Book I, lectio XVDEMONSTRATIO NON POTEST TRANSIRE DE UNO AD ALIUD GENUS EXTRANEUM
Aristotle's text
Non ergo est ex alio genere descendentem demonstrare, ut geometricum in arithmeticam. Tria enim sunt in demonstrationibus: unum quidem quod demonstratur, conclusio; hoc autem est, quod inest alicui generi per se: unum autem dignitates; dignitates autem sunt, ex quibus demonstratio est: tertium autem genus subiectum, cuius passiones, et per se accidentia ostendit demonstratio. quibus igitur demonstratio fit, contingit eadem esse; quorum autem genus alterum est, sicut arithmeticae et geometriae, non est arithmeticam demonstrationem convenire in magnitudinibus accidentia, nisi magnitudines numeri sint; hoc autem quemadmodum contingit in quibusdam, posterius dicetur. Sed arithmetica demonstratio semper habet genus, circa quod fit demonstratio, et aliae similiter. Quare aut simpliciter necesse est genus idem esse, aut sic, si debet demonstratio descendere. Aliter autem impossibile esse manifestum est: ex eodem enim genere necesse est ultima et media esse. Si namque non sunt per se, accidentia erunt. Propter hoc geometriae non est monstrare quod contrariorum eadem est scientia, sed neque quod duo cubi cubus sit unus; neque scientiae alterius, quod alterius est: sed aut quaecumque sic se habent ad invicem quod sit alterum sub altero, ut perspectiva ad geometriam, et ut consonantia ad arithmeticam. Neque si aliquid inest lineis non secundum quod lineae sunt, et non in quantum ex principiis propriis sunt, ut si pulcherrima linearum recta est, aut si contrario se habet circulari; non enim secundum quod proprium genus ipsorum est, sed in quantum commune quoddam est.
The Latin version St Thomas commented, as the Leonine edition prints it.
It is not therefore possible to demonstrate passing from one genus to another, as, for instance, (to demonstrate) a geometrical (problem) by arithmetic, for there are three things in demonstrations, one the demonstrated conclusion, and this is that which is per se inherent in a certain genus. Another are axioms, but axioms are they from which (demonstration is made), the third is the subject genus, whose properties and essential accidents demonstration makes manifest. Now it is possible that the things from which demonstration consists may be the same, but with those whose genus is different, as arithmetic and geometry, we cannot adapt an arithmetical demonstration to the accidents of magnitudes, except magnitudes are numbers, and how this is possible to some shall be told here-after. But arithmetical demonstration always has the genus about which the demonstration (is conversant), and others in like manner, so that it is either simply necessary that there should be the same genus, or in a certain respect,2 if demonstration is about to be transferred; but that it is otherwise impossible is evident, for the extremes and the middles must necessarily be of the same genus, since if they are not per se, they will be accidents. On this account we cannot by geometry demonstrate that there is one science of contraries, nor that two cubes make one cube,3 neither can any science (demonstrate) what belongs to any science, but such as are so related to each other as to be the one under the other, for instance, optics to geometry, and harmonics to arithmetic. Nor if any thing is inherent in lines not so far as they are lines, nor as they are from proper principles, as if a straight line is the most beautiful of lines, or if it is contrary to circumference, for these things are inherent not by reason of their proper genus, but in so far as they have something common. demonstrative syllogism, the minor term is the subject; the major, the attribute; the middle, the cause.
The whole chapters, in the translation of Octavius Freire Owen (London: George Bell & Sons, 1889 (Bohn's Classical Library), vol. I, from the plates of the first edition (London: H. G. Bohn, 1853), same pagination).
