguita a verificarsi aumentando il numero delle prove, che la moneta non è regolare, oppure i lanci non sono eseguiti in modo regolare.
Qual'è la probabilità che, nel giuoco del lotto, in una estrazione su una ruota, risulti un determinato ambo? Il numero delle possibili cinquine che possono essere estratte dall'urna (contenente 90 palline da 1 a 90 ) che rappresentano i casi (ugualmente) possibili, è di $90 \times 89 \times 88 \times 87 \times 86 ; \quad(1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 3)=$ 43.049.268, mentre il numero dei casi favorevoli è dato dal numero delle cinquine contenenti l'ambo dato, cioè dal numero dei possibili terni che si possono fare con gli altri 88 numeri, ossia da $88 \times 87 \times 86:(1 \times 2 \times 3)=$ 109.736; perciò la probabilità di un ambo è uguale al quoziente tra il secondo e il primo numero, cioè 11300,3. La probabilità di un terno è $1 / 11.748$ e quella di un quaterno è $1 / 511.038$.
La probabilità degli eventi appartenenti a un medesimo schema probabilistico sono legate dai due principi delle probabilità totali e delle probabilità composte. Il primo afferma che, quando due o più eventi sono incompatibili, la probabilità dell'evento, detto a somma logica ${ }^{3}$ degli eventi dati, consistente nel verificarsi di uno qualsiasi degli eventi dati, è eguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Il secondo afferma che, dati due o più eventi compatibili, la probabilità del loro prodotto logico, cioè dell'evento consistente nel verificarsi in una prova di tutti gli eventi considerati, è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi, ciascuna determinata nell'ipotesi che i precedenti eventi si siano verificati; in particolare, se, con riferimento a un certo ordinamento degli eventi, ciascuno di essi è indipendente dal prodotto logico degli eventi precedenti, cioè se la sua probabilità che si verifichino tutti gli eventi considerati è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi. I due principi delle probabilità totali e composte, con riferimento agli schemi indicati, risultano controllati sperimentalmente.
Da un punto di vista astratto, uno schema probabilistico è costituito da un insieme di enti, denominati eventi, tra i quali sono definite le relazioni di incompatibilità e compatibilità, e a ciascuno dei quali corrisponde un numero, compreso tra zero e uno, detto probabilità dell'evento; le probabilità dei vari eventi sono legate tra loro dai principi delle probabilità totali e composte, i quali, quando sono ammessi per una infinità numerabile di eventi, sono denominati principi estesi. Sotto questo aspetto teorico, il c. d. p. costituisce un ramo della matematica. Il legame tra questa teoria astratta e gli schemi realistici che si possono considerare è fondato sul postulato empirico del caso : tutte le volte che un insieme di eventi astratti si faccia corrispondere a un insieme di eventi
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casuali, soddisfacendo le probabilità al postulato empirico del caso, allora, determinando, in base ai due indicati principi, la probabilità di un qualsiasi evento, dedotto dagli eventi considerati inizialmente, mediante le operazioni di somma o di prodotto logici, detta probabilità ha pur essa un significato fisico, cioè rappresenta una previsione della frequenza relativa con cui si verificherà l'evento stesso. La valutazione della probabilità mediante il rapporto del numero dei casi favorevoli al numero dei casi possibili, quando questi si riconoscono ugualmente possibili in base a un grande numero di prove, tutte nelle medesime condizioni, si dirà oggettiva in quanto vi è l'unanime consenso; anche per altri eventi che pur si presentano nella realtà (evento che un determinato cavallo vinca una corsa; evento che un dato partito raggiunga la maggioranza nelle elezioni) si parla praticamente di probabilità ma in tal caso le valutazioni della probabilità vengono dette "soggettive" per distinguerle dai casi precedenti, in quanto persone diverse, in base alla diversa conoscenza del fenomeno e anche in base alle caratteristiche diverse della natura umana, sono portate a valutare in modo diverso detta probabilità, e non è in alcun modo possibile il controllo sperimentale di queste valutazioni attraverso un grande numero di prove nelle medesime condizioni. Anche in questi casi è applicabile il c. d. p., ma si tratta solo di una norma di condotta per la necessaria coerenza tra le valutazioni soggettive delle probabilità di dati eventi e quelle di eventi dedotti dai precedenti in base a operazioni di somma e prodotto logici.
