CONTINUO

CONTINUO. - La nozione di c. si connette con quella di estensione, che è un concetto primitivo non suscettibile di vera definizione. Esteso è ciò che consta di parti distinte nello spazio, che è divisibile, misurabile. Aristotele lo distingue in tre specie: consecutivo, contiguo, (Phys., VI, 1, 231 a 21). Consecutivo è quell'esteso le cui parti sono distinte e separate; contiguo l'esteso in cui le parti, distinte, si toccano; c. l'esteso che non ha parti distinte in atto, ma solo potenzialmente. Caratteristiche del c. sono dunque l'unità e l'assenza di interruzione, mentre il consecutivo suppone invece pluralità con interruzione e il contiguo pluralità senza interruzione. Il c. può essere statico: quello fisico o matematico; oppure fluente: il movimento ed il tempo. Proprietà essenziale del c. è la divisibilità in parti integranti, ossia in parti che hanno la stessa natura del tutto da cui derivano; p. es., un segmento è divisibile in segmenti minori, una superficie in superfici ecc. Dal c., oltre le parti integranti, risultano elementi di specie diversa dal tutto, rispetto al quale sono indivisibili, ad es., il punto rispetto alla linea, alla superficie, al volume, la linea rispetto alla superficie, ecc.

I. Filosofia

Importanti sono le conseguenze cui dà luogo il concetto di c. Se il c. è divisibile, pur essendo un ente ontologicamente uno, deve in qualche modo contenere le parti in cui è divisibile. D'altronde queste parti non possono esistere nel c. come entità distinte e determinate, perché il c. è uno, e ciò che è essenzialmente uno non può essere essenzialmente molteplice. Il c. non è dunque l'aggregato delle sue parti. Le parti nel c. sono realtà puramente potenziali; esse cioè, pur non esistendo in atto, hanno nel c. il fondamento del loro essere e vengono ad esistere come entità distinte e attuali in seguito alla divisione.

La divisione del c. in parti integranti può procedere indefinitamente senza che si arrivi ad elementi indivisi

bili. Infatti dalla divisione di un c. risultano parti integrati, che sono continue anch'esse e possono a loro volta venir divise in parti integranti continue. Ad es., un segmento, siccome ha i punti estremi non coincidenti, avrà sempre un punto intermedio distinto da entrambi gli estremi, il quale lo divide in due segmenti minori. Ciò è tanto più chiaro se si tiene presente che il punto è inesistente e che sommando punto a punto si avrà sempre un punto; perciò tra due punti distinti di un segmento esistono sempre indefiniti punti. Per ciascuno dei due segmenti risultanti dalla divisione si può ripetere il medesimo ragionamento. E così indefinitamente. Questa divisibilità indefinita del c. non può mai esaurirsi per la sua stessa natura. Quindi dalla divisione del c. non risulteranno mai parti in numero infinito. Già Aristotele lo aveva notato: «Il divisibile all'infinito non è così in potenza che si possa anche dare diviso in atto in sé e per sé... la divisione infatti non può venire mai meno» (Met., IX, 6, 148 b 15 sgg.). Da queste considerazioni segue che il c. non può essere composto di estesi indivisibili, sia perché le parti del c. non sono attuali, sia perché queste parti ultime inesiste, la cui unione dovrebbe dare il c., non esistono, in quanto esse non possono mai risultare dalla divisione del c. Non è quindi esatto dire che la linea è composta di punti, la superficie di linea, il volume di superficie. Si può bensì determinare, in una linea, un numero di punti grande quanto si voglia, ma non è possibile determinare tutti i punti della linea.