Synopsis by the Leonine editors
1. Argumentum et divisio textus. — 2. Demonstratio est ex his quae sunt per se; ergo in demonstratione non potest fieri transitus ex uno genere in aliud genus; nempe demonstratio est ex propriis. — Quod est thesis et argumentum lectionis. — 3. Praenotamen de necessariis ad demonstrationem, quae tria sunt: 1um, conclusio continens in se id quod inest per se alicui generi; 2um, dignitates ex quibus demonstratio procedit; 3um, genus subiectum, cuius proprias passiones et per se accidentia demonstratio ostendit. — 4. Dignitates communes sunt omnibus demonstrationibus; sed principia uni scientiae immediata, non sunt communia aliis scientiis, quarum subiectum est diversi generis, nisi forte subiectum unius scientiae contineatur sub subiecto alterius. — 5. Principiorum et conclusionum est idem genus aut simpliciter aut secundum quid. — Quid sit idem genus simpliciter respectu diversorum, quid idem genus secundum quid. — 6. Probatur quod ex principiis unius scientiae non concluditur aliquid in alia scientia, quae non sit sub ea posita: quia oportet media et extrema demonstrationis esse eiusdem generis. — 7. Corollarium primum. Nulla scientia demonstrat aliquid de subiecto alterius scientiae, nisi agatur de scientiis quarum una est sub alia. — 8. Corollarium alterum. Scientia de proprio subiecto non probat nisi accidentia eiusdem generis cum subiecto.
St Thomas's commentary
1. Postquam ostendit Philosophus quod demonstratio est ex his quae sunt per se, hic concludit quod demonstratio est ex principiis propriis, non extraneis, neque ex communibus. Et dividitur in duas partes: in prima, ostendit quod demonstratio procedit ex propriis principiis; in secunda, determinat quae sint principia propria et quae communia; ibi: Difficile autem etc. Prima in duas: in prima, ostendit quod demonstratio non procedit ex principiis extraneis; in secunda, ostendit quod non procedit ex principiis communibus; ibi: Quoniam autem manifestum est etc. Prima in duas: in prima, ex praemissis ostendit quod demonstratio non est ex principiis extraneis; in secunda, ex praemissis etiam ostendit quod demonstrationes non sunt de rebus corruptibilibus, sed de sempiternis; ibi: Manifestum autem et si sint propositiones etc. Circa primum tria facit: primo, proponit intentum; secundo, probat propositum; ibi: Tria enim sunt etc.; tertio, concludit intentum; ibi: Propter hoc geometriae etc.
2. Dicit ergo primo quod, ex quo demonstratio est ex his quae sunt per se, manifestum est quod non contingit demonstrare descendentem vel procedentem ex alio genere in aliud genus, sicut non contingit quod geometria ex propriis principiis demonstret aliquid descendens in arithmeticam.
3. Deinde cum dicit: Tria enim etc., propositum probat. Et circa hoc tria facit. Primo, praemittit quae sint necessaria ad demonstrationem, dicens quod in demonstrationibus tria sunt. Unum est, quod demonstratur, scilicet conclusio, quae quidem continet in se id, quod per se inest alicui generi: per demonstrationem enim concluditur propria passio de proprio subiecto. Aliud autem sunt dignitates, ex quibus demonstratio procedit.- Tertium autem est genus subiectum, cuius proprias passiones et per se accidentia demonstratio ostendit.
4. Secundo; ibi: Ex quibus igitur etc., ostendit quid praedictorum trium possit esse commune diversis scientiis et quid non, dicens quod horum trium unum, scilicet dignitates, ex quibus demonstratio procedit, contingit esse idem in diversis demonstrationibus et etiam in diversis scientiis: sed in illis scientiis, quarum est diversum genus subiectum, sicut in arithmetica, quae est de numeris, et geometria, quae est de magnitudinibus, non contingit quod demonstratio, quae procedit ex principiis unius scientiae, puta arithmeticae, descendat ad subiecta alterius scientiae, sicut ad magnitudines, quae sunt subiecta geometriae; nisi forte subiectum unius scientiae contineatur sub subiecto alterius, sicut si magnitudines contineantur sub numeris (quod quidem qualiter contingat, scilicet subiectum unius scientiae contineri sub subiecto alterius, posterius dicetur ). Magnitudines enim sub numeris non continentur, nisi forte secundum quod magnitudines numeratae sunt. - Subiecta etiam diversarum demonstrationum sive scientiarum diversa sunt. Arithmetica enim demonstratio semper habet genus proprium circa quod demonstrat. Et aliae scientiae similiter.