Nel c. d. p. occupa un posto preminente lo studio delle variabili aleatorie o casuali, cioè di quelle grandezze collegate a un sistema di eventi casuali incompatibili tra loro e tali che certamente si verifichi in una prova uno di essi, in modo che il valore che ciascuna di esse assume in una prova dipende dall'evento che si verifica nella prova. Il valore medio di una variabile casuale, i cui valori possibili siano in numero finito, è la somma dei prodotti dei valori che essa può assumere, per le rispettive probabilità; il concetto si estende a variabili casuali generali. Il valor medio è una previsione della media antimetica dei valori che la variabile casuale assumerà in un grande numero di prove. Lo scarto di una variabile casuale dal suo valore medio è la differenza tra i valori che essa può assumere e il suo valore medio; lo scarto ha valore medio nullo. Esempi di variabili casuali sono forniti dai giuochi d'azzardo: il guadagno (positivo o negativo) che un giocatore può realizzare in una partita è rappresentato da una variabile casuale; il suo valore medio viene chiamato speranza matematica e rappresenta pertanto una previsione del guadagno medio a partita che il giocatore realizzerà in un grande numero di partite, tutte nelle medesime condizioni. Ne segue che un gioco è equo se la speranza matematica è nulla.
Ad es., chi giuoca al lotto un ambo riscuote, in caso di vincita, 250 volte la posta; percio il guadagno, positivo o negativo, che il banco può realizzare per ogni lira giuocata su un determinato ambo è una variabile casuale che può assumere uno dei valori, in lire, 1 , oppure - 249, a seconda che l'ambo non esca oppure esca, eventi incompatibili di probabilità rispettivamente $399,5 / 400,5$; $1 / 400,5$. Pertanto la speranza matematica del banco è di L. $(1 \times 399,5 / 400,5-249 \times 1 / 400,5)=$ L. 0,376 : cioè il banco in media vince ca. 38 centesimi per ogni lira giuocata sugli ambi, e ancora di più per tersi o quaterni. Per giustificare questo fatto bisogna tener presenti le spese del banco nonché la necessità di un caricamento per coprire gli eventuali scarti sfavorevoli.
Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata del valor medio del quadrato dello scarto; esso è un indice atto a giudicare il più o meno grande addensamento, intorno al valor medio, dei valori che la variabile casuale assumerà nelle prove che si effettuano.
Le ordinarie operazioni dell'analisi si possono estendere a variabili casuali più generali; in particolare, si considera la somma e il prodotto di due o più variabili casuali appartenenti a un medesimo schema probabilistico. Il valor medio della somma di due o più variabili casuali,
indipendenti o dipendenti, è uguale alla somma dei valori medi delle singole variabili casuali (Cantelli, 1911); il valor medio del loro prodotto è uguale al prodotto dei singoli valori medi purché, ad es., ciascuna sia indipendente dal prodotto delle variabili casuali precedenti.
