PL 139, col. 109
De geometria (Gerbertus Auriliacensis), J. P. Migne
hoc modo invenire per cathetum alia latera
poteris.
Cathetus ter ducatur; nona pars inde auferatur;
residui dimidium pro basi habeatur. Si eamdem,
quam abstulisti, nonam inventae basi adjungis, hypotenusam
habebis, ut in eo, quem primum posui,
cathetus, utpote 3 ter ductus efficit novem; ablata
nona, id est unitate reliquum ejus rei, id est dimidia
basim, quae quaternario titulatur, efficit. Cui
basi si nona superius dempta, id est unitas reddatur,
hypotenusa 5 unitatibus inscripta completur. Idemque
in caeteris sequentibus sive de integris seu minutiatis
numeris compactis invenitur, ut in his 4,
quae in catheto sunt, quatuor per 3 ducti 12 faciunt.
Horum nona parte, id est unitate ablata et triente
residui, id est 10, et bisse medietas basim in 5 et
triente demonstrant. Quae itidem nona ad basim
juncta podismum in 6 et bisse constare manifestat.
Vel aliter idem invenias. Catheti dimidio triplicato,
nonaque parte inde ablata, basim habeto.
Eidem triplicationi nona sua addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo, qui habeat senarium in catheto,
dimidia ejus, id est 3 in se ter ducta 9 creat.
Unde ablata nona 8 erit basis. Nona vero ad ipsos
novem addita fiet 10 hypotenusa.
Similiter in eo cui et quadrantem in catheto
posui, dimidia hujus, id est 2. et S. et ter ducti
7, et S. et et numerum faciunt. Hujus nona id
est et dempta 7 basim relinquit. Addita autem
8 et hypotenusae tribuit.
Vet aliter. Catheti dimidium sexies ducatur, nona
inde pars auferatur, reliquum dimidium pro basi habeatur.
Basi inventae eadem nona addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo qui 9 in catheto habeat.
Medietas ejus, scilicet 4 et semis, sexies ducta 27
efficit. Hinc nona parte id est 3 ablata reliqui 24, scilicet
dimidia, id est 12, basis erit. Cui 3 id est
nona superiore, junctis in 15, podismum constituit.
Nihilominus in eo, cui sex et ponitur in catheto,
dimidia, quae est 3 (quadrans) sexies multiplicata,
19 facit. Inde nona parte, quae est 2 [( Glossa
vetus: z. siliquam interpretatur)] z. S. et S. abblata
remanent 16 et quinque Quorum dimidium, id
est 8, et sextulaque basim complet. Cui nona praefata
superaddita podismum, id est 10, et S. quinque
φ
facit cum summa dubietate seposita.
Est etiam alia regula multo diligentiori speculatione
dignissima, quae in his Pythagoricis orthogoniis
prorsus verissima, et in aliis omnibus orthogoniis
vel omnino vera vel veritati proxima est.
Hac quippe in omni ferme orthogonio trigono per
duo quaevis latera tertii poterit indagari quantitas
naturae constitutione certissima hoc modo:
Ut ergo hypotenusa inveniatur, catheti numerus
in se, ut tegragonus fiat, ducatur, eique basis numerus
in se similiter ductus conjungatur. Hujus simul
summae ex duobus scilicet tetragonis confectae latus
tetragonale quaesitum et inventum hypotenusae numerus
esse sciatur.
poteris.
Cathetus ter ducatur; nona pars inde auferatur;
residui dimidium pro basi habeatur. Si eamdem,
quam abstulisti, nonam inventae basi adjungis, hypotenusam
habebis, ut in eo, quem primum posui,
cathetus, utpote 3 ter ductus efficit novem; ablata
nona, id est unitate reliquum ejus rei, id est dimidia
basim, quae quaternario titulatur, efficit. Cui
basi si nona superius dempta, id est unitas reddatur,
hypotenusa 5 unitatibus inscripta completur. Idemque
in caeteris sequentibus sive de integris seu minutiatis
numeris compactis invenitur, ut in his 4,
quae in catheto sunt, quatuor per 3 ducti 12 faciunt.
Horum nona parte, id est unitate ablata et triente
residui, id est 10, et bisse medietas basim in 5 et
triente demonstrant. Quae itidem nona ad basim
juncta podismum in 6 et bisse constare manifestat.
Vel aliter idem invenias. Catheti dimidio triplicato,
nonaque parte inde ablata, basim habeto.
Eidem triplicationi nona sua addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo, qui habeat senarium in catheto,
dimidia ejus, id est 3 in se ter ducta 9 creat.
Unde ablata nona 8 erit basis. Nona vero ad ipsos
novem addita fiet 10 hypotenusa.
Similiter in eo cui et quadrantem in catheto
posui, dimidia hujus, id est 2. et S. et ter ducti
7, et S. et et numerum faciunt. Hujus nona id
est et dempta 7 basim relinquit. Addita autem
8 et hypotenusae tribuit.
Vet aliter. Catheti dimidium sexies ducatur, nona
inde pars auferatur, reliquum dimidium pro basi habeatur.
Basi inventae eadem nona addatur, et hypotenusa
creatur, ut in eo qui 9 in catheto habeat.
Medietas ejus, scilicet 4 et semis, sexies ducta 27
efficit. Hinc nona parte id est 3 ablata reliqui 24, scilicet
dimidia, id est 12, basis erit. Cui 3 id est
nona superiore, junctis in 15, podismum constituit.
Nihilominus in eo, cui sex et ponitur in catheto,
dimidia, quae est 3 (quadrans) sexies multiplicata,
19 facit. Inde nona parte, quae est 2 [( Glossa
vetus: z. siliquam interpretatur)] z. S. et S. abblata
remanent 16 et quinque Quorum dimidium, id
est 8, et sextulaque basim complet. Cui nona praefata
superaddita podismum, id est 10, et S. quinque
φ
facit cum summa dubietate seposita.
Est etiam alia regula multo diligentiori speculatione
dignissima, quae in his Pythagoricis orthogoniis
prorsus verissima, et in aliis omnibus orthogoniis
vel omnino vera vel veritati proxima est.
Hac quippe in omni ferme orthogonio trigono per
duo quaevis latera tertii poterit indagari quantitas
naturae constitutione certissima hoc modo:
Ut ergo hypotenusa inveniatur, catheti numerus
in se, ut tegragonus fiat, ducatur, eique basis numerus
in se similiter ductus conjungatur. Hujus simul
summae ex duobus scilicet tetragonis confectae latus
tetragonale quaesitum et inventum hypotenusae numerus
esse sciatur.