5. Tertio; ibi: Quare aut simpliciter etc., probat propositum. Et circa hoc duo facit. Primo, inducit principale propositum per modum conclusionis, eo quod ex praemissis haberi potest, dicens: Quare manifestum est quod necesse est, aut esse simpliciter idem genus, circa quod sumuntur principia et conclusiones, et sic non est descensus, neque transitus de genere in genus: aut si debet demonstratio descendere ab uno genere in aliud, oportet esse unum genus sic, idest quodammodo. Aliter enim impossibile est quod demonstretur aliqua conclusio ex aliquibus principiis, cum non sit idem genus vel simpliciter vel secundum quid. Sciendum est autem quod simpliciter idem genus accipitur, quando ex parte subiecti non sumitur aliqua differentia determinans, quae sit extranea a natura illius generis; sicut si quis per principia verificata de triangulo procedat ad demonstrandum aliquid circa isoscelem vel aliquam aliam speciem trianguli. Secundum quid autem est unum genus, quando assumitur circa subiectum aliqua differentia extranea a natura illius generis; sicut visuale est extraneum a genere lineae, et sonus est extraneus a genere numeri. Numerus ergo simpliciter, qui est genus subiectum arithmeticae, et numerus sonorum, qui est genus subiectum musicae, non sunt unum genus simpliciter. Similiter autem nec linea simpliciter, quam considerat geometra, et linea visualis, quam considerat perspectivus. Unde patet quod quando ea, quae sunt lineae simpliciter, applicantur ad lineam visualem, fit quodammodo descensus in aliud genus: non autem quando ea, quae sunt trianguli, applicantur ad isoscelem.
6. Secundo; ibi: Ex eodem enim genere etc., ostendit propositum hoc modo. Oportet in demonstratione eiusdem generis esse media et extrema. Extrema autem in conclusione continentur. Nam maior extremitas in conclusione est praedicatum; minor vero extremitas subiectum; medium autem in praemissis continetur. Oportet igitur principia et conclusiones circa idem genus sumi. Cum autem huic coniunxerimus quod diversae scientiae sint circa diversa genera subiecta; ex necessitate sequitur quod ex principiis unius scientiae non concludatur aliquid in alia scientia, quae non sit sub ea posita. Quod autem in demonstratione oporteat media et extrema unius generis esse, sic probat. Detur enim quod medium sit alterius generis ab extremis, sicut si extrema sint triangulus et habere tres angulos aequales duobus rectis. Manifestum est quod passio conclusa de triangulo, per se inest ei; non autem per se inest aeneo. Et si e contrario passio per se inesset aeneo, puta sonorum esse, vel aliquid huiusmodi, palam est quod per accidens inesset triangulo. Unde patet quod oportet omnino, si subiectum conclusionis et medium sint penitus alterius generis, quod passio vel non per se insit medio vel non per se insit subiecto: et ita oportet quod alteri eorum insit per accidens. Et si quidem insit medio per accidens, erit per accidens in praemissis; si autem subiecto, erit in conclusione: et hoc ex parte passionis. Sed utroque modo oportebit per accidens esse in praemissis, quantum ad hoc quod subiectum accipitur sub medio: sicut si triangulus accipiatur sub aeneo aut e converso. Ostensum est autem quod in demonstrationibus tam conclusio, quam praemissae sunt per se et non per accidens. Oportet ergo in demonstrationibus medium et extrema eiusdem generis esse.