Tra i vari teoremi del c. d. p., oltre a quello di Bernoulli (v. matematica, XIII) che, con la sua generalizzazione alle variabili casuali (Tchebycheff, 1867) viene denominato "Legge dei grandi numeri ", è fondamentale la legge uniforme dei grandi numeri (Cantelli, 1917) la quale, nel caso particolare dello schema di Bernoulli di un evento di probabilità costante in ogni prova afferma che, con probabilità prossima ad uno quanto si voglia, le successive frequenze relative dell'evento, in una successione illimitata di prove, tendono, nel senso dell'analisi, verso la probabilità dell'evento; essa permette, pertanto, di precisare il significato del postulato empirico del caso. Un altro famoso teorema, di Bayes (1764), sulla probabilità delle cause, ha trovato applicazioni nella ricerca di un giudizio sulla probabilità incognita di un evento di cui si conosca la frequenza. Le critiche su queste applicazioni hanno sviluppato importanti campi della statistica matematica, riguardanti sia la teoria della dispersione sia dello studio dei campioni. La prima, applicata allo studio della mortalità umana, permette di affermare che il fenomeno della mortalità tra individui aventi requisiti di omogeneità (medesima età, medesima categoria sociale, tutti in condizioni iniziali di salute buone, ecc.) si comporta, sia pure con le dovute approssimazioni, come un evento casuale di probabilità costante in ogni prova. Pertanto si può parlare, formalmente, di probabilità di morte e si può applicare il c. d. p., sempre da un punto di vista normale, ai problemi di statistica e di matematica attuariale. Altre applicazioni del c. d. p. riguardano la teoria degli "errori di osservazione", i quali, in generale, quando le misure sono a una dimensione, si distribuiscono secondo la legge di Gauss (v. matematica, XIII) mentre gli errori a due dimensioni si distribuiscono secondo la legge di Bravais (1847): rientra in questo argomento lo studio della dispersione dei tiri di artiglieria contro un bersaglio. Altre fondamentali applicazioni del c. d. p. riguardano la teorìa dei gas, la meccanica ondulatoria, ecc.
Bias.: G. Castelnuovo, C. d. p., Bologna 1919 e succ. edd.; F. P. Cantelli, Considérations sur la cancergence dans le calcul des probabilités, in Annales de l'Institut H. Poincaré, Parigi 1935; H. Cramer, Mathematical methods of statistics, Princeton Univ. Press. 1946.
Giuseppe Ottavioni.
PROBANDATO. - Per p. s'intende quel periodo di tempo che l'aspirante alla vita religiosa premette al postulato (v.) o al noviziato (v.), quando il postulato non è prescritto (can. 539 § 1). Tale periodo viene chiamato anche : aspirandato, scuola apostolica, collegio serafico, piccolo noviziato, giuniorato, piccolo seminario, educandato ecc.
Il p. si connette con l'uso già antico di alcune Religioni di ricevere l'aspirante innanzi tutto come ospite, allo scopo di conoscere almeno sommariamente le attitudini alla vita religiosa, prima di introdurlo in seno alla comunità. Particolarmente dalle Religioni clericali e poi dalle Congregazioni maschili insegnanti, con piena approvazione della S. Sede, a partire dal secolo scorso, il p. è stato sviluppato come istituzione per preparare religiosamente e intellettualmente gli aspiranti che non hanno ancora l'età e le altre condizioni richieste per l'ingresso nel postulato e nel noviziato e nello stesso tempo per assicurarsi buone vocazioni tra i fanciulli, così come fanno le diocesi con i seminari minori. In questi ultimi tempi anche Religioni di donne l'hanno introdotto e sviluppato con la funzione sopra descritta.
Il p. deve considerarsi come opera propria della Religione (can. $497 \S \S 2-4 ; 599$ § 2) e, secondo i casi, come scuola interna di una Religione, a norma del can. 587, della stessa natura dei seminari. Naturalmente non è richiesto per la validità del noviziato e delle susseguenti professioni e non ha limiti di tempo preferiti. I probandi e le probande non hanno obbligo formale di osservare
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Costituzioni e Regola della Religione, tuttavia è ovvio che come preparazione alla vita che dovranno fare, se persevereranno, in futuro, vi si preparino prendendone conoscenza e gradatamente praticandole.
BibL.: Agatangelo da Langasco, De institut. clericorum in disciplina infernoribus, Roma 1931.
