PROBABILITÀ, CALCOLO DELLE. - Scienza che si occupa, sia dal punto di vista teorico che da quello pratico, dello studio degli eventi causali o aleatori, cioè di quei fenomeni fisici il cui verificarsi oppur no si attribuisce all'intervento del «caso» (v. MATEMATICA, XIII). Trova applicazioni nella statistica matematica, nella fisica, nella matematica attuariale, ecc.
Il c. d. p. ha avuto origine dallo studio dei giuochi d'azzardo (di uno, quello della zara, si parla anche nella Divina Commedia, Purg., c. VI, vv. 1-9) che hanno fornito i primi esempi di schemi probabilistici: ad es., lo schema di un'urna, contenente un dato numero di palline, tutte praticamente eguali tra loro, numerate da 1 a s, di cui
b bianche (quelle portanti i numeri 1... b; b < s) e le altre nere; quando si estragga « a caso » una pallina dall'urna, cioè quando, dopo aver mescolato le palline nell'urna, se ne estragga una qualsiasi, senza esaminarla prima dell'estrazione, ci si trova di fronte a diversi « eventi casuali »: che la pallina estratta sia bianca; che la pallina estratta sia nera; che la pallina estratta porti il numero 1; che la pallina estratta porti un numero pari, ecc. Analogamente, quando si eseguono due estrazioni, precisando se la seconda estrazione avviene dopo aver riposto oppure no nell'urna la pallina estratta per prima, e si consideri l'insieme delle due estrazioni come un'unica prova, ci si trova di fronte ad altri eventi casuali: le due palline siano ambedue bianche; la seconda sia nera; ecc.
Due eventi vengono detti incompatibili quando non possono verificarsi ambedue nella medesima prova (estraendo una pallina, l'evento che risulti bianca e l'evento che risulti nera sono incompatibili), compatibili in caso contrario (estraendo due palline; l'evento che la prima risulti bianca e la seconda nera sono compatibili).
Ora, con riferimento agli eventi « casuali » di uno schema probabilistico, non si può per ciascuno di essi prevedere, prima di effettuare una prova, se esso si verificherà oppure no. Si può giudicare, però, della maggiore o minore facilità che esso ha di verificarsi in una prova. Una valutazione di tale facilità, ricavata sperimentalmente, è data dalla frequenza relativa, con cui l'evento si è già verificato in un certo gruppo di n prove, cioè dal rapporto v/n tra il numero v, delle volte che l'evento considerato si è verificato e il numero n delle prove effettuate, tutte nelle medesime condizioni. L'esperienza mostra che, quando si proceda a vari gruppi di prove, le frequenze relative di ciascuno degli eventi casuali che si possono considerare, p. es., dell'evento che la pallina estratta in una prova sia bianca, risultano pressappoco eguali tra loro, quando il numero delle prove è grande, e nell'esempio indicato pressappoco eguali al rapporto b/s tra il numero delle palline bianche e il numero complessivo delle palline dell'urna. Chiamando, per quest'esempio, casi possibili gli eventi, incompatibili tra loro, costituiti dall'estrazione, in una prova, di una pallina portante rispettivamente il numero 1,2,... s, l'esperienza mostra pure che essi si presentano, in un grande numero di prove, con frequenze relative presso a poco eguali tra loro, e perciò pressappoco eguali a 1/s; pertanto essi vengono detti casi ugualmente possibili o ugualmente probabili: tale affermazione, in questo e in altri schemi, può essere fatta pure soggettivamente, ma con l'unanime consenso, in base all'esame delle condizioni, senza ricorrere alle osservazioni. Ne segue che si può effettuare una valutazione a priori della facilità di verificarsi in una prova dell'evento considerato, fornita dal rapporto b/s, tra il numero dei casi favorevoli all'evento e il numero dei casi (ugualmente) possibili e che tale valutazione a priori, detta probabilità dell'evento, è una previsione pratica della valutazione a posteriori fornita dalla frequenza relativa in un grande numero di prove.
