A sedici anni entrò nell'Ordine francescano, assumendo il nome di Francisco de los Angeles del s. Maria de los Angeles nella Sierra Morena. Nel Capitolo generale, tenutosi a Roma nel 1517, fu eletto definitore generale e sei anni dopo, in quello di Burgos, generale dei Minori Osservanti. Nel 1525 venne a Roma per perorare presso Clemente VII la riforma dell'Ordine basata su una rigorosa ed attenta osservanza della Regola francescana. Dopo l'alleanza tra Francesco I di Francia e Clemente VII contro Carlo V, seguita da immediate vittorie imperiali, il Papa si decise ad incaricare il Q., persona assai gradita all'Imperatore, di una missione diplomatica. Q. partì il 12 dic. 1526 da Roma per recarsi presso il Lannoy, comandante della flotta imperiale, sbarcato a Gaeta. La missione del Q. riuscì, ma l'incertezza di Clemente VII che voleva e non voleva abbandonare l'alleanza della Francia, portò al sacco di Roma ed alla prigionia dello stesso Pontefice. Nel maggio 1527 il Q. fu incaricato dal Papa di adoperarsi presso l'Imperatore per la liberazione sua; giunto al cospetto di Carlo V egli disse chiaramente che lo scempio fatto della città eterna doveva cessare: altrimenti Carlo non sarebbe stato degno di essere chiamato imperatore ma capitano di Lutero. Grazie alle energiche rimostranze ed all'attività svolta dal Q., Carlo V si decise a liberare Clemente VII. Creato cardinale con il titolo di S. Croce in Gerusalemme il 7 dic. 1527 e pubblicato il 25 sett. 1528, il Q. continuò a fungere da mediatore tra Papa ed Imperatore fino alla conclusione della Pace di Barcellona (1529). Dal 1530 alla morte fu anche vescovo di Coria e dal 1534 cardinale protettore dell'Ordine francescano. Di parte imperiale, salvaguardò nel S. Collegio gli interessi della Spagna e si oppose alla creazione di cardinali apertamente favorevoli al rivale di Carlo V, ma talora contrastò anche per ragioni morali la nomina di nuovi porporati, come, durante il pontificato di Paolo III, quella di Pietro Bembo.
LA SUA ATTIVITÀ LITURGICA. - Il nome del Q. resta legato ad uno dei tentativi più audaci di riforma del Breviario. Le tristi condizioni a cui era ridotta la preghiera canonica nei secc. XIV-XV faceva
vivamente desiderare una tale riforma. Clemente VII ne diede incarico al Q., che vi lavorò con Diego Meyla e Gaspare De Castro dal 1529 al 1534. L'anno seguente, preceduto da un breve di Paolo III, il Breviarium Romanum ex sacra potissimum Scriptura et probatis sanctorum historii collectum et concinnatum fu dato alle stampe come progetto o publica deliberatio.
Il Q., avendo di mira solo la recita privata, aveva soppresso tutte le parti relative alla recita in choro, cioè le antifone (ripristinate nella 2a ed., 1536), i versetti, i responsori, le lezioni brevi, i capitoli, parte degli inni. Strutturalmente il nuovo Breviario aveva le seguenti caratteristiche: 1) i salmi erano distribuiti in modo che in ogni settimana si recitasse tutto il Salterio. Ad ogni ora canonica furono assegnati tre salmi, da dirsi anche nelle feste di 1a classe; 2) le lezioni scritturali, ridotte a tre nell'unico Notturno, erano prese: la 1a dal Vecchio Testamento, la 2a dal Nuovo Testamento, la 3a dalla vita dei santi o dall'omelia patristica. La scelta prevedeva la lettura di tutti i libri sacri, o delle parti principali, nel corso dell'anno; 3) la durata dell'Ufficio ogni giorno era uniforme.
Il Breviarium S. Crucis, così chiamato dal titolo cardinalizio del suo autore, ebbe favorevole accoglienza. In una ventina d'anni (1535-56) se ne fecero oltre cento edizioni. Di alcune critiche formulate dai dottori della Sorbona dopo la 1a ed., il Q. tenne conto nella seconda (1536), che fu la definitiva. Grazie al Q. la recita dell'Ufficio divenne più frequente. Ma, da buon umanista, egli ebbe il torto di non aver tenuto nel debito conto la tradizione della preghiera liturgica e d'aver creato la scissione tra recita privata e pubblica, minando ab imis il carattere ufficiale della preghiera della Chiesa. Per questo la riforma di Q. restò allo stadio di tentativo. La corrente di opposizione con il tempo si accentuò finché Paolo IV, tradizionalista dichiarato, nel 1558 proibì ogni ulteriore ristampa del Breviarium S. Crucis.