Elio Gambari
PROBATICA. - Porta "delle pecore" ( $\pi \rho \circ-$ $\beta \alpha \tau \iota \epsilon \eta)$, a Gerusalemme. Una tradizione antica, orientale e occidentale, ha identificato, sulla base di alcuni codici greci e della Volgata ("est autem Jerosolymis p. piscina quae cognominatur hebraico Bethsaida": Io. 5, 1), la P. con la piscina dove Gesù guari il paralitico da 38 anni. L'originale testo greco situa invece la piscina Bethsaida (v.) "presso la [porta] P." ( $=$ èni $\pi \tilde{\eta} \pi \rho \circ \beta \alpha \tau \iota \epsilon \tilde{\eta})$. Gli esegeti sup. pliscono di solito, nel testo greco, il sostantivo "porta $=\pi \tilde{\omega} \pi_{0}$ e cioè "presso [la porta] P." o "delle pecore" nominata da Neh. 3, 1. 21; 12, 8, posta all'angolo nord-est delle mura del Tempio e proprio di fronte alla piscina Bethsaida.
Pochi supplicono $\pi \circ \lambda \alpha \mu \beta \dot{\eta} \delta \rho \alpha$ "piscina "ottenendo il senso: "presso [la piscina] P. vi è un'altra piscina...". In questa ipotesi la P. sarebbe Birket Isrā̄ill, la grande piscina posta pure a nord del Tempio o del muro settentrionale del Haram sā-Šecif. lunga 109,73 m., larga 38,4 e profonda 25 (oggi riempita ad eccezione dell'angolo nord-ovest). La piscina, che è di fronte a quella del paralitico, serviva per il lavaggio delle pecore che venivano offerte al Tempio. Gli archeologi non si accordano però sull'origine di essa, non essendo menzionata da Flavio Giuseppe nella storia dell'assedio della città. Generalmente viene preferita la lezione "presso la porta P.".
BibL.: D. Baldi, Enchiridion Locorum Sanctorum, Gerusalemme 1935, p. 272; N. van der Vliet, Ste Marie où elle est née et la Pisine Probatique, ivi 1938.
Donato Baldi
PROBINO, senatore romano. - Console nel 489, fu insieme con Festo (v.) a capo dell'opposizione contro il papa Simmaco. Ebbe elogi da Ennodio di Pavia (Opusc., VI: PL 63, 254), ma il suo operato contro Simmaco obbliga a molte riserve. Ignoto è l'anno della sua morte.
BibL.: v. Festo.
Agostino Amore
PROBLEMATICISMO. - "Problematica" di. cesi in genere ogni "filosofia critica" ovvero ogni metodo che intende iniziare il filosofare con l'esame della sua stessa "possibilità" (critica del conoscere, fenomenologia); nell'antichità è esempio di p. il "Libro delle aporie» di Aristotele (Met., III) e ai nostri giorni la filosofia di N. Hartmann (cf. Grundzüge einer Metaphysik der Erkenntnis, $3^{2}$ ed., Berlino 1938).
Invece p. ha un senso preciso nell'opera di U. Spirito. Nella tensione di realismo-idealismo che attraversa lo sviluppo di tutto il pensiero moderno si è rivelata la più flagrante contraddizione in quanto il punto culminante dell'antintellettualismo si converte nel punto culminante dell'intellettualismo (v.), quando, p. es., lo storicismo idealista rende oggetto di contemplazione lo stesso soggetto chiudendosi in un circolo vizioso. Cosi il criticismo (v.) con il fallimento dell'idealismo (v.) moderno giunge ad affermarsi come p. secondo il quale l'unica cosa che consti fin da principio è il problema stesso la cui legittimità è nell'insopprimibile aspirazione di raggiungere l'ideale scientifico e la cui consistenza è nella situazione in cui il p. si pone, in quanto, pur cercando di uscirne, non avverte ancora di esserne definitivamente uscito. Così il p. tocca il fondo del criticismo e sfugge all'istanza dello scetticismo (v.) senza porsi come dogmatismo (v.) né dell'oggetto (v.) né del soggetto (U. Spirito, Il p., Firenze 1948, p. 45 sg.). Soltanto il credente, mediante il "salto" della sua fede, potrebbe "risolvere" e chiudere il problema della verità, perché il credente attinge nella Rivelazione fatta da Dio ai credenti un contenuto e un criterio
che trascende la finitezza (op. cit., p. 82 sgg.). La posizione del p. non sembra distante da ciò che Heidegger chiama l'«apertura nell'essere», all'istanza primordiale di chiedere, prima dell'ente e di ogni sintesi (materia e forma, essenza ed esistenza, oggetto e soggetto), cos'è l'essere stesso, il lume che illumina la scena in cui emerge l'ente. In questo senso il p. può assumere una positività originaria senza essere sistema.