Queste considerazioni si riferiscono anche ad altri schemi probabilistici (ad es., un dato, regolare, il cui centro di gravità coincida con il centro geometrico, che viene lanciato per osservare il numero che risulta sulla faccia superiore, ecc.) nei quali si riconosce l'intervento del « caso », che si afferma come dovuto alla presenza di un grande numero di cause che agiscono sul fenomeno, cause che non è possibile considerare tutte, sia per il loro numero, sia perché in parte mal determinate; o dovuto ancora al fatto che insensibili differenze sulla situazione iniziale possono condurre a forti variazioni nel risultato finale, per cui non è prevedibile il risultato in base alla conoscenza imperfetta che si ha della situazione iniziale. Le considerazioni precedenti si estendono a schemi considerati una infinità continua di casi possibili (ad es., lo schema di un ago, che ruota intorno al proprio centro, del quale si considera la posizione che può assumere, dopo aver effettuato un grande numero di giri, in seguito ad una spinta): e la costanza delle frequenze di un dato evento si riconosce anche quando i casi non sono ugualmente possibili (ad es., l'evento che risulti « testa » lan-
ciando una moneta « gobba » su un piano, sotto certe cautele atte a garantire che le prove si svolgano « nelle medesime condizioni »).
Pertanto, con riferimento agli schemi detti, e sempre da un punto di vista sperimentale, si può affermare: la probabilità di un evento casuale di una data prova è una costante, compresa tra zero e 1, atta a prevedere la frequenza relativa dell'evento in un gran numero di prove, effettuate tutte nelle medesime condizioni. Quando si riconosca la presenza di un numero finito di casi ugualmente possibili, alcuni dei quali favorevoli all'evento, la probabilità dell'evento è fornita dal rapporto tra il numero dei casi favorevoli ad esso e il numero dei casi possibili; questa definizione si estende opportunamente ai casi continui. L'approssimazione, della frequenza relativa, alla probabilità, di solito è tanto più forte quanto maggiore è il numero delle prove. Questa affermazione, suggerita dall'esperienza, costituisce il noto postulato empirico del caso.
Se è possibile che un dato evento si verifichi in una prova, la sua probabilità è nulla; se è certo, la sua probabilità è uguale all'unità. La probabilità che, lanciando « a caso » una moneta regolare, risulti « testa » è 1/2. Pertanto, se, lanciando una moneta un grande numero di volte, si trova che la frequenza relativa dell'evento « testa » differisce notevolmente da 1/2, si può affermare, e ciò sempre con maggiore certezza se il fatto seguita a verificarsi aumentando il numero delle prove, che la moneta non è regolare, oppure i lanci non sono eseguiti in modo regolare.
Qual'è la probabilità che, nel giuoco del lotto, in una estrazione su una ruota, risulti un determinato ambo? Il numero delle possibili cinque che possono essere estratte dall'urna (contenente 90 palline da 1 a 90) che rappresentano i casi (ugualmente) possibili, è di 90 × 89 × 88 × 87 × 86 : (1 × 2 × 3 × 4 × 5) = 43.949.268, mentre il numero dei casi favorevoli è dato dal numero delle cinque contenenti l'ambo dato, cioè dal numero dei possibili temi che si possono fare con gli altri 88 numeri, ossia da 88 × 87 × 86 : (1 × 2 × 3) = 109.736; perciò la probabilità di un ambo è uguale al quoziente tra il secondo e il primo numero, cioè 1/400,5. La probabilità di un terno è 1/11.748 e quella di un quaterno è 1/511.038.