7. Deinde cum dicit: Propter hoc geometriae etc., infert duas conclusiones ex praemissis. Quarum prima est quod nulla scientia demonstrat aliquid de subiecto alterius scientiae, sive sit scientiae communioris sive alterius scientiae disparatae; sicut geometria non demonstrat quod contrariorum eadem est scientia: contraria enim pertinent ad scientiam communem, scilicet ad philosophiam primam vel dialecticam. Et similiter geometria non demonstrat quod duo cubi sint unus cubus, idest quod ex ductu unius numeri cubici in alium numerum cubicum surgat numerus cubicus. Dicitur autem numerus cubicus, qui consurgit ex ductu unius numeri in seipsum bis; sicut octonarius est numerus cubicus, surgit enim ex ductu binarii in seipsum bis, quia bis duo bis sunt octo. Et eadem ratione vigintiseptem est numerus cubicus, et radix eius est tria, quia ter tria ter faciunt vigintiseptem. Si ergo ducantur octo § in vigintiseptem consurgit numerus cubicus, idest ducenta sexdecim, cuius radix est sex: quia sexies sex sexies sunt ducenta sexdecim. Hoc ergo habet probare arithmeticus, non geometra. Et similiter, quod est unius scientiae non habet probare alia scientia, nisi forte una scientia sit sub altera; sicut se habet perspectiva ad geometriam, et consonantia vel harmonica, idest musica, ad arithmeticam.
8. Secunda conclusio ponitur; ibi: Neque si aliquid etc. Et est quod scientia etiam de proprio subiecto non probat quodlibet accidens, sed accidens quod est sui generis. Sicut si aliquid inest lineis, non secundum quod sunt lineae, neque secundum propria principia linearum, hoc non demonstrat geometra de lineis; sicut quod linea recta sit pulcherrima linearum, aut recta linea si est contraria circulari vel non. Haec enim non sunt secundum proprium genus lineae, sed secundum aliquid communius. Pulchrum enim et contrarium genus lineae transcendent.
No English translation of this commentary is in the public domain: the Latin is given here.
Notes of the Leonine editors
a) Dicit ergo primo etc. -- Codd. (exc. H): dicit ergo primo : ex quo demonstratio est ex his quae sunt per se, ergo manifestum etc.; H: dicit ergo primo quod, ex quo demonstrationes sunt ex his, quae sunt per se, ergo manifestum etc.
β) Est genus subiectum. - Genus a Scholasticis non semper uno eodemque sensu accipitur. In antecessum distinguendum genus in praedicamentale seu naturale et in genus logicum. Genera naturalia sunt naturae universales (quae etiam metaphysicae dicuntur) prouti abstrahuntur a principiis individuantibus, et dicunt essentias rerum vel principia quae earum definitionem ingrediuntur: hoc sensu dividimus ens in duo suprema genera quae praedicamenta dicuntur, et sunt substantia et accidens, quae subdividuntur in alia genera inferiora, et deinceps in species. Sicut substantiam dividimus per corpoream et incorpoream, et corpoream per animatam et inanimatam, et animatam per vegetativam, sensitivam et rationalem etc. - Genera logica sunt entia rationis, hoc est, sunt ipsa genera naturalia prout involvunt respectum quemdam seu relationem (quae est ens rationis), hoc est a ratione additum generi naturali) superioritatis ad genera inferiora, vel ad species vel ad individua, et participabilitatis ab ipsis. - Genus insuper dicitur vel genus praedicabile vel genus scibile. Dicitur praedicabile, quia aptum est praedicari seu affirmari de multis; sicut animal, ut est genus, praedicatur de hominibus et brutis, cum dicimus: homo est animal; brutum est animal. Universalia quatenus diversimode possunt praedicari de multis, a Scholasticis dicebantur praedicabilia: quae sunt quinque, genus, species, differentia, proprium et accidens. - Genus autem scibile est ratio formalis secundum quam obiectum aliquod cadit sub consideratione scientiae, sicut esse lucidum vel coloratum est genus visibile, hoc est ratio formalis secundum quam obiectum visibile cadit sub actione, facultatis visivae sensibilis. - Caietanus in I Poster., cap. VIII, §: Quomodo genus... Circa primam conclusionem dubitatur etc. (fol. 50 verso, col. 1), affirmat et probat quod quocumque modo sumatur genus, semper verificatur quod in hac lectione suscipitur probandum, nempe non licere in demonstrationibus transire de uno genere ad aliud genus. - Genus autem subiectum, de quo in praesenti agitur, est genus scibile (Cf. Dominic. a Flandria, in I Poster., qu. XX, artic. I et II).