BibL.: G. Bontadini, Dall'attualismo al p., Brescia 1946: E. Severino, Note sui p. italiano, Brescia 1950, specialmente p. 154 sgg. Cornelio Fabro
PROBO, Marco Aurelio (M. Aurelius Probus), imperatore nomano. - N. a Sirmio il 19 ag. 232, m. ivi nel sett. 282. Fece rapida e brillante carriera nella milizia e fu colmato di onori dagli imperatori.
Nel 276, dopo la morte di Tacito, fu eletto imperatore dalle legioni dell'Asia, e dopo la morte del competitore Floriano fu riconosciuto dai soldati di Tracia, ed anche dal Senato. Si adoperò subito a respingere i barbari e con vittoriose campagne dal 277 al 279 batté Galli, Lici, Franchi, Burgundi, Vandali, Sarmati, Goti ed Isaurici. Nel 280 dovette combattere contro gli usurpatori Saturnino in Egitto e Procolo e Bonoso in Gallia. Ritornato a Roma diede inizio ad una vasta attività di opere pubbliche ricostruendo le città devastate dalla guerra e favorendo lo sviluppo dell'agricoltura. Suo principale obbiettivo era quello di battere i Persiani; mentre preparava la spedizione fu ucciso a Sirmio da una congiura militare. Sotto il suo governo i cristiani non furono ufficialmente perseguitati.
BibL.: W. Henze, Aurelius Probus, in Pauls-Wissowa, II, coll. 2216-23; E. Dannhauser, Untersuchungen zur Geschichte des Kaisers Probus, Jena 1909; J. H. E. Crees, The Reign of Emperor Probus, Londra 1911.
Agostino Amore
PROBST, Ferdinand. - Liturgista, n. a Ehingen (Württemberg) il 29 marzo 1816, m. a Breslavia il 26 dic. 1899 . Al paese natio fece i primi studi che completò poi a Tubinga, dove il 16 sett. 1840 fu ordinato sacerdote.
Vicario a Wangen nel 1841, poi parroco a Pfarrich nel 1843 , frequentò i corsi dell' Hefele, ed il 25 nov. 1851 si addottorava in teologia. Nel 1864 fu nominato professore di teologia pastorale all'Università di Breslavia, della quale fu rettore nel 1889-90. Canonico nel 1886, dal 1896 fu prevosto del Duomo.
Studioso della liturgia antica e dei Padri della Chiesa, ha scritto molte opere importanti per la profondità delle indagini critiche, anche se le sue affermazioni non da tutti sono state accettate : Kirchliche Benedictionen und ihre Verwaltung (ivi 1857), Liturgie der drei ersten christlichen Jahrhunderte (ivi 1870); Geschichte der katholischen Katechese (ivi 1886); Sakramente und Sakramentalien in den drei ersten christlichen Jahrhunderten (ivi 1872); Kirchliche Disciplinen in den drei ersten christlichen Jahrhunderten (ivi 1873); Die ältesten römischen Sakramentorten und Ordines (Münster 1892); Liturgie des VI. Jahrhunderts und deren Reform (ivi 1893); Die abendländische Messe vom V. bis zum VIII. Jahrhundert (ivi 1896), ecc. Collaborò inoltre a molte riviste scientifiche.
BibL.: F. Hasse, Leben und Se'iriften der katb. theolog. Dozenten an der Universität Breslau, Breslavia 1913, pp. 92-100; H. Leclercq, Liturgistes, F. P., in DACL. IX, coll. 1731-32. Silverio Mattei
PROGAGCINI. - Famiglia di pittori bolognesi, poi trasferiti a Milano.
