Studiò all'Università di Berlino, nella quale ottenne il dottorato nel 1864, dopo un breve periodo passato nella magistratura. Fu nominato professore straordinario a Marburg nel 1870 e, divenuto ordinario nel 1871, passò l'anno successivo a Innsbruck, nel 1874 a Königsberg e, infine, nel 1888, a Bonn.
Acutissimo indagatore delle fonti giuridiche romane, fin dal 1864 fu chiamato dal Mommsen a partecipare all'edizione del Corpus iuris civilis. Alla sua attività di editore si devono le Institutiones (Berlino 1867), il Codex Iustinianus (ivi 1873-77; 10a ed. ivi 1929), nonché i Fragmenta de iure fisci, l'Epitome Ulpiani (di cui curò la collazione del codice vaticano), la Consultatio veteris cuius- dam iurisconsulti e le Sententiae Pauli, che costituiscono la sua partecipazione all'edizione della Collectio librorum iuris anteustiniani (ivi 1878-99), compiuta in collaborazione con Th. Mommsen e W. Studemund. Al K. è anche dovuta la revisione dell'edizione mommseniana del I vol. del Corpus iuris civilis (Institutiones e Digesta, 15a ed., ivi 1928) e una edizione dei primi otto libri del Codex Theo- dosianus (ivi 1923-26).
Di lui si deve ricordare infine, oltre a Processualische Konsumption und Rechtskraft des Erkenntnisses (Lipsia 1864), alla Kritik des Just. Codex (Berlino 1867) e ai Kri- tische Versuche im Gebiete des römischen Rechts (Marbur- go 1872), la fondamentale Geschichte der Quellen und Lite- ratur des römischen Rechts (Lipsia 1888; 2a ed. ivi 1912).