Quaeri etiam potest cur Aristoteles, quem hic recitat s. Thomas, enumerans ea quae sunt necessaria ad demonstrationem non meminerit medii. - Ad hoc, inquit loc. cit. Caietanus, facile dicitur quod enumerans extrema, subiectum scilicet et passiones, sufficienter per ea medium insinuavit.
γ) Contingit esse idem etc. - Cod. H: contingit esse idem diversis scientiis et diversis demonstrationibus; sed in illis scientiis quarum est genus subiectum diversum sicut geometriae (geometriae etiam codd. ABCDIKLMOOQRST), quae est de magnitudinibus, et arithmeticae (arithmeticae etiam codd. ABCDGIKMOORST) quae est de numeris, non contingit etc. - Paulo supra codd. ABCELNQRST legunt: dicens, horum autem trium unum etc.
δ) Non contingit quod demonstratio... descendat ad subiecta alterius scientiae. Est lectio Piana. - Codd. (exc. R) et ed. a: non contingit quod demonstratio (B, non contingit demonstrationem), quae procedit de principiis (NS, ex principiis; H, ex principiis propriis) unius scientiae, puta arithmeticae, convenire (GM, possit convenire; AKNO, conveniat) quantum ad accidentia subiectis (MO et N sec. man., subiecti; N pr. man. om. subiectis et subiecti) alterius scientiae. - Cod. R: non contingit... de principiis... descendat in subiectum alterius scientiae. - Ed. Veneta 1496 legit cum Piana. - Quid habeat Veneta editio 1495 ignoro: exemplar enim, quod penes me habeo, caret foliis 31 et 32, in quibus haec continetur lectio. Vix autem opus est addere Pianam stare cum edit. Ven. 1526: etenim ad ipsam aut omnino aut praecipue exacta est.
ε) Subiecta etiam diversarum etc. - Codex O totam hanc periodum omittit; R: subiecta autem diversarum scientiarum sunt numerus et magnitudo. Arithmetica etc. Alii vero legunt: subiecta etiam (G, autem) diversarum scientiarum (I, specierum) diversa sunt. - Infra codd. GHL: semper habet proprium subiectum; MT: circa quod est (T om. est) demonstratio; H: circa quod demonstrat passiones; ELMOQST om. similiter.
ζ) Primo inducit principale propositum per modum conclusionis. - Codd., exc. H, habent non propositum, sed intentum; M: per medium conclusionis, sed haec cod. M lectio non est acceptanda; sed neque intentum pro τῷ propositum adoptamus: nam supra, n. 1, s. Thomas hanc partem in divisione textus Aristotelis ponens, dicit: Secundo probat propositum. - Cod. N: primo proponit intentum; secundo probat; ibi: ex eodem (n. seq.). Concludit ergo principale intentum per modum conclusionis; eo quod etc. Haec lectio nonnullis lectoribus planior et forte vera videbitur: nam est secundum methodum qua saepe utitur s. Thomas, quoties dividit aut subdividit argumentum, quod ex Aristotele exponendum assumit; partitio enim assignata a cod. N cum verbis, quae secundo loco exponenda sunt, indicata videtur ex consueta formula praemissa: Et circa hoc duo facit. - Quia tamen alii nostri codices et edd. Ven. contradicunt et stant pro Piana, ab adoptanda lectione cod. N existimo esse abstinendum, nisi alii codices aliter iudicandum esse suadeant. Addo methodum adhibitam hoc loco, iuxta P et alios codd., non infrequentem s. Thomae esse: ea enim ipsa utitur etiam n. 3 huius lectionis. Praeterea displicet lectio: concludit... per modum conclusionis.