Ercole il vecchio, il capostipite, n. a Bologna nel 1515, m. a Milano il 5 genn. 1595. Il Lomazzo lo ricorda come scolaro di Prospero Fontana; le sue opere (Madonna col Bambino in S. Maria Maggiore di Bologna, del 1570; La caduta di s. Paolo, in S. Giacomo Maggiore, del 1573; La Vergine col Bambino cui s. Nicola presenta le tre fanciulle, ivi, del 1582) lo mostrano un manierista eslettico, con influenze romane e parmensi. Fra il 1585 e il 1586 si trasferì a Milano, ove, coadiuvato dai figli, aprì una scuola di pittura.
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(fot. Alinari)
Procaccini, Giulio Cesare - Sposolizio di s. Caterina - Milano, Pinacoteca di Brera.
Camillo, il maggiore in età dei suoi figli, n. a Bologna fra il 1550 e il 1560 , m. a Milano il 21 ag. 1626 , educato all'arte dal padre, rivela una più intima e assimilata conoscenza del Parmigianino (che appare anche nelle sue rare incisioni) e del Baroccio. Lavorò a Reggio (affreschi nell'abside di S. Prospero, del $1585-87$, e nella vòlta, del 1597-98), e in varie chiese di Piacenza, dove, a contatto dell'arte del Pordenone, tentò di ingigantirsi e di dar moto drammatico alle sue composizioni. Lasciò opere in numerosissime chiese di Milano (i complessi più vasti sono in S. Maria del Carmine, in S. Angelo, in S. Vittore, ecc.) e in altre città della Lombardia: a Treviglio, a Brescia, a Lodi, ecc.
Giulio Cesare, n. a Bologna ca. il 1570 , m. a Milano I'11 nov. 1625, sembra si dedicasse dapprima alla scultura e che entrasse poi nell'accademia dei Carracci, che avrebbe abbandonato dopo una lite con Annibale. Egli è l'ingegno più notevole e vivo della famiglia. Che il suo studio più che ai bolognesi fosse rivolto alla scuola di Parma appare in una delle sue opere più preziose e significative quale lo Sposolizio di s. Caterina a Brera; ma in lui è già un superamento dei modi manieristici ed una sicura affermazione barocca. Con il Cerano e con il Morazzone (v.), insieme ai quali dipinse la pala con il Martirio delle ss. Rufina e Seconda, dominò la pittura lombarda del primo Seicento. Fecondissimo artista, lasciò opere a Milano (S. Vittore, S. Maria presso S. Celso, S. Marco, S. Angelo, ecc.), a Brescia (S. Maria in Calchera, S. Afra), a Genova (S.ma Annunziata, S. Maria Assunta di Carignano, S. Stefano), a Modena (Pinacoteca, dalla chiesa di S. Bartolomeo).
Carlo Antonio, altro figlio di Ercole, n. a Bologna, m. a Milano ca. il 1605 , dipinse per privati paesaggi e nature morte, con grande fortuna presso la corte, tanto che molte opere furono mandate in Spagna. E il padre di Ercole il giovane, n. a Milano nel 1596, mortovi nel 1676. Scolaro di Giulio Cesare, lavorò a Milano e in varie chiese della Lombardia (Monza, Duomo; Bergamo, S. Maria Maggiore, ecc.) e per la corte di Torino.
Bibl.: C. C. Malvasia, Felsina pittrice. I, Bologna 1678, p. 275 sgg.; N. Pevzner, Giulio Cesare P., in Riv. d'arte, 11 (1929).
p. 321 sgg.; Venturi, IX, 6, p. 765 sgg.; A. Foratti, s. v. in Thieme-Becker, XXVII, p. 413; C. Gamba, s. v. in Enc. Ital., XXVIII, p. 272 sg.; F. Wittgens, Per la cronol. di G. C. P., in Riv. d'arte, 15 (1933), p. 35 sgg. Emma Zocca
PROGESsIONE. - Da pro avanti, e cedere = camminare s, è in generale il procedere cerimonialmente, in pubblico, a passi misurati, di un gruppo che precede o segue un simulacro o un personaggio illustre.
