PL 139, col. 114
De geometria (Gerbertus Auriliacensis), J. P. Migne
obtulit speculandum. Quemcunque superiorum orthogoniorum
ad alium comparare volueris juxta
quod Plato in Cosmopaeia Timaei de planis figuris
proponit, Boetiusque in arithmeticis de tetragonis
tantum per exemplum ostendit, unam inter eos geometricam
medietatem, quae utrumque una proportione
conjungat, te invenire miraberis.
Primam quippe ex praescriptis Orthogoniis aream
6 implet; quem si ad secundum, qui 24 continet,
comparaveris, unum solum inter eos numerum, id
est 12, qui utrosque una, id est dupla proportione
continet, reperire poteris.
Item inter secundum et tertium, id est, 24 et 54,
medius numerus 36 invenitur, qui ad utrumque
sesquialtera habitudine comparatur. Inter tertium
et quartum, id est 54 et 96, medium 72 numerum
sesquitertia utrosque proportione continuantem adinvenis;
et quoscunque quibuslibet intermissis sibi
invicem conferes, idem sine errore pernosces. Nam
si item primum ad quintum, id est 6 ad 150 conferas,
in medio nihilominus 30, qui quincupla utrosque
collatione continuet, investiges. Item si secundum
et sextum, id est 24 et 216 compares, 72 medium
tripla utrosque proportione coadunantem recognosces.
Nec si integros ad minutiatos, et minutiatos item
ad minutiatos ad se invicem orthogonios conferre
cupias, aliquem te scrupulum offendere metuas. Nam
si item primum, id est 6 ad eum qui 10 embado
continet conferas, in medio 8, qui sesquitertia ad
utrosque habitudine se copulet, mox aspicias. Item
si eumdem, qui 10 ad sequentem, qui 18
concludit, velis comparare, medius 14 numerus geometricae
medietatis proprietates inter eos probatur
obtinere; 14 namque numerus 10 in se continet
et ejus quinque sextas decimas, et item 18 .
eodem modo 14 in se continet et ejus 5 sextas decimas;
quae proportio super quinque partiens sextas
decimas appellatur. Itaque ne diutius immorer,
quaecunque talium orthogoniorum alii conferas,
unum inter eos, ut dictum est, numerum, qui omnes
geometricae medietatis proprietates custodiat,
intitubanter invenire poteris. Sed hic numerus, geometricam
scilicet proportionalitatem efficiens, hoc
modo erit inveniendus:
Cathetus prioris orthogonii per basim multiplicetur
sequentis, sive, quod idem erit, basis prioris
per cathetum ducatur sequentis, et nati inde numeri
medietas sumatur, et pro medietate geometrica
inter ipsos orthogonios habeatur, ut inter 6 et 24.
Cathetus prioris, qui est 3, per basim sequentis, quae
8 habet, ducatur, et 24 creantur. Cujus medietas,
quae est 12, loco geometricae medietatis inter 6 et
24 statuatur. Vel aliter
Ipsa Orthogoniorum embada inter se multiplicentur,
natique inde numeri latus tetragonale pro geometrica
inter eos collocetur medietate, ut in supradictis,
qui 28 , et 57 in embadis suis continent,
embada inter se ducta in 1606 φ surgunt. Horum
ad alium comparare volueris juxta
quod Plato in Cosmopaeia Timaei de planis figuris
proponit, Boetiusque in arithmeticis de tetragonis
tantum per exemplum ostendit, unam inter eos geometricam
medietatem, quae utrumque una proportione
conjungat, te invenire miraberis.
Primam quippe ex praescriptis Orthogoniis aream
6 implet; quem si ad secundum, qui 24 continet,
comparaveris, unum solum inter eos numerum, id
est 12, qui utrosque una, id est dupla proportione
continet, reperire poteris.
Item inter secundum et tertium, id est, 24 et 54,
medius numerus 36 invenitur, qui ad utrumque
sesquialtera habitudine comparatur. Inter tertium
et quartum, id est 54 et 96, medium 72 numerum
sesquitertia utrosque proportione continuantem adinvenis;
et quoscunque quibuslibet intermissis sibi
invicem conferes, idem sine errore pernosces. Nam
si item primum ad quintum, id est 6 ad 150 conferas,
in medio nihilominus 30, qui quincupla utrosque
collatione continuet, investiges. Item si secundum
et sextum, id est 24 et 216 compares, 72 medium
tripla utrosque proportione coadunantem recognosces.
Nec si integros ad minutiatos, et minutiatos item
ad minutiatos ad se invicem orthogonios conferre
cupias, aliquem te scrupulum offendere metuas. Nam
si item primum, id est 6 ad eum qui 10 embado
continet conferas, in medio 8, qui sesquitertia ad
utrosque habitudine se copulet, mox aspicias. Item
si eumdem, qui 10 ad sequentem, qui 18
concludit, velis comparare, medius 14 numerus geometricae
medietatis proprietates inter eos probatur
obtinere; 14 namque numerus 10 in se continet
et ejus quinque sextas decimas, et item 18 .
eodem modo 14 in se continet et ejus 5 sextas decimas;
quae proportio super quinque partiens sextas
decimas appellatur. Itaque ne diutius immorer,
quaecunque talium orthogoniorum alii conferas,
unum inter eos, ut dictum est, numerum, qui omnes
geometricae medietatis proprietates custodiat,
intitubanter invenire poteris. Sed hic numerus, geometricam
scilicet proportionalitatem efficiens, hoc
modo erit inveniendus:
Cathetus prioris orthogonii per basim multiplicetur
sequentis, sive, quod idem erit, basis prioris
per cathetum ducatur sequentis, et nati inde numeri
medietas sumatur, et pro medietate geometrica
inter ipsos orthogonios habeatur, ut inter 6 et 24.
Cathetus prioris, qui est 3, per basim sequentis, quae
8 habet, ducatur, et 24 creantur. Cujus medietas,
quae est 12, loco geometricae medietatis inter 6 et
24 statuatur. Vel aliter
Ipsa Orthogoniorum embada inter se multiplicentur,
natique inde numeri latus tetragonale pro geometrica
inter eos collocetur medietate, ut in supradictis,
qui 28 , et 57 in embadis suis continent,
embada inter se ducta in 1606 φ surgunt. Horum