LIMITE. - Il l. (greco πέρας, lat. terminus, ted. Grenze) è definito da Aristotele «il punto estremo di una cosa: quel punto primo, cioè, al di là del quale non si trova nulla, e al di qua del quale c'è tutto di essa» (Met., V, 17, 1022 a 4-5; trad. di A. Carlini, Bari 1928, p. 174).
Tale nozione quindi è derivata originariamente dall'estensione, in cui la superficie, la linea e il punto sono l. rispettivamente del volume, superficie e linea. In seguito, come notano lo stesso Aristotele e s. Tommaso nel suo commento al luogo citato, il concetto di l. viene trasferito al movimento, all'azione, al tempo, come il punto di partenza e il punto di arrivo di essi o di una determinata loro parte, e ancor più genericamente viene applicato a qualunque entità non infinita. In questo senso il l. non è che la negazione di ulteriore perfezione e, secondo la tesi tomistica, ha il suo principio nella potenza limitativa dell'atto (s. Tommaso, In V Met., lect. 19).
Aristotele nota anche un altro senso di l., cioè «l'essenza, la quiddità di ciascuna cosa: giacché questo è il termine della cognizione; e se della cognizione, anche della cosa» (Met., loc. cit., 9-10); infatti, spiega s. Tommaso nel commento citato, «incipit cognitio rei ab aliquibus signis exterioribus quibus pervenitur ad cognoscendam rei definitio item; quo cum pervenitum fuerit, habetur perfecta cognitio de re». Al contrario Kant chiama concetto-l. (Grenze-griff) il concetto di noumeno, in quanto esso limita la validità oggettiva dell'intuizione sensibile, indicando così che tale conoscenza non può estendere il suo dominio a ciò che pensa l'intelletto. Nondimeno della possibilità di tale noumeno non è possibile rendersi conto positivamente, ma solo problematicamente, perché ci manca ogni possibilità di intuizione diversa dalla sensibile; e quindi il territorio al di là della sfera dei fenomeni per noi è vuoto. «Il concetto di noumeno è dunque solo un concetto-l. per circoscrivere le pretese della sensibilità e di uso perciò puramente negativo» (Critica della ragion pura, Analitica dei principi, III; trad. di G. Gentile e G. Lombardo-Radice, I, Bari 1924, p. 251). Una nozione simile si ritrova anche in Lange, Riehl, Ardigo, Hoffding, ed altri della corrente positivista; mentre altri, come Paulsen, Max Wundt, Heidegger, Carabellese, attribuiscono al concetto di noumeno anche un senso più positivo.
Nell'analisi matematica la nozione di l. ha importanti applicazioni. Si dice che un insieme numerico o una funzione hanno un l. o estremo, inferiore o superiore, quando è possibile determinare un valore l tale che tutti i valori dell'insieme o funzione siano non minori, o rispettivamente non maggiori, di l. Se una funzione in un certo intervallo ha un minimo o un massimo, questi coincidono con il l. inferiore o superiore; si dà però anche il caso che un insieme o una funzione abbiano un l. estremo, senza
che l'insieme abbia un termine primo o ultimo, o senza che la funzione assuma effettivamente un valore minimo o massimo, in quanto che nell'estremo non si verifica più la definizione di elemento dell'insieme o del valore della funzione; p. es., l'insieme delle frazioni proprie non ha un elemento ultimo, pur avendo l'unità per l. superiore; la funzione frac{sen x}{x}, non definibile nel punto x = 0, ha però in esso il l. superiore 1. In simili casi si applica l'idea di tendenza al l., che storicamente risale al metodo di esaustione di Eudosso e dei geometri greci e che con Cava-
lieri e Wallis ha offerto il fondamento logico del calcolo infinitesimale, integrando il concetto aristotelico di infinito potenziale: si dice che l è il limite della funzione y di x, per x tendente ad a, se, scelto un numero positivo ε piccolo a piacere, si può determinare un intorno σ di a tale che, per ogni punto di σ distinto da a, il corrispondente valore di y differisca da l, in valore assoluto, meno di ε: cioè lim. y(x) = l, se y - l < ε per x - a < σ. Tale definizione con opportuni adattamenti formali serve a precisare anche il significato di ten-
denza all'infinito (positivo o negativo) e di tendenza ad un l. finito o infinito, per x tendente all'infinito ovvero a zero.