η) Vel aliquam aliam speciem trianguli. Ita codices, exc. DH, et videtur melior lectio quam Piana: vel aliquam subiectam speciem trianguli; quamvis utraque eundem sensum referat. Cod. D a recursu eorumdem verborum natura illius generis distractus, omittit omnia verba, sicut si quis etc. usque ad sicut visuelle exclusive. - Cod. H: sicut si
geometra de triangulo procedat ad demonstrandum aliquid de isoscele (etiam Q2 de isoscele) vel de aliqua specie trianguli; R: si quis per principia demonstrantia aliquid de triangulo etc. — Cod. M verba secundum quid autem etc. usque ad aliqua differentia inclusive omittit. Sed est mendam manifestum.
θ) Unde patet etc. — Manifestum est ergo quod ea quae sunt numeri demonstrantur ab arithmetica per principia sibi propria, sicut ea quae sunt lineae simpliciter demonstrantur a geometria per principia propria geometriae. At contra ea quae sunt musicae et perspectivae non sunt obiecta propria et simpliciter arithmeticae et geometriae, nec tamen demonstrantur per principia propria musicae et perspectivae, sed per principia supposita et accepta ut certa ex arithmetica et geometria. Porro hoc pertinet ad subalternationem scientiarum; ita nempe ut scientia, quae accipit sua principia ab altera scientia superiori, dicatur subalternata alteri ex qua accipit principia, et quae ideo vocatur subalternans respectu suae subalternatae (Cf. s. Th. p. I, qu. 1, artic. 11, cum Commentar. Caietani).
ι) Cum autem huic coniunxerimus...; ex necessitate sequitur etc. — Hanc lectionem praetulimus Pianae: cum autem superius dixerimus... ex necessitate: sequitur etc. — Etenim codd. ABCDHKNOST legunt: cum autem huic coniunxerimus (S secunda manu expungitur huic, et coniunxerimus corrig. in coniunximus) quod diversae scientiae sunt circa diversa genera subiecta; ex necessitate sequitur etc. Quae lectio est certe aliorum codd., quamvis aliquantulum corrupta. EL: cum autem huic coniungimus; G: cum autem huic coniunximus; I: cum adhuc coniunxerimus; MQ: cum autem hic coniungimus. — Hinc lectio: cum autem huic coniunxerimus etc., mihi visa est adoptanda ex codd. auctoritate; praecipue vero quia magis videtur connecti cum conclusione immediate ante illata: Oportet igitur etc. — Venetae edd. 1477 et 1496 concordant cum Piana. — Codd. CELR infra legunt: quod non sit sub ea posita. Quae lectio, uti iacet, adoptanda non est: utrum vero amanuenses scripserint quod pro quae, vel contra posita pro positum, et consequenter innuant in codicibus, ex quibus sumpserunt, hanc lectionem: quod non sit sub ea positum, penes lectores sit iudicium.
κ) Per se inesset aeneo etc. — Cod. O omittit per se; sed erronee: nam in illis verbis facienda est vis, ut patet ex ipso exemplo de triangulo, et ex declarata natura demonstrationis, quae est de passione, quae concluditur inesse per se subiecto, et non per accidens. — H loco aeneo ponit medio. — Codd. (exc. GH): aut aliquid huiusmodi; GH: vel aliquid huiusmodi; P: vel aliquid aliud huiusmodi. — Denique BD: quoniam per accidens etc.; K: et quod per accidens etc. — Cum codd. autem expunximus aliud P, et adoptavimus inesset triangulo, loco inest triangulo PHR.