I. Nella liturgia cattolica. - La p. è una supplica solenne fatta in onore e lode di Dio o dei santi, in ringraziamento, in penitenza e in espiazione, specialmente in tempi di calamità. E un atto tanto di omaggio verso Dio, quanto di esaltazione del sentimento religioso (CIC, 1290 § 1). Le p. si chiamano anche litaniae, rogationes, supplicationes.
L'ordine della p. è disposto dal Rituale romano (tit. IX) : la Croce apre sempre il corteo, seguita dal popolo (due a due) e clero secondo l'ordine gerarchico; si cantano salmi e inni (s. Agost., De c/c. Dei, 22, 8) e si recitano preghiere apposite, in alcune regioni od occasioni accompagnate da danze e gesti ritmici (p. es., la famosa p. danzante di Echternach in onore di s. Willibrordo, il martedi di Pentecoste); oltre la Croce si portano altri simboli sacri, stendardi, reliquie, statue, ecc. Si distinguono p. indipendenti da altri atti liturgici, come le litanie, le p. eucaristiche, i pellegrinaggi, quella del ricevimento del vescovo
al suo ingresso o nella visita pastorale e p. congiunte a funzioni liturgiche, come le p. stazionali, dei ceri, delle palme, al fonte battesimale. Vi sono p. ordinario, che ricorrono ogni anno in alcune feste o in certi giorni (dei ceri, delle palme, le litanie, ecc.), o straordinarie, che vengono indette per circostanze particolari in occasione di una calamità o di un ringraziamento.
P. religiose erano e sono in uso presso tutti i popoli (v. sotto). Prima della pace costantiniana i cristiani avevano soltanto quelle funebri; alla fine del sec. Iv a Gerusalemme, come si narra nella Pecsprimatio di Eraria (CSEL, 39, cap. 24 sg., pp. 71-101), le p. commemorative degli avvenimenti della vita di Cristo a Gerusalemme, Betlemme, ecc. erano già molto sviluppate. S. Ambrogio (Ep. 22 ad sor.) e s. Agostino (Conf., IX, 7) descrivono p. in occasione della traslazione di reliquie. A Roma si introducono le litanie dette maggiori (v. ROGAzIONI) in sostituzione della festa pagana in onore di Robigo ( 25 apr.). Parte integrante della vita liturgica sono le p. stazionali, riprese e riordinate da Gregorio I, nelle feste annivarsarie dei martiri, specialmente nei maggiori giorni festivi dell'anno ecclesiastico e in quelli feriali della Quaresima. Nelle quattro più antiche feste mariane (Natività, Annunciazione, Purificazione e Dormizione o Assunzione) si faceva una grande p. con fiaccolata da S. Adriano al Foro fino a S. Maria Maggiore. Nella liturgia della Messa si formavano le 3 p . cerimoniali dell'entrata del celebrante (Introitus), delle offerte dei fedeli all'Offertorio e della Comunione; si aggiungeva poi quella per la lettura del Vangelo. Nei tempi di pubbliche calamità si introducevano p. straordinarie di penitenza (famosa quella del 591 ordinata da s. Gregorio Magno). Per impetrare la benedizione celeste sui frutti della campagna, oltre quelle delle rogazioni minori, si facevano altre p. attraverso i campi con 4 stazioni per cantare gli inizi dei 4 Vangeli, ciascuno nella direzione di uno dei quattro punti cardinali; in alcune regioni poi si facevano a cavallo con il S.ma Sacramento o con una reliquia del Preziosissimo Sangue (Blutritt di Weingarten in Germania). La più solenne di tutte è la p. eucaristica della festa del Corpus Domini e in occasione dei congressi eucaristici sia nazionali che internazionali.
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P. grandi e pittoresche si fanno in Spagna, famosa quella, p. es., del Rosario o quella della durata di ro-12 ore nella Settimana Santa a Siviglia e in altre città spagnole. In Germania fiorirono negli ultimi anni le p. penitenziali notturne