La probabilità degli eventi appartenenti a un medesimo schema probabilistico sono legate dai due principi delle probabilità totali e delle probabilità composte. Il primo afferma che, quando due o più eventi sono incompatibili, la probabilità dell'evento, detto « somma logica » degli eventi dati, consistente nel verificarsi di uno qualsiasi degli eventi dati, è uguale alla somma delle probabilità dei singoli eventi. Il secondo afferma che, dati due o più eventi compatibili, la probabilità del loro prodotto logico, cioè dell'evento consistente nel verificarsi in una prova di tutti gli eventi considerati, è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi, ciascuna determinata nell'ipotesi che i precedenti eventi si siano verificati; in particolare, se, con riferimento a un certo ordinamento degli eventi, ciascuno di essi è indipendente dal prodotto logico degli eventi precedenti, cioè se la sua probabilità che si verifichino tutti gli eventi considerati è uguale al prodotto delle probabilità dei singoli eventi. I due principi delle probabilità totali e composte, con riferimento agli schemi indicati, risultano controllati sperimentalmente.
Da un punto di vista astratto, uno schema probabilistico è costituito da un insieme di enti, denominati eventi, tra i quali sono definite le relazioni di incompatibilità e compatibilità, e a ciascuno dei quali corrisponde un numero, compreso tra zero e uno, detto probabilità dell'evento; le probabilità dei vari eventi sono legate tra loro dai principi delle probabilità totali e composte, i quali, quando sono ammessi per una infinità numerabile di eventi, sono denominati principi estesi. Sotto questo aspetto teorico, il c. d. p. costituisce un ramo della matematica. Il legame tra questa teoria astratta e gli schemi realistici che si possono considerare è fondato sul postulato empirico del caso: tutte le volte che un insieme di eventi astratti si faccia corrispondere a un insieme di eventi
casuali, soddisfacendo le probabilità al postulato empirico del caso, allora, determinando, in base ai due indicati principi, la probabilità di un qualsiasi evento, dedotto dagli eventi considerati inizialmente, mediante le operazioni di somma o di prodotto logici, detta probabilità ha pur essa un significato fisico, cioè rappresenta una previsione della frequenza relativa con cui si verificherà l'evento stesso. La valutazione della probabilità mediante il rapporto del numero dei casi favorevoli al numero dei casi possibili, quando questi si riconoscono ugualmente possibili in base a un grande numero di prove, tutte nelle medesime condizioni, si dirà oggettiva in quanto vi è l'unanime consenso; anche per altri eventi che pur si presentano nella realtà (evento che un determinato cavallo vinca una corsa; evento che un dato partito raggiunga la maggioranza nelle elezioni) si parla praticamente di probabilità ma in tal caso le valutazioni della probabilità vengono dette « soggettive » per distinguerle dai casi precedenti, in quanto persone diverse, in base alla diversa conoscenza del fenomeno e anche in base alle caratteristiche diverse della natura umana, sono portate a valutare in modo diverso detta probabilità, e non è in alcun modo possibile il controllo sperimentale di queste valutazioni attraverso un grande numero di prove nelle medesime condizioni. Anche in questi casi è applicabile il c. d. p., ma si tratta solo di una norma di condotta per la necessaria coerenza tra le valutazioni soggettive delle probabilità di dati eventi e quelle di eventi dedotti dai precedenti in base a operazioni di somma e prodotto logici.
Nel c. d. p. occupa un posto preminente lo studio delle variabili aicatorie o casuali, cioè di quelle grandezze collegate a un sistema di eventi casuali incompatibili tra loro e tali che certamente si verifichi in una prova uno di essi, in modo che il valore che ciascuna di esse assume in una prova dipende dall'evento che si verifica nella prova. Il valore medio di una variabile casuale, i cui valori possibili siano in numero finito, è la somma dei prodotti dei valori che essa può assumere, per le rispettive probabilità; il concetto si estende a variabili casuali generali. Il valor medio è una previsione della media aritmetica dei valori che la variabile casuale assumerà in un grande numero di prove. Lo scarto di una variabile casuale dal suo valore medio è la differenza tra i valori che essa può assumere e il suo valore medio; lo scarto ha valore medio nullo. Esempi di variabili casuali sono forniti dai giuochi d'azzardo: il guadagno (positivo o negativo) che un giocatore può realizzare in una partita è rappresentato da una variabile casuale; il suo valore medio viene chiamato speranza matematica e rappresenta pertanto una previsione del guadagno medio a partita che il giocatore realizzerà in un grande numero di partite, tutte nelle medesime condizioni. Ne segue che un gioco è equo se la speranza matematica è nulla.