Il concetto di c. ha dato luogo a difficoltà rilevanti: 1) Zonone e Democrito osservarono che, se la divisione del c. implica una moltitudine infinita potenziale di parti, siccome la potenza deve potersi attuare, ne segue che la divisibilità del c. conduce ad ammettere una moltitudine infinita attuale di parti; il che è impossibile, perché non può darsi un numero in atto infinito; il c. è quindi indivisibile (cf. Aristotele, De Gen. et Corr., I, 2, 316 a 14 sgg.). Si è già indicata la risposta di Aristotele: la divisibilità del c. si attua in modo successivo e non può mai esaurirsi; il numero delle parti crescerà indefinitamente ma non sarà mai infinito. 2) Un'altra difficoltà ha origine da un falso presupposto metafisico. Afferma il Leibniz che, metafisicamente, il semplice è prima del composto, il quale è un aggregato di semplici; nel c. reale (i corpi), le parti (le monadi) sono prima del tutto, il quale è quindi un aggregato di parti semplici, cioè indivisibili. Al contrario, secondo la matematica, nella divisione del c. non si arriva mai ad elementi inesisti, quindi il c. non può essere un aggregato di inesisti. Il c. reale implica perciò - secondo Leibniz - un'antinomia tra metafisica e matematica, quindi è assurdo. Il c. ideale, invece, quello da noi pensato, non è contraddittorio, essendo anteriore alle parti, secondo la metafisica, ed in accordo con la matematica: «Dans l'idéal le tout est antérieur aux parties... les parties ne sont que potentielles; mais dans le réel, le simple est antérieur aux assemblages, les parties sont actuelles, sont avant le tout.» (Lettre à Remond, ed. C. I. Gerhardt, Die phil. Schriften von G. W. Leibniz, III, Berlino 1890, p. 622).

Anche Kant, nel periodo precritico, sotto l'influsso della metafisica leibniziana, ripete la difficoltà di Leibniz: «Cum illa (la metafisica) spatium (quindi il c. reale) in infinitum divisibile esse praefracte neget, haec (la matematica) eadem, qua cetera solet, certitudine asseverat» (Metodologia physica, Bari 1923, p. 2). Per risolvere questa antinomia, Kant propose il dinamismo realistico ed in seguito arrivò al suo idealismo, secondo il quale lo spazio, e quindi il c., non è reale ma è una forma a priori. La difficoltà del c. è sostanzialmente passata nella Critica della ragione pura e costituisce la seconda antinomia. Anche Kant, come Leibniz, afferma che il c. ideale non è contraddittorio, perché in esso il tutto è prima delle parti (Met. Anfangsgründe der Natur, c. 2, thes. 4, not. 2). L'estesse idee hanno recentemente ripetuto J. Lachelier e C. Renouvier.

La supposizione leibniziana che, secondo la metafisica, nel c. reale le parti siano anteriori al tutto, è errata. Come già disse Aristotele, le parti reali risultano dalla divisione del c. reale, sono potenziali, sono dopo il c. reale, che è, non un aggregato, ma uno in atto e molteplice in potenza a causa della sua divisibilità. Non esiste dunque

antinomia tra metafisica e matematica. Il c. reale non è contraddittorio.

Il. Matematica. — Lo sviluppo dell'analisi matematica è legato con il concetto di continuità. L'analisi studia grandezze numeriche continue, nelle quali ciò si passa da un valore ad un altro traverso valori intermedi, che si susseguono senza salti e lacune. Per definire questo c., che è oggetto dell'analisi, si stimò insufficiente il c. geometrico intuitivo e si volle creare un c. con i soli mezzi che può offrire l'aritmetica. Partendo cioè dai numeri interi, si definirono i numeri relativi e quelli razionali. Per dare all'insieme dei numeri la continuità, era necessario definire i numeri irrazionali per mezzo di quelli razionali. Ciò fu fatto per opera specialmente di R. Dedekind, con il postulato della continuità. L'insieme dei numeri razionali ed irrazionali forma l'insieme dei numeri reali, cioè il c. aritmetico costruttivo. Questo però, se può essere fondamento dell'analisi, non ha la completezza del c. geometrico: non è infatti possibile definire tutti i numeri reali, e resteranno sempre infiniti altri numeri da definire. Infatti non esistono due numeri reali consecutivi, perché, se sono distinti, sarà sempre possibile determinare tra di essi infiniti altri numeri. Per questa ragione alcuni matematici dicono che il c. non si può costruire con i numeri.