λ) Quod passio vel non per se insit medio etc. Codd. GI: quod passio vel non per se insit subiecto vel non per se insit medio; O: quod passio vel non per se insit medio, vel (marg. add., medium non) per se insit subiecto. Alii codices stant pro Piana.
μ) Oportet ergo... medium et extrema eiusdem generis esse. Ad intelligentiam ratiocinii ex quo haec conclusio infertur, recolat novitius ea quae supra (lect. praeced.) declarata sunt, scilicet demonstrationem esse ex his et de his quae sunt per se. Per se autem dicuntur quae sunt de essentia seu de ratione eorum de quibus per se dicuntur, vel eamdem essentiam consequuntur; et quia essentia vel ratio vel definitio unius generis vel speciei non potest esse, ut patet, essentia alterius generis vel speciei, sequitur quod ea quae per se conveniunt alicui generi subiecto vel alicui speciei non possunt per se alteri speciei vel generi convenire. Insuper eatenus passio (maius extremum) in demonstratione concluditur de subiecto (minori extremo), quatenus in praemissis, idem maius extremum est passio medii; et medium est passio alterius extremi (idest minoris). Nempe semper implicite vel explicite habetur haec formula primi modi primae figurae (in syllogismis positivis): M est E; E' est M; E' est E. Eatenus in conclusione E affirmatur per se de E', quia M in praemissis est per se affirmatum de ipso, et E per se affirmatum est de M (Cf. lect. IX, not. λ). Ponatur ergo quod M non sit eiusdem generis cum E'; ergo M non per se affirmatur de E'; ergo neque in conclusione E potest per se affirmari de E': et non erit demonstratio. — Ponatur secundo quod E non sit eiusdem generis cum E'; ergo non potest E affirmari per se de E', et ideo in praemissis E non affirmatur per se de M. Quod est contra naturam demonstrationis, cuius est esse ex praemissis per se. — Ponatur denique quod M non sit eiusdem generis cum E; ergo E non per se affirmatur de M, et ideo neque in conclusione E per se affirmatur de E'. Nempe conclusio neque esset per se neque ex his quae per se sunt. — Manifestum est ergo quod in demonstrationibus medium et extrema debent esse in eodem genere.
ν) Sive sit scientiae communioris, sive alterius scientiae disparatae. — Cod. O haec omnia verba omittit, sed est mendam. Alii codices: sive sit (ABN om. sit) scientiae (MR om. scientiae; Q om. sive sit scientiae) communioris (R, prioris), sive (M, sive sit; N, sive sint) alterius scientiae disparatae (ELQRST, D sec. man., et S prima man. corrupte, disparitatis; et corrupte etiam N et D pr. man., desperatae). Ergo scientiae communioris et scientiae disparatae est lectio communis codd., et connexio videtur praecedentibus. Plana enim est forma dicendi: nulla scientia demonstrat aliquid de subiecto alterius scientiae, sive tale subiectum sit subiectum communioris scientiae, sive scientiae disparatae. Quibus verbis eamdem argumentationem s. Thomae proponit Dominicus a Flandria in I Poster., qu. XX, artic. 1. — P: sive sint scientiae communiores, sive sint scientiae disparatae.
§) Si ergo ducantur octo. — En codd. variantes hac in re lectiones. Si ergo ducantur (BCDEHKLNOQRST; si ergo ducatur) octo in (O, ducatur numerus, et om. octo in) vigintiseprem, consurgit (AB, surget; CQ, assurget; DEHIKLST, consurget; G, surgat) numerus cubicus, idest (DEHIKLMNORST, scilicet; C om. tum idest, tum scilicet) ducenta sexdecim (PAHM, et sexdecim).—Cod. M legit mendose: quia ter tria ter faciunt vigintiseprem. Similiter est hic sexies sex ex ductu huius numeri bis in seipsum consurgit numerus cubicus etc. Codd. etiam KO mendose omittunt, cuius radix etc. usque ad ducenta sexdecim inclusive.