Ad es., chi giuoca al lotto un ambo riscuote, in caso di vincita, 250 volte la posta; perciò il guadagno, positivo o negativo, che il banco può realizzare per ogni lira giocata su un determinato ambo è una variabile casuale che può assumere uno dei valori, in lire, 1, oppure - 249, a seconda che l'ambo non esca oppure esca, eventi incompatibili di probabilità rispettivamente 399,5/400,5; 1/400,5. Pertanto la speranza matematica del banco è di L. (1 × 399,5/400,5 - 249 × 1/400,5) = L. 0,376: cioè il banco in media vince ca. 38 centesimi per ogni lira giocata sugli ambi, e ancora di più per terni o quaterni. Per giustificare questo fatto bisogna tener presenti le spese del banco nonché la necessità di un caricamento per coprire gli eventuali scarti sfavorevoli.
Lo scarto quadratico medio è la radice quadrata del valor medio del quadrato dello scarto; esso è un indice atto a giudicare il più o meno grande addensamento, intorno al valor medio, dei valori che la variabile casuale assumerà nelle prove che si effettuano.
Le ordinarie operazioni dell'analisi si possono estendere a variabili casuali più generali; in particolare, si considera la somma e il prodotto di due o più variabili casuali appartenenti a un medesimo schema probabilistico. Il valor medio della somma di due o più variabili casuali,
indipendenti o dipendenti, è uguale alla somma dei valori medi delle singole variabili casuali (Cantelli, 1911); il valor medio del loro prodotto è uguale al prodotto dei singoli valori medi purché, ad es., ciascuna sia indipendente dal prodotto delle variabili casuali precedenti.
Tra i vari teoremi del c. d. p., oltre a quello di Bernoulli (v. MATEMATICA, XIII) che, con la sua generalizzazione alle variabili casuali (Tchebycheff, 1867) viene denominato « Legge dei grandi numeri », è fondamentale la legge uniforme dei grandi numeri (Cantelli, 1917) la quale, nel caso particolare dello schema di Bernoulli di un evento di probabilità costante in ogni prova afferma che, con probabilità prossima ad uno quanto si voglia, le successive frequenze relative dell'evento, in una successione illimitata di prove, tendono, nel senso dell'analisi, verso la probabilità dell'evento; essa permette, pertanto, di precisare il significato del postulato empirico del caso. Un altro famoso teorema, di Bayes (1764), sulla probabilità delle cause, ha trovato applicazioni nella ricerca di un giudizio sulla probabilità incognita di un evento di cui si conosca la frequenza. Le critiche su queste applicazioni hanno sviluppato importanti campi della statistica matematica, riguardanti sia la teoria della dispersione sia dello studio dei campioni. La prima, applicata allo studio della mortalità umana, permette di affermare che il fenomeno della mortalità tra individui aventi requisiti di omogeneità (medesima età, medesima categoria sociale, tutti in condizioni iniziali di salute buone, ecc.) si comporta, sia pure con le dovute approssimazioni, come un evento casuale di probabilità costante in ogni prova. Pertanto si può parlare, formalmente, di probabilità di morte e si può applicare il c. d. p., sempre da un punto di vista normale, ai problemi di statistica e di matematica attuariale. Altre applicazioni del c. d. p. riguardano la teoria degli « errori di osservazione », i quali, in generale, quando le misure sono a una dimensione, si distribuiscono secondo la legge di Gauss (v. MATEMATICA, XIII) mentre gli errori a due dimensioni si distribuiscono secondo la legge di Bravais (1847): rientra in questo argomento lo studio della dispersione dei tiri di artiglieria contro un bersaglio. Altre fondamentali applicazioni del c. d. p. riguardano la teorica dei gas, la meccanica ondulatoria, ecc.