Una seconda teoria matematica del c. fu proposta da G. Cantor, in dipendenza della sua teoria degli insiemi. Cantor dice che l'insieme è una particolare moltitudine di elementi determinati. Gli insiemi possono essere infiniti, cioè contenere infiniti (transfiniti) elementi determinati. Anche il c. è un insieme di elementi infiniti: ad es., un segmento è un insieme di infiniti punti determinati. In tal modo Cantor viene a dire che il c. è costituito da infiniti elementi indivisibili attuali. È stato però scoperto che la teoria degli insiemi, almeno nella sua forma generale, porta a delle stridenti contraddizioni. Le idee di Cantor sono seguite da molti matematici. Altri, ad es., D. Hilbert, ritengono che l'infinito attuale non può essere realizzato, non esiste né può essere fondamento della speculazione (D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, p. 288). Così pure H. Poincaré (Science et méthode, Parigi 1908, p. 41).

Una terza teoria matematica del c. viene proposta dalla scuola matematica dell'intuizionismo, specialmente da H. Weyl e da L. E. I. Brouwer. Weyl ritiene che il problema di pensare il c. intuitivo come una totalità di elementi discreti, malgrado R. Dedekind, Cantor e K. Weierstrass, non ha fatto alcun progresso (Das Kontinuum, Lipsia 1918, p. 16). Brouwer respinge la definizione d'insieme di Cantor e afferma in particolare che il c. come sistema di punti matematicamente individuati, non esiste. Il c. è come totalità soltanto un mezzo di libero divenire (Medium freien Werdens). I punti del c. non ci sono, ma piuttosto si formano come estremi di intervalli sempre più stretti, che, in conseguenza di una libera scelta, possono essere determinati senza fine (endlos), ed ognuno dei quali è un nuovo c. «Il c. è dato intuitivamente come un tutto. La sua costruzione, l'operazione cioè che crea tutti i suoi punti individuati per mezzo della intuizione matematica dei numeri, è impensabile e impossibile» (L. E. I. Brouwer, Over der Grundlagen der Wirkende, Amsterdam 1907, p. 62). Perciò Brouwer rifiuta la teoria di Cantor di c. costituito da infiniti punti distinti, «come aberrazione sbocconte nel vuoto e nel caos» (A. Fraenkel, Einleitung in die Mengenlehre, Berlino 1928, p. 239), e definisce il c. come un tutto indefinitivamente divisibile, ritornando così alla dottrina aristotelica (cf. Aristotele, Phys., VI, 2, 232 b 24).

Nella scolastica il c. si definisce secondo il dato dell'intuizione geometrica. I numeri reali si possono ottenere come rapporti tra le grandezze risultanti dalla divisione del c. geometrico intuitivo.

III. Fisica

Nella scienza la concezione di una materia discontinua è stata introdotta quando G. Dalton, basandosi sopra leggi chimiche sperimentali, propose l'ipotesi che i corpi siano composti di particelle, dette atomi, che, combinandosi in svariate maniere, danno origine alle diverse sostanze. Questa teoria è stata sviluppata dalla fisica atomica, la quale pensò l'atomo composto di un nucleo e elettroni rotanti intorno ad esso, e dalla fisica nucleare, la quale ha dimostrato che anche il nucleo è composto di particelle. Questo IMPRESSIONISMO (v.). Si noti che, affinché sia possibile il discontinuo reale, deve esistere il c. reale. Se infatti non esistesse il c. reale non esisterebbe lo spazio reale e non avrebbe senso ammettere l'esistenza di indivisibili distanti tra di loro; la distanza suppone lo spazio reale e questo suppone il c. reale. Per quanto riguarda la discontinuità dell'energia V. QUANTITÀ, teoria dei.

BML: F. Enriquez, I numeri reali, in Questioni riguardanti le matematiche elementari, I, 3a ed., Bologna 1923, pp. 231-364; R. Dedekind, Essenza e significato dei numeri. Continuità e numeri irrazionali, trad. di O. Zariski, Roma 1926, p. 121 seq.; D. Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Appendice VIII: Über das Umde-liche, 7a ed., Lipsia 1930; M. Lallemand, Le transfinis, la logique et sa métaphysique, Parigi 1934; P. Hoenen, Cosmologia, 2a ed., Roma 1936, pp. 5-40, 426-35; F. Waisman, Introduzione al pensiero matematico, trad. di L. Geymonat, 2a ed., Torino 1941; S. Vanni-Rovighi, Elementi di filosofia. Filosofia della natura, Milano 1948, p. 13 seq. Roberto Mast