UNITÀ E DIMENSIONI FISICHE. – La nozione di misura di alcune grandezze, in particolare di lunghezze, aree, pesi, e quindi della scelta delle rispettive unità di misura, risale alle più antiche civiltà. Codeste unità, naturalmente omogenee alle grandezze da misurare, da allora fino ai tempi relativamente recenti, furono scelte con riferimento alle dimensioni di oggetti abituali, braccio, piede, palmo per le lunghezze, a qualche convenzionale tavola campione per le aree, a un certo peso per i pesi e furono differenti da paese a paese. Il primo tentativo di unificazione e razionalizzazione fu fatto dalla prima Repubblica francese con l’imposizione del sistema metrico decimale.
Col rapido moltiplicarsi delle grandezze da considerare, specialmente in seguito al grande sviluppo della fisica, il problema della loro misura fu considerato scientificamente nei primi decenni del sec. XIX. Si constatò allora la generalità del fatto, già intravisto precedentemente in casi particolari, che per la misura delle grandezze fisiche non è sempre necessaria la scelta di una unità per ciascuna di esse, ma che è sufficiente la scelta di poche unità fondamentali, dato che fra le varie grandezze esistono naturali rapporti. Si tratta in fondo di una generalizzazione di quanto si era già constatato per la misura delle grandezze geometriche, che tutte possono venir riferite all’unità scelta per la misura delle lunghezze. Si sa infatti dal libro su la Similitudine degli elementi di Euclide che se due figure geometriche simili hanno le lunghezze omologhe nel rapporto λ devono necessariamente avere le superfici omologhe nel rapporto λ² e i volumi omologhi nel rapporto λ³. E ciò, e nell’altro che ciò, si usa esprimere con le cosiddette definizioni dimensionali : [lunghezza] = [L], [superficie] = [S] = [L²], [volume] = [V] = [L³]. Per es., considerando due cubi di l metro e di 1 decimetro di lato, il rapporto λ dei lati è 10 e quindi deve essere ed è 10² = 100 il rapporto delle superfici omologhe e di 10³ = 1000 quello dei volumi.
L’estensione di questa teoria a più vasti campi della fisica si fa considerando 2, 3, 4 grandezze fondamentali dei campi successivamente più vasti. Così per passare dalla geometria alla cinematica occorre considerare, oltre la L, una grandezza cinematica per la quale si usa scegliere il tempo T. Si ottengono immediatamente le definizioni : [tempo] = |T|, [velocità] = |v| = |LT²|, [accelerazione] = |a| = |v/T| = |LT²|.
Meno immediato è il passaggio alla considerazione delle grandezze dinamiche (v. MECCANICA) perché non esiste una intuitiva indicazione circa la nuova grandezza da preferire come fondamentale oltre che le L e T, e perché il rapporto naturale fra le varie grandezze della dinamica implica la sua legge fondamentale. Assumendola nella formulazione di Newton : forza = massa × acceleratione, risultano evidenti le due possibilità di assumere come fondamentale o la forza o la massa. In generale si sceglie quest’ultima e quindi la serie delle definizioni dimensionali delle grandezze dinamiche si inizia con le posizioni : [massa] = [M], [forza] = |L T²| e si prosegue formulando le definizioni di tutte le altre grandezze per mezzo di esse e delle precedenti definizioni geometriche e cinematiche. Così sarà, p. es.: [densità] = [massa/volume] = |L³ M|; [lavoro] = [forza × spostamento] = |LT³ M L| = |L³ T³ M L|, ecc.
Già queste poche nozioni sono sufficienti a guidare esattamente nelle questioni di cambiamento di unità di misura e a caratterizzare dimensionalmente e in certi casi a determinare senz’altro importanti leggi dinamiche.
1. Cambiamento di unità
Basta tener conto dei rapporti dimensionali tra le unità fondamentali che si sostituiscono, come dimostrano i seguenti semplici esempi: in vicinanza della superficie della terra l'accelerazione della gravità, riferita al metro e al secondo, ha approssimativamente il valore a 10 m sec.\(^{-2}\) che si usa inesattamente dire 10 m al sec.Quale è il suo valore: a) in piedi al secondo; b) in metri al minuto, c) in piedi al minuto? Tenendo conto delle dimensioni dell'accelerazione si osserva: a) che essendo ca. 1 metro = 3 piedi si deduce a = 30 piedi sec.\(^{-2}\); b) che essendo 1 sec. = 1/60 di minuto e quindi 1 sec.\(^{-2}\) = 3600 min\(^{-2}\) si deduce a = 3600 m min\(^{-2}\); c) a = 108.000 piedi min\(^{-2}\).
2. Caratterizzazione di leggi
Non potendosi logicamente paragonare se non cose fra loro omogenee, le espressioni formali delle leggi fisiche devono sempre considerare in equazioni aventi i loro membri omogenei; però la teoria delle dimensioni consente di ridurre tale omogeneità a quella relativa alle grandezze fondamentali. Questo semplice fatto permette sempre di caratterizzare e talvolta anche di determinate la forma ancora ignota della legge quando solo si conosca quali sono le grandezze che intervengono in essa. Es.: Galileo aveva constatato che la durata del'oscillazione del pendolo dipende solo dalla sua lunghezza e dalla locale accelerazione della gravità. La durata t dovrà quindi essere uguale a una combinazione di l e di g omogenea con un tempo. Ma poiché la sola combinazione possibile soddisfacente a tale condizione è l\(^{1/2}\) g\(^{-1/2}\), la legge del pendolo non può che essere della forma t = n.\(\sqrt{\frac{l}{g}}\), in cui n è una costante puramente numerica che basta determinare una volta per tutte, e che è notoriamente eguale a \(\pi\).Passando ora al campo più complesso dell'elettricità si ricorda che occorre assumere, fra le fondamentali, anche una qualsiasi grandezza elettrica e si ricorre a qualche nota legge elettrologica per connetterla alle L, T, M precedenti. L'arbitrarietà esistente ha condotto fin dall'inizio a considerare vari sistemi dimensionali, formalmente differenti, ma sostanzialmente equivalenti; notissimi i cosiddetti sistemi elettrostatico e elettromagnetico (v. ELETTRICITÀ; ELETTROLOGIA). A questi se ne sono di recente aggiunti parecchi altri di maggiore interesse tecnico, fra i quali il sistema Giorgi che il Comitato elettrotecnico internazionale decise di adottare universalmente.
Passando infine al campo termico si ricorda che come quarta grandezza si assume in generale la temperatura (v. TERMODINAMICA).
Anche in codesti due campi la teoria delle dimensioni è l'indispensabile strumento per gli eventuali cambiamenti di unità di misura.
L'utilizzazione delle teorie dimensionali per la caratterizzazione delle leggi elettrologiche e termologiche è invece stato reso possibile solo da recenti studi di P. Straneo.